第四章角动量守恒定律

1、南 京 信 息 工 程 大 学盘盘 状状 星星 系系力力 矩矩角角 动动 量量角角 动动 量量 定定 理理角角 动动 量量 守守 恒恒 定定 理理v物体物体 是否转动？是否转动？力力4.1 力矩力矩v物体物体 运动状态改变运动状态改变力力外力是否外力是否产生力矩产生力矩是是 转动转动 否否 不转动不转动力矩：力矩：反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响MrF 力矩由位移和力决定，力矩由位移和力决定，对于不同的参考点力矩是不对于不同的参考点力矩是不同的，所以一般要指明某一力矩所对应的参考点，同的，所以一般要指明某一力矩所对应的参考点，且力矩要画在参考

2、点上且力矩要画在参考点上一、力矩一、力矩rFM1、定义、定义sinMrF大小：大小：四指是由四指是由 沿沿 的方向转到的方向转到 方向方向大拇指指向为大拇指指向为 的方向的方向r0180FM方向：方向：MFrPdO2、直角坐标系中表示、直角坐标系中表示xyzrxiyjzkFF iF jF k()()()xyzzyxzyxxyzijkMrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF kM iM jM kyxzxMzMyMMO力对力对z轴的力矩轴的力矩: :即力矩沿即力矩沿z轴的轴的分量或力矩在分量或力矩在z轴的投影轴的投影xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF3、对定轴的力矩、对定轴的

3、力矩1 1sinzMrF力矩的分量式力矩的分量式沿转轴方向力矩可以使物体沿此轴转动，即只有沿转轴方向力矩可以使物体沿此轴转动，即只有平行于转轴的力矩才对转动起作用平行于转轴的力矩才对转动起作用转轴转轴o r1Fz转动平面转动平面 r2 rF2F1F1O r将参考点沿将参考点沿 z 轴移至轴移至O，位矢，位矢 r 改变，但是改变，但是 r1不变，不变，Mz也不变，说明力对也不变，说明力对 z 轴上任一点的力轴上任一点的力矩在矩在z 轴的投影等于力对轴的投影等于力对z 轴的力矩，即对一确轴的力矩，即对一确定的力定的力F，对对z 轴上任一参考点来说，力对轴上任一参考点来说，力对z 轴轴的力矩保持不变

4、的力矩保持不变OzzMMcoszMM如果已知力矩矢量的大小和它与如果已知力矩矢量的大小和它与Z Z轴的夹角，则力对轴的夹角，则力对Z Z轴的力矩轴的力矩: :5、对定轴力矩的方向、对定轴力矩的方向选定正方向后只有正负两种可能，合选定正方向后只有正负两种可能，合力矩可以用各力矩的代数和来计算力矩可以用各力矩的代数和来计算4、合力矩、合力矩1212Mr Fr Fr FMM 对点：对点：12zzzMMM对轴：对轴：OZ ZzMzMeg1：质量为质量为m=1Kg的质点在力的质点在力 作用下运动，作用下运动，质点在质点在t=0时刻位于坐标原点时刻位于坐标原点，v0=0， 求求：质点在：质点在t=2s时相

5、对于原点的力矩时相对于原点的力矩 jtitF)23()32(eg2：一小球质量一小球质量m在（在（x，0，0）由静）由静止沿止沿 z 轴负向释放，重力加速度轴负向释放，重力加速度g求：重力对求：重力对O点的力矩点的力矩一、角动量一、角动量平动动量平动动量 转动？转动？LvmrvmrL1、定义：、定义：sinrmvL 大小：大小：rvmL方向：方向：四指是由四指是由 沿沿 的方向转到的方向转到 方向，大方向，大拇指指向为拇指指向为 的方向的方向r0180mv L 4.2 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律若质点相对于某一参考点若质点相对于某一参考点O的的角动量为角动量为 ，则该质点相对于通过，

6、则该质点相对于通过O的任意轴线的任意轴线OZ的角动量为的角动量为cosLLzL2、质点对定轴的角动量、质点对定轴的角动量3、质点对定轴的角动量的方向质点对定轴的角动量的方向OZ ZL选定正方向后只有正负两种可能，选定正方向后只有正负两种可能，合角动量可以用各角动量的代数和合角动量可以用各角动量的代数和来计算来计算OZ ZzLzLzL例例1、质量为、质量为1kg的质点在力的质点在力 的作的作用下运动，用下运动， 时，质点位于坐标原点，且静止；时，质点位于坐标原点，且静止；求：此质点在求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。秒时相对于坐标原点的角动量。jtitF)23()32(0t例例2、一质量

7、为、一质量为m的小球在的小球在 点由静止释放，点由静止释放，设重力加速度沿设重力加速度沿Z轴负向；求：小球相对轴负向；求：小球相对于坐标原点于坐标原点O的角动量。的角动量。)0 , 0 ,(1x例例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。prvmrLMFrvmvdtpdrpdtrdprdtddtLd)(质点对某定点的角动量质点对某定点的角动量随时间的变化率等于质点所随时间的变化率等于质点所受合外力对该点的合力矩受合外力对该点的合力矩dtLdM二、角动量定理二、角动量定理1、对定点的角动量定理：、对定点的角动量定理：dtpdF动量动量动量定理动量定理 ?

8、dtLd角动量角动量角动量定理角动量定理 类比类比 来考虑来考虑 角动量定理角动量定理末初初末 LLdtM积分形式的角动量定理积分形式的角动量定理2、对定点的角动量定理的积分形式：、对定点的角动量定理的积分形式：dtLdM末初末初dLdtM冲量矩：反映在一段时间中力矩积累冲量矩：反映在一段时间中力矩积累的效果的效果末初dtM角动量定理的含义角动量定理的含义：在一段时间过程中，质点所受的在一段时间过程中，质点所受的冲量冲量 矩等于质点角动量的增量矩等于质点角动量的增量LddtM合外力矩是引起角动量变化的原因合外力矩是引起角动量变化的原因末初初末zzzLLdtM积分形式：积分形式：dtdLMzz微

9、分形式：微分形式：3、对轴的角动量定理：、对轴的角动量定理：4、说明：、说明： 角动量定理中角动量定理中M和和L必须相对同一个参考点必须相对同一个参考点 Mz和和Lz必须相对同一个轴必须相对同一个轴2、说明：、说明：M相对某点为零，相对某点为零，L相对该参考点守恒相对该参考点守恒Mz相对某轴为零相对某轴为零，Lz相对该轴守恒相对该轴守恒三、角动量守恒定律1、角动量守恒定律：角动量守恒定律：00dLMLcdtcLdtdLMzzz003、M=0几种情形几种情形： r=0 力的作用力的作用点在参考点或转轴上点在参考点或转轴上 F=0 质点不受力或所受合力为零质点不受力或所受合力为零 rF有心力有心力

10、eg1：质量为质量为m的质点作圆锥运动，的质点作圆锥运动，v=c，分析分析O点与点与A点的角动量点的角动量AOlRmgTmgRgmrAmgRgmro0mgRTromgR0重力矩：重力矩：张力矩：张力矩：合外力矩：合外力矩：角动量：角动量：A点点O点点参考点：参考点：不守恒不守恒守守 恒恒合外力矩合外力矩 在在OA轴上的分量都为轴上的分量都为0,0,由由 知知 在在OA轴上的分量都为常数轴上的分量都为常数OAMM,dtLdMOALL,对于不同的参考点分析所得的结果是不同的，对于不同的参考点分析所得的结果是不同的，所以在分析问题时要明确参考点。所以在分析问题时要明确参考点。总结：总结：OLALeg

11、2：质量为质量为m的小球用弹性绳拴住，的小球用弹性绳拴住，另一端固定另一端固定A点，弹性绳点，弹性绳k=8N/m自由伸长时自由伸长时l0=60cm，小球在光滑，小球在光滑水平面运动，初速度水平面运动，初速度v0，与，与r夹角夹角=300，此时，此时l1=40cm，末态时球距，末态时球距A点点l2=80cm，达到最大绳长。，达到最大绳长。求：此时小球的速率求：此时小球的速率eg3：光滑的桌面有一个光滑的小孔，光滑的桌面有一个光滑的小孔，轻绳拴住质量为轻绳拴住质量为m=10g的小球，穿的小球，穿过小孔使球做匀速圆周运动，过小孔使球做匀速圆周运动，r0=40cm时，时，F=10-2N，继续向下拉，继

12、续向下拉绳，绳， r=10cm时，小球的速率是多时，小球的速率是多少？此过程中拉力做的功是多少？少？此过程中拉力做的功是多少？eg4、两个滑冰运动员，质量同为、两个滑冰运动员，质量同为70kg，以，以 沿相反方向滑行，滑行路线间沿相反方向滑行，滑行路线间距（垂直距离）距（垂直距离） 彼此交错时各抓彼此交错时各抓住住10米长绳的一端，然后旋转（圆运动米长绳的一端，然后旋转（圆运动）；求：）；求：1）抓住绳前后，各自对绳中心）抓住绳前后，各自对绳中心的角动量为多少？的角动量为多少？2）他们各自收绳达绳）他们各自收绳达绳长长5米时，各自的速率及绳的张力？米时，各自的速率及绳的张力？3）收绳中各自作了多少功，总动能如何变收绳中各自作了多少功，总动能如何变化化