自动控制原理ZKYL08-03

1、1第八章第八章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析28-4 描述函数法描述函数法描述函数法是用于非线性系统分析的一种有描述函数法是用于非线性系统分析的一种有用工具。它是一种近似的分析方法，虽然没有相用工具。它是一种近似的分析方法，虽然没有相平面法准确，但避开了相平面法作图的繁琐与困平面法准确，但避开了相平面法作图的繁琐与困难，而且不受阶次的限制。难，而且不受阶次的限制。描述函数法是建立在谐波线性化的基础上，描述函数法是建立在谐波线性化的基础上，来分析周期信号基本频率分量的传递关系，从而来分析周期信号基本频率分量的传递关系，从而讨论系统在频域中的一些特征，如稳定性，自激讨论系统在频域中的一些特

2、征，如稳定性，自激振荡等，但它不能给出时间响应的确切信息。振荡等，但它不能给出时间响应的确切信息。 1、描述函数法的基本概念、描述函数法的基本概念3 在一定的假设条件下，系统中的非线性环节在一定的假设条件下，系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，并由此导出非线性环节的近似等效频率特性，似，并由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即即描述函数描述函数。这时非线性系统就近似等效成一个。这时非线性系统就近似等效成一个线性系统，并可应用线性系统的频率法对系统进线性系统，并可应用线性系统的频率法对系统进行频域分析。行频域分析。v 描述函

3、数法的基本思想描述函数法的基本思想v 描述函数法的限制条件描述函数法的限制条件 应用描述函数法分析非线性系统，要求应用描述函数法分析非线性系统，要求满足以下条件：满足以下条件：(1)(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节个非线性环节 和一个线性部分和一个线性部分 G(s) 闭环连闭环连接的典型形式。接的典型形式。4(3) 系统的线性部分具有较好的低通滤波性，可系统的线性部分具有较好的低通滤波性，可将非线性环节输出中的高次谐波滤掉。将非线性环节输出中的高次谐波滤掉。( (2) ) 非线性环节的输入输出特性非线性环节的输入输出特性y(x)是是x的奇函

4、数，的奇函数，或正弦输入下的输出为或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，保证非的奇对称函数，保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量。线性环节的正弦响应不含有常值分量。( (4) ) 非线性输出的高次谐波的振幅要比基波的振非线性输出的高次谐波的振幅要比基波的振 幅小。幅小。( )G s( )r t( )x t( )y t( )c tN5 对于典型非线性系统，设非线性环节的输入对于典型非线性系统，设非线性环节的输入 x(t)=Asint , 通常输出通常输出y(t) 是非正弦周期函数，将是非正弦周期函数，将此函数展开成傅氏级数的形式此函数展开成傅氏级数的形式0101( )(cossin)sin()n

5、nnnnny tAAntBntAYnt其中：其中：20011( )( )22Ay t dty t dtv 描述函数的定义描述函数的定义因为因为y( (t) )是奇对称的，故有是奇对称的，故有A0=0。220011( )cos() () ,( )sin() ()(1, 2 ,)nnAy tn t dtBy tn t dtn是直流分量。是直流分量。6An和和Bn为输出的为输出的n次谐波分量的幅值，一般为次谐波分量的幅值，一般为A的函数。的函数。n值值越大，越大，n越大，根据条件越大，根据条件 (3)，高，高次谐波分量被充分衰减；依据条件次谐波分量被充分衰减；依据条件(4)，An和和Bn随随n增大而

6、减小，因此可近似认为非线性环节的稳态增大而减小，因此可近似认为非线性环节的稳态输出仅有一次谐波分量，即：输出仅有一次谐波分量，即：)sin(sincos)()(11111tYtBtAtyty22111111arctanAYABB，201sin)(1ttdtyB2101( )cos,Ay ttd t7因此，当非线性环节因此，当非线性环节 N 的输入的输入 x(t) 为正弦为正弦函数时，稳态输出函数时，稳态输出 y(t) 可近似看作与输入同频可近似看作与输入同频率的正弦信号，只是相位和幅值不同。类似于率的正弦信号，只是相位和幅值不同。类似于线性系统中的频率特性的概念，把输出信号一线性系统中的频率特

7、性的概念，把输出信号一次谐波分量与输入信号的复数之比定义为非线次谐波分量与输入信号的复数之比定义为非线性环节的描述函数，用性环节的描述函数，用 来表示，则：来表示，则：1( )111( )( )jj N AYBjAN AN A eeAA8例：设继电特性为例：设继电特性为,0( ),0Mxy xMx计算该非线性特性的描述函数。计算该非线性特性的描述函数。解：解：,0( )sin,( ),2Mtx tAty tMt220001( )022MAy t d td td t221001( )coscoscos0MAy ttd ttd ttd t2210014( )sinsinsinMMBy ttd tt

8、d ttd t114( )BjAMN AAA9非线性特性为输入非线性特性为输入 x 的奇函数时，即的奇函数时，即y=f (x)= - f(-x)10102( )cos2( )sinAy ttdtBy ttdt y(t)为奇函数时，即为奇函数时，即 y(t)= -y(-t)11002( )sinABy ttdt10 用描述函数表示非线性特性时，相当于用用描述函数表示非线性特性时，相当于用线性特性代替了元件本来的非线性特性。因此线性特性代替了元件本来的非线性特性。因此可把非线性元件看作是个放大器，其增益可把非线性元件看作是个放大器，其增益N(A) 是一个复数，该复数的幅值和相角是输入信号是一个复数

9、，该复数的幅值和相角是输入信号幅值幅值A的函数，反映了非线性元件等效频率特性的函数，反映了非线性元件等效频率特性特点。特点。 当非线性元件用描述函数表示后，就可以当非线性元件用描述函数表示后，就可以用线性系统理论中的频率法来研究非线性系统用线性系统理论中的频率法来研究非线性系统的基本特征了。的基本特征了。v 描述函数的物理意义描述函数的物理意义111 1、死区特性的描述函数、死区特性的描述函数2、典型非线性特性的描述函数、典型非线性特性的描述函数22( )arcsin1, 2KN AAAAA122、饱和特性的描述函数、饱和特性的描述函数22( )sin1,kaaaN AarcAaAAA133、

10、非线性系统的简化、非线性系统的简化（1 1）非线性特性的并联）非线性特性的并联14（2 2）非线性特性的串联）非线性特性的串联154、非线性系统稳定性分析的描述函数法、非线性系统稳定性分析的描述函数法N(A)G(j)r(t)c(t) N( (A) )是经过谐波线性化后的等效环节，可以作是经过谐波线性化后的等效环节，可以作为一个具有复数增益的放大环节来处理，由此非线为一个具有复数增益的放大环节来处理，由此非线性系统可以看作一个等效的线性系统，并可应用线性系统可以看作一个等效的线性系统，并可应用线性系统理论中的频率域稳定判据来判断闭环系统的性系统理论中的频率域稳定判据来判断闭环系统的稳定性。稳定性

11、。16（1 1）变增益线性系统的稳定性分析）变增益线性系统的稳定性分析G( (s) )rcxy0-1设设G( (s) )的极点均位于的极点均位于s左半平面，系统频率特性的左半平面，系统频率特性的闭环特征方程为闭环特征方程为1+1+KG( (jj)=0)=0。当当 G不包围不包围(-1/(-1/K，j0)0)点时，闭环点时，闭环系统系统稳定。稳定。当当G包围包围(-1/(-1/K，j0)0)点时，闭环点时，闭环系统系统不稳定。不稳定。当当G穿过穿过(-1/(-1/K，j0)0)点时，闭环点时，闭环系统系统临界稳定。临界稳定。Ke17如果如果K在一定范围内可变化，在一定范围内可变化，K1 1 K

12、K2 2 , ,则则 为复平面为复平面实轴上的一段线段。实轴上的一段线段。xy021K11K1/ K当当G不包围不包围(-1/(-1/K，j0)0)线段时，线段时， 闭环闭环系统稳定。系统稳定。当当G包围包围(-1/(-1/K，j0)0)线段时，线段时， 闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。18 设非线性系统的结构图如下所示：设非线性系统的结构图如下所示：)()(1)()()(jGANjGANj（2 2）应用描述函数分析非线性系统的稳定性）应用描述函数分析非线性系统的稳定性N(A)G(j)r(t)c(t) 图中图中G( (s) )的极点均位于的极点均位于s左半平面左半平面, ,则闭则闭环系统的频率

13、特性为：环系统的频率特性为：191()( )G jN A 非线性系统满足上述条件相当于线性系统非线性系统满足上述条件相当于线性系统满足满足 G( (j)=-1 )=-1 的条件，所以上式就是非线性的条件，所以上式就是非线性系统产生自激振荡的条件，复平面上的系统产生自激振荡的条件，复平面上的 -1/N(A) 曲线就是临界线。曲线就是临界线。闭环特征方程为：闭环特征方程为：0)()(1jGAN1( )N A称为非线性环节的负倒描述函数。称为非线性环节的负倒描述函数。20()G jj01( )N A()G jj01( )N A 曲线与曲线与 -1/N(A) 曲线无交点：曲线无交点： 曲线包围曲线包围

14、-1/N(A)曲曲线，非线性系统不稳定。线，非线性系统不稳定。 曲线不包围曲线不包围-1/N(A)曲曲线线，非线性系统稳定。，非线性系统稳定。GGG21v 非线性系统的稳定性判据：非线性系统的稳定性判据： 若若 曲线不包围曲线不包围 -1/N(A) 曲线，曲线， 则非线则非线性系统稳定；性系统稳定； 若若 曲线包围曲线包围 -1/N(A) 曲线曲线 ，则非线性，则非线性系统不稳定。系统不稳定。GG22例：已知非线性系统结构如下图所示，分析其稳定性。例：已知非线性系统结构如下图所示，分析其稳定性。0.5k 1( )r t( )x t( )y t( )c t10(1)(41)s ss解解：10(

15、)(1)(41)G ss ss0002022180904490519014214xxxxxxxxarctgarctgarctgarctgarctg 23222210()(1) (4)1)1011114122210815522xxxxG j 10(0)11411( )2( )NMN AkANk 24j01()NA28 曲线曲线包围包围 -1/N(A) 曲线曲线 ， 非线性系统不稳定。非线性系统不稳定。G25（3 3）非线性系统存在周期运动时的稳定性分析）非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 当当 曲线曲线与与-1/N(A)曲线有交点时，系统存在曲线有交点时，系统存在无外作用下的周期运动，对应于相

16、平面分析中的无外作用下的周期运动，对应于相平面分析中的极限环。极限环。j01( )N A()G j1N2N0Nj01( )N A()G j2N1N0Nj0()G j1N3N2N20N10Nj0()G j20N10N1( )N A1( )N AG26j01()NA()Gj1N2N0N 设系统周期运动的幅值为设系统周期运动的幅值为A0。当外界扰动使非线性环节。当外界扰动使非线性环节输入振幅减小到输入振幅减小到A1时，时， 曲线曲线包围包围( (-1/N(A1) , j0)点，系统不点，系统不稳定，振幅增大，最终回到稳定，振幅增大，最终回到N0点。当外界扰动使输入振幅增点。当外界扰动使输入振幅增大到

17、大到A2时，时， 曲线曲线不包围不包围( (-1/N(A2) , j0)点，系统稳定，振幅点，系统稳定，振幅减小，最终回到减小，最终回到N0点。点。 因此因此N0点对应的周期运动是稳定的。点对应的周期运动是稳定的。GG27j01()NA()Gj2N1N0N 当当外界扰动使非线性环节输入振幅增加到外界扰动使非线性环节输入振幅增加到A2时，时， 曲曲线线包围包围( (-1/N(A2) , j0)点，系统不稳定，振幅继续增大而点，系统不稳定，振幅继续增大而发散。当外界扰动使输入振幅减小到发散。当外界扰动使输入振幅减小到A1时，时， 曲线不包围曲线不包围( (-1/N(A1) , j0)点，系统稳定，

18、振幅减小，最终衰减到零。点，系统稳定，振幅减小，最终衰减到零。 因此因此N0点对应的周期运动是不稳定的。点对应的周期运动是不稳定的。GG28j0G(j1N3N2N20N10N1N(A)依据同样的分析方法可知：依据同样的分析方法可知： N20点对应的周期运动是稳定的。点对应的周期运动是稳定的。 N10点对应的周期运动是不稳定的。点对应的周期运动是不稳定的。29j0G(j20N10N1N(A)依据同样的分析方法可知：依据同样的分析方法可知： N10点对应的周期运动是稳定的。点对应的周期运动是稳定的。 N20点对应的周期运动是不稳定的。点对应的周期运动是不稳定的。30 在复平面上将在复平面上将 曲线

19、曲线包围的区域看作不稳包围的区域看作不稳定区域；定区域； 曲线不包围的区域看作稳定区域，则曲线不包围的区域看作稳定区域，则周期运动的稳定判据为：周期运动的稳定判据为： 在在 曲线与曲线与-1/N(A) 曲线交点处，如果曲线交点处，如果 -1/N(A)曲线沿振幅曲线沿振幅A增加的方向由不稳定区域增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，则交点对应的周期运动是稳定进入稳定区域，则交点对应的周期运动是稳定的。如果的。如果-1/N(A)曲线沿振幅曲线沿振幅A增加的方向由稳增加的方向由稳定区域进入不稳定区域，则交点对应的周期运定区域进入不稳定区域，则交点对应的周期运动是不稳定的。动是不稳定的。GGG31例：设

20、具有饱和非线性特性的控制系统如图，例：设具有饱和非线性特性的控制系统如图， 1）分析）分析K=15时非线性系统的运动；时非线性系统的运动； 2）欲使系统不出现自激振荡，确定）欲使系统不出现自激振荡，确定K的临界值。的临界值。(0.11)(0.21)Ksssrec01a2k32解：解：1）22( )arcsin1,kaaaN AAaAAA取auA22( )arcsin1,1kN uuuuu22222( )21111410dN ukuuduuuku得得N(u)为为u 的增函数，的增函数，-1/N(A)为为A的减函数。的减函数。33由已知饱和非线性环节的参数由已知饱和非线性环节的参数 a=1, k=2，则，则11110.5,2( )arcsin1112( )A aAAkN AkkN AA 17.070.1 0.2x221515,()1(0.1)1 (0.2)1xxxKG j j00.511( )N A可知