第一章 质点运动学

1、1大学物理学大学物理学主讲：主讲： 物电学院物电学院 余华军余华军 2第一篇 力 学(Mechanics)3第第1 1章章 质点运动学质点运动学(8)(Kinematics of particle) 内容提要内容提要 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 相对运动相对运动41-1 矢量矢量一.矢量的表示法矢量的表示法aAa=|a |a ax、ay、az分别是矢量分别是矢量a 在在坐标轴坐标轴x、y、z上的投影上的投影(分量分量)。 i、j、k分别是沿分别是沿x、y、z轴轴正方向的正方向的单位矢量单位矢量(恒矢量恒矢量)。xaxayazyzoa图1-1A=|A |1kjikajaiaazyx

2、222zyxaaaaa5二.矢量的加、减法矢量的加、减法aba+b三角形法三角形法aba - bab+=？多边形法多边形法aca+b+cbbac=?-ab =？jia43 jib62 jiba106三.标量积标量积(点积、数量积、内积点积、数量积、内积)cosabbabaabbacosbakajaiaazyxkbjbibbzyxzzyyxxbabababa7四.矢量积矢量积(向量积、叉积、外积向量积、叉积、外积) 积积C的方向垂直于矢量的方向垂直于矢量a 和和b组成组成的平面，的平面，baccbasinabbackajaiaazyxkbjbibbzyxbaijkxayazaxbybzbcosa

3、bbac指向由右手螺旋法则确定指向由右手螺旋法则确定。8 1.矢量矢量函数的微商与函数的微商与标量标量函数的微商不同：函数的微商不同： 矢量矢量函数的微商函数的微商=矢量矢量大小大小的微商的微商+矢量矢量方向方向的微商的微商 五.矢量函数矢量函数A(t)的微商的微商dtdAtAlim t0 2. 的方向，一般不同于的方向，一般不同于A 的方向。的方向。只有当只有当 t0时，时， A 的极限的极限方向，才是方向，才是 的方向。的方向。dtdAdtdA 特别是特别是,当当A的大小不变而只是方向改变时的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与就时刻保持与A垂直。垂直。dtdA9 3. 在直角坐标系中在

4、直角坐标系中,考虑到考虑到 是常量是常量,有有kji,kAjAiAAzyxkdtdAjdtdAidtdAdtdAzyx由于由于Ax(t), Ay(t), Az(t)是普通的函数，所以是普通的函数，所以就是就是普通函数的微商。普通函数的微商。,dtdAx,dtdAydtdAz10 运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。 运动的描述是相对的。运动的描述是相对的。一一.运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性 1-2 参考系、质点参考系、质点11 在研究机械运动时，在研究机械运动时，选作参考的物体选作参考的物体称为称为参考参考系系。 为了对物体的运动作为

5、了对物体的运动作定量描述定量描述， 还需要在参考还需要在参考系中取定一个固定的系中取定一个固定的坐标系坐标系。 坐标系是参考系的代表和抽象。坐标系是参考系的代表和抽象。 二二.参考系参考系 坐标系坐标系 常用的坐标系有直角坐标系、常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系和自然坐标柱坐标系、球坐标系和自然坐标系。系。mtene 三三.理想模型理想模型质点质点 在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体物体质点质点。 121-3 位置矢量位置矢量 运动方程运动方程 轨道方程轨道方程 一一.位置矢量位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量描述一个质点在空间位置的

6、矢量 i、j、k 单位矢量。单位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr 位 置位 置矢量矢量，简称，简称位矢位矢或或矢径矢径。BPABoAr 由图由图1-1 可知可知, 从坐标原点从坐标原点o指向指向P点的有向线段点的有向线段op=r13位置矢量位置矢量 r 的大小的大小(即即质点质点P到原点到原点o的距离的距离)为为式中式中 , , 取小于取小于180的值。的值。 方向余弦方向余弦:cos =x/r,cos =y/r,cos =z/r222zyxrr cos2 + cos2 + cos2 =1 图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr14它们

7、都叫做质点的它们都叫做质点的运动方程运动方程。 三三.轨道方程轨道方程 质点所经的空间各点联成的质点所经的空间各点联成的曲线的方程曲线的方程，称为，称为轨轨道方程道方程。 运动方程运动方程 例：例：x=6cos2t y=6sin2t消去时间消去时间t得得： x2+y2=62 这就是轨道方程。这就是轨道方程。二二.运动方程运动方程(1-4)(1-3)t ( zz),t (yy),t (xx )t ( rr 151-4 位移速位移速 度度 如图如图1-2所示所示, 质点沿曲线质点沿曲线C运动。时刻运动。时刻t在在A点，点，时刻时刻t+ t在在B点。点。 (1)位移是位置矢量位移是位置矢量r 在时间

8、在时间 t内内的增量的增量:一一.位移和路程位移和路程 从起点从起点A到终点到终点B的有向线的有向线段段AB= r, 称为质点在时间称为质点在时间 t内内的的位移位移。 而而A到到B的路径长度的路径长度 S, 称称为为路程路程。)()(trttrrAzyox图1-2BC Sr(t)r(t+ t)r16在在x轴方向的位移为轴方向的位移为注意注意：坐标的增量坐标的增量 x = x2-x1是位移，是位移，而不是路程而不是路程! ! 在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为时刻的位矢分别为r1和和r2 ,则这段时间内的位移为则这段时间内的位移为k )zz(j )yy(i )xx(

9、rrr12121212 i )xx(r12 17 位移位移代表位置变化，是矢量，在图代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向中，是有向线段线段AB, 它的大小是它的大小是| r ,即割线即割线AB的长度。的长度。位移位移=AC路程路程=AB+BC AB只有当只有当 t0时时,才有才有 |r | S 。(2)位移和路程是两个不同的概念。位移和路程是两个不同的概念。rAzyox图1-2BC Sr(t)r(t+ t)BAC 路程路程表示路径长度，是标量，表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧它的大小是曲线弧AB的长度的长度 S 。在一般情况下在一般情况下, S和和 并不相等。并不相等。r 18单位

10、时间内的单位时间内的路程路程平均速率。平均速率。 定义定义: : 单位时间内的单位时间内的位移位移平均速度。平均速度。二二. .速度、速率速度、速率tS tr rAzyox图1-2BC Sr(t)r(t+ t)19 如，质点经时间如，质点经时间t t绕半径绕半径R的圆周运动一圈，的圆周运动一圈， 即使在直线运动中，如质点经时间即使在直线运动中，如质点经时间 t t从从A点到点到B点点又折回又折回C点点,显然显然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同:而平均速率为而平均速率为tRtS 2 则平均速度为则平均速度为tBCAB tAC0trBAC20(1-9)质点的质点的( (瞬时

11、瞬时) )速率速率: :limt0tS=dtdS (1-12)dtdr 质点的质点的( (瞬时瞬时) )速度速度: : trlimt0 这表明这表明, ,质点在质点在t t时刻的速度时刻的速度 等于位置矢量等于位置矢量r 对时间对时间的一阶导数的一阶导数; ;而速率而速率 等于路程等于路程S对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。21 = (1)(1)速率速率= =速度的大小。速度的大小。例例: (A);dtdrlimt0tS= trlimt0(B);dtrd(C)dtdr)0(sr,t 当当limt0tS=dtdS (1-12)(1-9)dtdrtrlimt0(2) =(2) =r 大小的导数大

12、小的导数+ +r 方向的导数方向的导数。dtrd 22速度的大小：速度的大小：dtdz,dtdy,dtdxzyx (1-11)(3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中, , zkyjxir(1-10)kjirdtdzdtdydtdxdtd222zyx 23 为了描述速度随时间的为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质变化情况，我们定义：质点的点的平均加速度平均加速度则在时间则在时间 t t内质点速度的增量为内质点速度的增量为1-5 加加速度速度一一.加加速度速度 如图如图1-31-3所示所示, , 设时刻设时刻t t质点位于质点位于A点，速度为点，速度为 ( (t t) ), ,经时间经时间

13、 t t运动到运动到B点，速度为点，速度为 ( (t t+ + t t) ), ,)()(tttta图1-3Oxyz)(tA.)(ttB.24 质点的质点的( (瞬时瞬时) )加速度加速度定义为定义为 (1) (1) 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,加速度的表示式是加速度的表示式是limt 0ta(1-17)22dtrddtd这就是说这就是说, ,质点在某时刻或某位置的质点在某时刻或某位置的( (瞬时瞬时) )加速度加速度等于速度矢量等于速度矢量 对时间的对时间的一阶导数一阶导数, ,或等于矢径或等于矢径r对时间的二阶导数。对时间的二阶导数。 kjikjiadtzddtyddtxddtddt

14、ddtddtdzyx222222(1-19)25222222dtzddtda ,dtyddtda ,dtxddtdazzyyxx (1-20)(2) (2) 加速度加速度a 的大小的大小: : 而加速度而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为在三个坐标轴上的分量分别为222zyxaaaaa kjikjiadtzddtyddtxddtddtddtddtdzyx222222(1-19)26 在曲线运动中在曲线运动中, ,加速度的方向加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。总是指向曲线凹的一边的。 在国际单位制中在国际单位制中, ,加速度的单位加速度的单位为米为米/ /秒秒2 2( (ms-2) )。adt

15、d 加速度加速度a 的方向是：当的方向是：当 t t00时时, ,速度增量速度增量 的的极限方向。极限方向。 应该注意到应该注意到, , 的方向和它的极限方向一般不的方向和它的极限方向一般不同于速度同于速度 的方向的方向, ,因而加速度因而加速度a 的方向与同一时刻的方向与同一时刻速度速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。aaa27例：例：;dtda)A( 由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明子表明, ,任何一个曲线运动都可以分解为沿任何一个曲线运动

16、都可以分解为沿x, ,y, z 三三个方向的直线运动个方向的直线运动, ,每个方向上的运动是相互独立的每个方向上的运动是相互独立的, ,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加叠加, ,这就是这就是运动的叠加原理运动的叠加原理。;dtda)B( .dtda)D( ;dtda )C( 28 以上内容的学习要点是以上内容的学习要点是：认真学习用微积分认真学习用微积分来处理物理问题的方法来处理物理问题的方法。r=xi+yj+zk求求 导导积积 分分dtdrdtda1-6 运动学的两类问题运动学的两类问题29 例题例题1-11-1 一质点沿一质点沿x

17、轴运动轴运动, ,运动方程为运动方程为x=t39t2 +15t+1 (SI), ,求求: : (1) (1)质点首先向哪个方向运动质点首先向哪个方向运动? ?哪些时刻质点调头哪些时刻质点调头了？了？ (2)(2)质点在质点在02s内的位移和路程。内的位移和路程。 可得：可得：t=1 ,5s; ;又由于又由于1,5s前后速度前后速度 改变改变了方向了方向( (正负号），所以正负号），所以t=1,5s调头了。调头了。 因因t=0时速度时速度 =+15m/s, ,所以质点首先所以质点首先向向x轴正方向运动。轴正方向运动。 =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0调头的必要条件是速度为零，即

18、调头的必要条件是速度为零，即解解（1 1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？）质点做直线运动时，调头的条件是什么？dtdx 30 x=x(2)-x(0)=3-1=2m考虑到考虑到t=1st=1s时调头了，故时调头了，故02s内的内的路程应为路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m (2)(2)质点在质点在02s内的位移可表示为内的位移可表示为jtitr) 12()23(22质点作什么样的运动？质点作什么样的运动？例题例题1-2 1-2 质点的位置矢量：质点的位置矢量：解解 x =3+2t2, y =2t2-1，y =x-4 直线直线, j ti tdtrd

19、44 jidtda44 质点作质点作匀加速直线运动匀加速直线运动。x=t39t2 +15t+131 解解 (1)(1)由矢径的表达式可知由矢径的表达式可知, , x=Rcos t ， y=Rsin t从以上两式中消去从以上两式中消去t,t,得到粒子的轨道方程：得到粒子的轨道方程： x2+y2=R2这是一个以原点这是一个以原点o o为中心为中心, ,半径为半径为R的圆。的圆。 例题例题1-31-3 已知某一粒子在已知某一粒子在oxyoxy平面内运动平面内运动, ,其矢径其矢径为为: :r=Rcos t i+Rsin t j，其中其中R、 为正值常量。为正值常量。 (1)(1)试分析该粒子的运动情

20、况试分析该粒子的运动情况; (2); (2)时间时间t=t= / / 2 2 / / 内的位移和路程。内的位移和路程。 由于由于t=0t=0时时, ,x=R, y=0, ,而而t0t0+ +时时, ,x0,y0, ,由此判定由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。粒子是作逆时针方向的圆周运动。 32Ra ,Ryx222 其大小为其大小为 显然粒子的速度和加速度的大小均为常量。显然粒子的速度和加速度的大小均为常量。a的方的方向向- -r r，即沿着半径指向圆心。综上所述可知，粒子，即沿着半径指向圆心。综上所述可知，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。作逆时针的匀速率圆周运动。粒子在任一时刻粒子在任一时刻

21、t t的速度、加速度为的速度、加速度为 j tcosRi tsinRdtrd rj tsinRi tcosR222 dtda j tsinRi tcosRr 33(2)(2)在时间在时间t=t= / /2 2 / / 内的内的位移为位移为 注意到注意到 为角速度，在时间为角速度，在时间t=t= /2 / 内粒子刚好内粒子刚好运动半个圆周，故路程运动半个圆周，故路程: : S=S= R R。 iR)(r)(rr22 j tsinRi tcosRr 34 例题例题1-4 质点在质点在xoy平面内运动，平面内运动，x=2t, y=19-2t2 (SI);求：求：(1)质点在质点在t=1s、t=2s时

22、刻的位置时刻的位置,以及这以及这1s内的位移内的位移和平均速度；和平均速度；(2)第第1s末的速度和加速度；末的速度和加速度；(3)轨道方程；轨道方程；(4)何时质点离原点最近何时质点离原点最近? (5)第第1s内的路程。内的路程。平均速度平均速度 ：位移：位移：当当t=1s时，时，解解 (1)位矢：位矢：j )t(tir22192 )m( jir1721 当当t=2s时，时，)m( jir1142 (m)jirrr6212 )s/m( jitr62 35代入代入t=1s,得：得：加速度：加速度： (2)速度：速度：j )t(i tr22192 j tidtrd42 jdtda4 ) s/m(

23、 ji42 )s/m( ja24 )s/m(20(-4)222 a=4(m/s2)36 (3)轨道方程：轨道方程： 22222)2t-(19(2t) yxr0 dtdr由此方程可解得，由此方程可解得，t= 0,3s (略去略去t=-3s);代入代入t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见可见t=3s时最近。时最近。r有极值的必要条件是：有极值的必要条件是： (4)何时质点离原点最近何时质点离原点最近? x=2t, y=19-2t22192xy 这是一条抛物线这是一条抛物线37(5)第第1s内的路程内的路程:j tidtrd42 dtds 22)4(2t 2)2(12t

24、 )2()2(12tdtds )2()2(1210tdts (2t)1ln(2t)2(12122 t10=1.34m2o21atts 38 例题例题1-5 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的的岸边，一人以恒定的速率速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，时，船的速度和加速度。船的速度和加速度。 解解 对矢径未知的问对矢径未知的问题题,须先建立坐标系须先建立坐标系,找找出矢径出矢径,再求导。再求导。22hrx ,hrdtdrrdtdx22 dtdr, jhi xr idtdxdtrd xhxi22 322xhidtda hx图1-4ro

25、xy39 解解2:,hxr22 ,hxdtdxxdtdr22 dtdr船的速度船的速度:xhxdtdx22 船船322xhdtda 船船船船hx图1-4r40 ABd dtda 解解 取伞兵开始下落时的位置为坐标原点取伞兵开始下落时的位置为坐标原点,向下为向下为x轴的正方向。轴的正方向。 例题例题1-6 一伞兵由空中竖直降落一伞兵由空中竖直降落,其初速度为零其初速度为零,而而加速度和速度的关系是加速度和速度的关系是: a=A-B ,式中式中A、B为常量为常量;求伞兵的速度和运动方程。求伞兵的速度和运动方程。 BA dtdaxx dt o to)e(BABt 1 222zyxaaaa 222zy

26、x 41) 1(2BteBAtBAx完成积分就得运动方程完成积分就得运动方程:)e(BAdtdxBt 1 )e(BABt 1 dt)e(BAdxBttx 10042 可认为任一时刻质点都在一个可认为任一时刻质点都在一个圆上运动，这个圆称为圆上运动，这个圆称为曲率圆曲率圆，如图，如图1-5所示。所示。二二.向心加速度和切向加速度向心加速度和切向加速度设质点沿曲线设质点沿曲线C运动。运动。图1-5p1C.dtda 加速度加速度 ，反映速度，反映速度 大小大小和和方向方向的变化率。的变化率。 能否将能否将a分为两部分：一部分反映分为两部分：一部分反映 大小变化，另大小变化，另一部分反映一部分反映 方

27、向的变化？答案是肯定的。方向的变化？答案是肯定的。 用自然坐标系用自然坐标系, e et t 轨道切向的单位矢量轨道切向的单位矢量, en 轨道法向并指向曲率中轨道法向并指向曲率中心的单位矢量。心的单位矢量。 于是速度可写为于是速度可写为 te tene43而加速度而加速度 设质点时刻设质点时刻t在在p p1 1点点, 经时经时间间 t t到达到达p p2 2点，如图点，如图1-6所所示。示。te ttedtddteda te)(ttet)(tet ttee= 当当 t0时，时， 也趋于零也趋于零, et的极限方向为的极限方向为 的方向，所以的方向，所以 ;nentededntedtddted

28、 so图1-6p1Cp2)(tet)(ttetne 44te)(ttet)(tet因因ds= d d ( 为曲率半径为曲率半径),ttedtddteda ntedtddted ntedtdsdsddted nedtds 1 ne 于是得于是得:tnedtdea 2(1-21)so图1-6p1Cp2)(tet)(ttetne 45ttedtda 大小：大小： 2 na方向：方向：沿半径指向圆心。沿半径指向圆心。大小：大小：方向：方向：沿轨道切线方向。沿轨道切线方向。dtdat 作用：作用：描述速度方向的描述速度方向的 变化。变化。作用：作用：描述速度大小的描述速度大小的 变化。变化。加速度小结加

29、速度小结：tnedtdedtda 2tnaannea 2 名称：名称：向心向心(法向法向)加速度。加速度。 名称：名称：切向加速度。切向加速度。nataa46总加速度的大小总加速度的大小: 以上内容的学习要点是以上内容的学习要点是：掌握切向掌握切向加加速度和向心加速度表达的物理内速度和向心加速度表达的物理内容和计算公式容和计算公式。222 dtd tnaatg a与速度与速度 的夹角的夹角 是是:22tnaaa (1-22) 2 nadtdat tnaadtda a t 图1-7a na47ctbdtds cdtdat R)ctb(Ran22 cRcbt 由由an=| at | 得得:cbt

30、解得解得解解 (1)由公式：由公式： 例题例题1-7 质点沿半径为质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间的圆周运动，路程与时间的关系是：的关系是： (b,cb,c为常数为常数,且且b b2 2RcRc); 求求:221ctbts(1)何时何时 an= at ？ (2)何时加速度的大小等于何时加速度的大小等于c ? c(2)由由anata2248 例题例题1-81-8 求斜抛体在任一时刻的法向加速度求斜抛体在任一时刻的法向加速度an n 、切切向加速度向加速度at t和轨道曲率半径和轨道曲率半径 ( (设初速为设初速为 o o，仰角为仰角为 ) )。 cosox xngga cos 解解 设坐标设

31、坐标x、y沿水平和竖直两个方向，如图示。沿水平和竖直两个方向，如图示。 总加速度总加速度( (重力加速度重力加速度) )g g是已知的是已知的; ;所以所以an n 、at t 只是重力加速度只是重力加速度g g沿轨道法向沿轨道法向 和切向的分量和切向的分量, ,由图可得：由图可得： gtoy sin22yx ytgga sin图gxy3-10 oxyanat4922)sin()cos(cosgtgooo xngga cos ytgga sin cos)sin()cos(3222ooonggta 讨讨论论：(1)在轨道的最高点，在轨道的最高点，显然显然 =0=0，y y=0,=0,故该点：故该

32、点：g)(o2cos an n=g, =g, at t=0=0图gxy3-10 oxyanat22)sin()cos()sin(gtgtgooo 50(2) 解法之二解法之二dtdat 22tnaag na2 2o2ogt)-sin()cos( 22tnaga 2o2ogt)-sin()cos(sin )gt(go,ox cos gtoy sin图gxy3-10 o51 =3t,完成积分得完成积分得: :,1st 3t2=3, , 求出求出t=1st=1s 例题例题1-91-9 一质点由静止开始沿半径一质点由静止开始沿半径r=r=3m的圆周运的圆周运动，切向加速度动，切向加速度at t=3m/

33、s;=3m/s;求：求：(1)(1)第第1s1s末加速度的大末加速度的大小；小；(2)(2)经多少时间加速度经多少时间加速度a与速度与速度 成成4545 ? ?这段时间这段时间内的路程是多少？内的路程是多少？ ,dtdat3 解解(1)(1)由由有有 003tdtd223tran )m(tdtS23310 ,3tdtdS又又 (2)(2)加加速度速度a与速度与速度 成成4545 ，意味着，意味着a与与an n 和和at t都成都成4545 , ,即表示：即表示：an n= = at t ，于是有，于是有anata22)ms(223 52 设作半径为设作半径为R的圆周运动的圆周运动,如图如图1-

34、9所示。所示。dtd 质点在任一时刻质点在任一时刻t的的(瞬时瞬时)角加速度角加速度为为dtd 三三.圆周运动的角量和线量的关系圆周运动的角量和线量的关系 我们定义：我们定义： 质点在任一时刻质点在任一时刻t的的(瞬时瞬时)角速度角速度为为角角 称为称为角坐标角坐标(角位置角位置)。 角能完全角能完全确定质点在圆上的位置确定质点在圆上的位置,yxoA图1-9R53 线量和角量之间的联系线量和角量之间的联系: : Rdtda,RRa,Rtn 22(1-22a) 由图由图1-101-10还可以得出还可以得出, ,质点的线速度质点的线速度 等于角速度等于角速度 与质点位矢与质点位矢r r的矢量积的矢

35、量积: : 我们定义我们定义: :角速度矢量角速度矢量 的方向垂直于质点的运动的方向垂直于质点的运动平面平面, ,其指向由右手螺旋定则确定其指向由右手螺旋定则确定, ,如图如图1-101-10所示。所示。图1-10角速度矢量角速度矢量r54 圆周运动与直线运动的比较：圆周运动与直线运动的比较： 表表1-1直线运动直线运动圆周运动圆周运动坐标 x角坐标 速度角速度加速度角加速度若a=恒量，则若恒量,则dtdxdtddtdadtd221attxoxao222to221tto222oato55 例题例题1-101-10 一半径一半径R=1mR=1m的飞轮，角坐标的飞轮，角坐标 =2=2 +12+12

36、 t-t- t t3 3 (SI), (SI),求：求：(1)(1)飞轮边缘上一点在第飞轮边缘上一点在第1s1s末的法向加末的法向加速度和切向加速度；速度和切向加速度；(2)(2)经多少时间经多少时间、转几圈飞轮将转几圈飞轮将停止转动？停止转动？ ,tdtd2312 tdtd 6 an=R 2=(12 -3 t2)2 , at=R =-6 t代入代入t=1s, t=1s, an=81 2 , at= -6 (SI) (SI) (2) (2)停止转动条件：停止转动条件： =12=12 -3-3 t t2 2=0, =0, 求出：求出：t=2st=2s。 t=2s, t=2s, 2 2=18=18

37、 ，解解(1) t=0, t=0, 0 0=2=2 , , 所以转过角度：所以转过角度：= = 2 2- - 0 0=16=16 =8=8圈圈。56 解解 例题例题1-111-11 质点沿半径为质点沿半径为R的圆周运动，速率的圆周运动，速率 =A+Bt=A+Bt (A(A、B B为正的常量为正的常量) )。t=0t=0质点从质点从圆上某点出圆上某点出发，发，求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多少？少？ 由于由于 =B/R为常量，于是可用为常量，于是可用: :,Bd

38、tdat R)BtA(Ran22 ,RBdtdat RB 因因 =A+Bt=A+Bt= = R, 所以所以t=0时时, o=A/R221tto,求出时间求出时间t。 =2 ,57 o=A/R,RB221ttoR)BtA(Ran22 BRA 42 Bdtda ,t 22tnaaa BARBAt 42解得解得222)4(BBRA 2212tRBtRA =2 58另另解解,Bdtdat R)BtA(Ran22 ,BtAdtds to Ro 2 dsdt)BtA( ,BtAtR2212 R)BtA(Ran22 BRA 42 Bdtda ,t BARBAt 42解得解得22tnaaa 222)4(BBR

39、A 591-7 相对运动相对运动 假定：参考系假定：参考系S和和S 之间，只有相对之间，只有相对平移平移而而无相无相对转动对转动, 且各对应坐标轴始终保持平行。且各对应坐标轴始终保持平行。 对空间对空间P点点, 有有rps= rps+ rssyxyoSS zz图1-11Orpsrps. prs s ps= ps+ ssaps= aps+ ass(1-25)(1-26)( 1-23)60式式(1-25)称为称为速度合成定理速度合成定理。它表示：。它表示：质点质点P对对S系的系的速度等于质点速度等于质点P对对S 系的速度与系的速度与S 系对系对S系的速度的矢系的速度的矢量和。量和。 注意：注意：(1).式式(1-23)(1-26)是矢量关系式。是矢量关系式。 (2).双下标先后顺序交换