B第6章大数定律及中心极限定理浙江农林

1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录第六章第六章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 大数定律大数定律2 中心极限定理中心极限定理第六章习题课第六章习题课概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录第六章第六章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1大数定律大数定律 在实际应用中，往往可以用实验次数足够大时在实际应用中，往往可以用实验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着实验次数的增加，的频率来估计概率的大小，且随着实验次数的增加，估计的精度会越来越高估计的精度会越来越高 概率论与数理统计概

2、率论与数理统计返回目录返回目录1.1切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式证明证明222(),(),.XE XD XP X设设随随机机变变量量具具有有数数学学期期望望方方差差则则对对于于任任意意正正数数不不等等式式理理成成立立定定取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录.22XP 221()( )dxp xx.122 22( )dx pxxx22XP .122XP 得得P X( )dx p xx概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录解解 时当2412222XP时当3913322

3、XP概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1.2 大数定律大数定律11lim|111()nkknnkkXnPEXn 11(1()1nknkkkEnnXEX【注】概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1.3契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律1)(11lim11niiniinXEnXnP概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录11nnkkYXn证明证明21111()()()nnnkkkkCD YDXD Xnnn22()lim(1)lim(1)1nnnD YCn1111()()()nnnkkkkE YEXE Xnnlim |()|nnnP YE Y1111lim()nnii

4、niiPXE Xnn记记概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录11|1limnknkPXn 【注注】1111()nnkkkkEXE Xnn概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录), 2 , 1( ni 解解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理. 概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1.4伯努利大数定律伯努利大数定律1limpnnPAn概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录证明证明则则)1()(,)(ppXDpXEii 由切由切比雪夫大数定律有比雪夫大数定律有11nAiinXnn11nAiinEEXpnn1limpnnPAn1,0,iiAX

5、iA在第 次试验中 出现在第 次试验中 不出现概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录伯努利大数定律表明，当重复试验次数伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率与事件发生的频率与事件A的概的概率率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法事件概率的方法.（理论保障）（理论保障）1limpnnPAn概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1.5辛钦大数定律辛钦大数定律11lim1niniPXn概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录概率论与数理统计概率

6、论与数理统计返回目录返回目录2中心极限定理中心极限定理 在一定条件下在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态许多随机变量的极限分布是正态分布分布:“若一个随机变量若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小每一种因素的影响都很小,都都有不起压倒一切的主导作用有不起压倒一切的主导作用,则则X一般都可以认为近似一般都可以认为近似地服从正态分布地服从正态分布.”概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录 例如对某物的长度进行测量例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随在测量时有许多随机因素影响测量的结果机因

7、素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量如温度和湿度等因素对测量仪器的影响仪器的影响,使测量产生误差使测量产生误差X1;测量者观察时视线所测量者观察时视线所产生的误差产生的误差X2;测量者心理和生理上的变化产生的测测量者心理和生理上的变化产生的测量误差量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的显然这些误差是微小的、随机的,而且相而且相互没有影响互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和差之和,即即Xi.概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1,1,2,.nniiYXn2.1中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回

8、目录*111()()()()nniinniinnniiXE XYE YYD YDX概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录11*1()()nnkknnkkkkXXXEDY2*2(12)limxntneP Yxdtx 若对于一切实数若对于一切实数 x ,有有则称随机变量序列则称随机变量序列Xk服从服从中心极限定理中心极限定理.*(0,1)nYAN概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录*11111()()nnnkkknkkkknnkkkXEXXnXYnnDX2*21( )2limtxnnP Yxedtx 2.2独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理概率论与数理统计概率论

9、与数理统计返回目录返回目录210190100YP21020019021020021052. 01707. 02概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录111(1),;(2)()()()()()()()(3)(0,1)()()()()(4)()()()()()()()()niiiniiiniiiXXXE XE XE XD XD XD XXE XAND XaE XXE XbE XP aXbPD XD XD XbE XaE XD XD X 构构建建使使得得计计算算计计算算从从而而有有概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录例例 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100100次，则点数之和不

10、少于次，则点数之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心极限定理由中心极限定理100150035050018753iiPX 0)78. 8(110010011735875()100350,()1002123iiiiEXDX概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录2121(1)(1)2limlimntiinnnXnpZnpPPxedtnppnpp证明证明 设X1,X2,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(P

11、Xi=0=1-p,PXi=1=p)的随机变量,则Yn= X1+X2+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得2 2 1lim( )(1)2txnnZnpPxedtxnpp 概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录解法解法1 设X为10000个新生儿中男孩个数 则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为 5000XP)1 (5000)1 (pnpnppnpnpXP)1 (5000pnpnp00135. 03)515. 01 (515. 010000515. 0100005000概率论与数理统计概

12、率论与数理统计返回目录返回目录个是女孩第个是男孩第i0i1iX），（1000021i)(iXE0.5152()iD X249775. 0设X为10000个新生儿中男孩个数 则女孩不少于男孩的概率为 5000XP249775. 010000515. 0100005000249775. 010000515. 010000XP00135. 03249775. 010000515. 0100005000解法解法2 概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录 例例 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得

13、1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有90%把握不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润， Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;9 . 0)994. 0006. 01

14、0000006. 01000060000(a（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令3017 a由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录第六章习题课第六章习题课大大数数定定律律中心极限定理中心极限定理契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律独立同分布的独立同分布的中心极限定理中心极限定理依分布收敛依分布收敛辛钦大数定律辛钦大数定律马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录大数定律大数定律111(im11l)nkknkknEPXnXn 1111()nknkkkEXEnXn【注

15、】概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1)(11lim11niiniinXEnXnP概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1limpnnPAn概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录11lim1niniPXn辛钦辛钦概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录1)(11lim11niiniinXEnXnP概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录中心极限定理中心极限定理11*1()()nnkknnkkkkXXXEDY若若则称随机变量序列则称随机变量序列Xk服从服从中心极限定理中心极限定理.*(0,1)nYAN概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目

16、录111(1),;(2)()()()()()()()(3)(0,1)()()()()(4)()()()()()()()()niiiniiiniiiXXXE XE XE XD XD XD XXE XAND XaE XXE XbE XP aXbPD XD XD XbE XaE XD XD X 构构建建使使得得计计算算计计算算从从而而有有概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录解解 2()20,()15 ,1,.,100iiE XD Xi10012000iiEX10021150iiDX概率论与数理统计概率论与数理统计返回目录返回目录设设X表示表示100个麦穗的麦粒总数，则个麦穗的麦粒总数，则由中心极限定理知由中心极限定理知10021(2000,150 )ii