七、线性变换习题课

1、七、线性变换习题课1. 复习线性变换的概念例1将C看成R上的线性空间，变换理二首是线性的，看成C上的线性空间则不是。证明：R上：匚有叔£+耳)=可丄+刁=吗+沏又fkeR,有卫(归夢=故A是R上线性空间C的线性变换。c上：取gM及iuc,有，而吨(述，故A不是C上线性空间C的线性变换。由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。2. 利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。A-B:aBa->B占(Bor)->AB例2设A,B是线性变换，如果盘吕证明:_=i,危>0)证明：由已知，对k=1结论成立，故考虑用数学归纳法.

2、对k用归纳法.当k=1时结论成立.K=2时,由已知貝月二丘占+£才占-曲=半斗国M=ab£+虫-劇=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A结论成立.设当k时结论成立，即航-劇=劲，也即屆=BAk+汕1当k+1时,厘肚g屮=-BAU1=+広41-=ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1=BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak所以结论对k+1也成立，从而对一切k1成立.口例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明：需要表达出线性变换，联系到某基下的矩阵.设AeL(r)y

3、BeL(AB=BA.令a,b在某基下的矩阵分别为A，B.因为(匸(门用+凡。三(F,尸,+宀)，所以由AB=BA得ab=BA.由B的任意性卫已严也是任意的,从而存在某个址尸使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3)于是A=K为数量变换.有了变换乘积，进一步可考虑可逆变换.3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件，并举例说明一些基本论证方法.A可逆O10存在思已使曲二B4=e.oAA是双射.03"A在基下的矩阵A可逆一有限维例4设弘，耳是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换，证明:A可逆当且仅当轴船线性无关.证明:证法一："与”mB亡0BA=E若上6+.+打山

4、爲=o有左（上巧+,+忑灵耳）=Q即上Ej4&+.十耳B虫召=q.俎勺+代5爲=Q即=卫爲线性无关“U”/所,，/耳线性无关，因dimV=n,故也丘厂空心已戸使得匸=陰压1+划/爲=A（俎石+塩召）令E:卩T旷使=俎爲+心耳（丘卩）易见月丘£眄，且AEtir=.=已,即AB=S又任给占已氏有EAg二E（盘马+叫/匕）=近+吗耳=占故BA=E,从a可逆.证法二:利用双射“二”A是双射，则Q=得Q=対勺+'%（Q对应Q）故俎二，&=0，血僅耳线性无关.“U”由dimV=n,V的任一向量可由"罚"唯一表示，即v中任一向量有唯一（要证明）原像（显然

5、）.故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆CA在弘怎下的矩阵A可逆O广僅）二皿O（弘，為）A也是一组基=n线性无关例5设人丘2（珥尺町）/化是V的子空间,且卩二球1+屿，则九可逆O卩二吗4邮证明:由，有心邮"晒匚V,可设W1的一组基为巨W弓，w2的一组基为弓+”，6,则孑，6为V的一组基.“=>”A可逆，故貝6火线性无关，册，図2的秩为r,n-r,卫弘詡耳和卫弓+“貝爲分别为卫陋和占呼的基，故卩_卫硏亠卫叽.“U”，有dimV=dimF,M=迟严1曲）,故血1船为AV的一组基，即且弘川耳线性无关,A可逆.4. 小结:线性变换矩阵的求法，进一步掌握矩阵的概念.尸尸直岭二瓦知电二（气）

6、，为V的一组基，A（弘点）=（孑怎）A,（处刀卫）=（&w耳）x为另一组基，有A（留心）=（%r%）蛊j4尤例6在空间Pxn中，且;-孑（刃是线性变换，求A在基rZ（A-1）-（Z-3+1）窃二1r召=2''，皿血_1下的矩阵.证明：首先由ex.1.5）知+川力是线性变换J（如-孑（力是线性变换，故是线性变换.其次，只要求出也,用弘"為表示,就可得A.九心=A(i)=ij=o,(五+1)乳仗一+刃xQv-1)-(a-e+1)A石=一1)心一1)-(A-(S-1)+1)_u0-D1_fc2-l5H0401<1<23-1所以A（爲可，F気_1）=（耳可

7、卄5為_1）例7设三维线性空间V上的线性变换A在基事丙，勺下的矩阵为ii13a2122a23l驹幻g畑丿1）.求地在基（务遢厲）下的矩阵；2）.求丸在基（可化*勺）下的矩阵，其中计斥丹；3）.求几在基（気+勺忌爲）下的矩阵.证明：1）.扎込=也淀§+包2遢+两2可A可_爲1电+$2132+圧11AA爲氓1汩+说忑巨+也握_曲逼+函泸2+盹百A（务耳厲）_（务勺厲）213如anJa23所求矩阵为I"13又可（务冷习）_（*遢故所求矩阵为吕二蛊血二I00丿_(勺）r00n卩0n010010Jo0J00)AX广皿11陆J%k也丿2）直（込朮勺r即_（勺朮勺与）.迢1广10M00又

8、（弘嗚点）_（勺冯wjo0bhooY100故所求矩阵为1°°1丿A、3）A（F十勺）=.+如）斫+（码1+口22）巨2+（&31+如庄=+珂2）（勺+勺）+（旳1+珂1两J勺+31+知尼人昌2=牡2巨1+勺）+（吆尼十込退人电=泾口勺+可）+（3_圧1J込+戌33召所求矩阵为i旳1十叫血1+&22_11皿12碍1+临又（可中巨“勺r丫3）=（可丙足故所求矩阵为"0M-1广10(p广10CP广10CP110110-110110<00bA<00b<00bA<00b例8卫亡-对）A在任一组基下矩阵都相同，则A是数乘变换.证明：要证

9、入在任一组基下矩阵是数量阵.设几在基下弘耳下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵x，（扯，“"”）=（%“9）X为V的另一组基,在此基下必的矩阵为XX二&即船二Q,由疋的任意性,A为数量阵.I0丿，zPMQ=事实上，此时A与任意Mu可换:设可逆矩阵見0EF使则戶昵+应可逆，与A交换，得AP礎+卫二忒珈Q+恥=（PMQ+&则=PMQArAaPMAQPMQA=APMQ=PAMQ=胚4AM于是，由P.204ex.73）,A为数量阵，从而仝为数量变换.例9证明:下面两个矩阵相似，其中仏心是1,n的一个排列:兔2证明：曾在二次型中证明过它们合同，显然它们等价,将它们看成一个线性变换

10、在不同基下的矩阵.设，必在基（鼻=%）下的矩阵为A,则显然（乳务）是V的另一组基,此基下几的矩阵为B.将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比，指出异同，明确求法.线性变换A亠矩阵A特征多项式了二|如-曲了（可二|砸-月特征值特征向量CIH其兀矶ER坷二碁(xAi（珂丿Oh百二简爲）7工0ZL有限维1耳丿(E-A);=01耳丿例11设是线性变换必的两个不同特征值，弘吃是分别属于几爲的特征向量,证明：勺+习不是止的特征向量.证明：只要证你打少佃+気+珀若有这样的存在，则丸（咼+弓）_直（迓+耳）_人可+人勺_兔可+易遢（丸一入）勺+（卫-嘉）亏二°而氓习属于不同的特征值，线性无关，故兔二丸

11、沁，矛盾.将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(H0)作比较，乳习是几的属于丸的两个特征向量，则当近+勺H0时，司+可是入的一个特征向量(属于A).例12证明:如果Ae£tr)以V中每个非零向量为特征向量，那麽A是数乘变换.分析:b孔鷹二猪0每个非零向量都是特征值k的特征向量O每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个证明:若幕茲w迁匚岛工占壬岛，有匚岛都是几的特征向量.若匚為是分别属于两个不同的特征值兔鼻理,那麽由上题，即不可能是入的特征向量,矛盾.故，有匚岛是属于A的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是，又A=k0=0,故貼丘匚畸二熔A二K.例13.可逆，则1).A有特

12、征值,则不为0；2) 兄是人的特征值，则兄-1是的特征值.证法一:1).设見是止的特征值,°打是属于见的特征向量，则坷二吋.因A可逆，A-】存在，且A-1El(v),有占二A幻二A(站)=肌A一乜)即£5沁),而"0,有心,A=i2) .由1),，見-1是直"的特征值.3) 的特征向量是4"的特征向量.证法二:当V是有限维时，设九在基弘届下的矩阵为A,则由必可逆,A可逆.1) .若心°是A的特征值，则0皿-*|T)TH二。与A可逆矛盾.2).若人是A的特征值，则刃H0,且川°二+眄，0E-=0=>屮E-£)=

13、0=>屮-丄E=0=>aA即见-是山的特征值，而卫，故入i是山的特征值.(注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握)特殊变换的特征值例14设Ae£t,若圧二E,A称为对合变换，求A的特征值.证明：设北是A的特征值，冷是相应的特征向量，有昭站,A乜=兄(A二护舊,而AE,故占=乂它1叩疋二0J兄2=0"二±1迂戸，即A若有特征值只能是1或-1.睹hChA化则A("A首=-占-A钦异A化则佩宜十扛®=皐确有特征值1或-.证法二：又A_1=A,若人是A的特征值，则见-1是A"的特征值.且若广是A的属于几的特征向量,则

14、芒是宀的特征向量，必有見二見-i,見二±1A"=A,则几的特征值只能是1,0;若弟Q,异AS,则Ai-0,A(A4-=Q,即A有特征值1;心。时,有特征值1;当A的秩n时,0也是A的特征值.例15设dimV=n,止丘匸(厂，证明：几是对合变换时必可对角化。分析：A的特征值至多有两个1和T，从而不好利用第一个充分条件。设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；即(E-A)X=O的基础解系个数+(-E-A)X=0的基础解系个数=山即r(E-A)+r(-E-A)二n.证明：设可弓为V的一组基，且A在此基下的矩阵为A,由疋二旦，有A2=E

15、,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n,最后一个等式由Chap.4.补3.P.208.设r(E-A)=r»0,则r(-E-A)=r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解；(-E-A)X=O的基础解系有r个线性无关解.即的属于1的线性无关特征向量有n-r个，属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关，故有n个线性无关特征向量，从而可对角化.1由(E-A)(-E+A)=0,有国F回+川=°,若国一心0,则回+川=0,即1不是特征值则-1必是，两者必有一一,但可不全是.2.幕等变换龙

16、二A,毗/叫只对)可对角化,也可仿此证.例16设孑遢笔怎是4维空间V的一组基,XEQ在此基下的矩阵为(5-2-43、3-1-32-30.54.5-2.531111).求几在基址二近+绘+勺+用,%=2+3+下的矩阵；2) .求止的特征值与特征向量；3) .求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.广120CP23001110证明:D.W1弘电恥)=荷巨S习)1100b易知06-50-5403.5-1.505-200坯）下的矩阵为B=S-AS=2）几的特征多项式为f()=AE-A=0A00-655-42-3.5-51.5a見+2=01.5玄+2二护侃一1）（卫一OJ）故止的特征值为0,1,0.5切解方

17、程组（兀E-B）X=O=0:BX=0,<000400006-53.55-54-1.5_2>因为6-5-5400得基础解系1°丿卩10O九的属于0的特征向量为5o=耐耶1+比弭?=样（勺+2可+勺+可）+禺（2勺+3+即二宙+2焉）町+（2耐+3焉）可+（疋+咫）习+氐耳其中利耗已P不全为0刀=1:(EB)X=O,(°广-P530-6150-3.50-5541.53础解系3丿，A的属于1的特征=向量为il二池（1劝1+刘7+为+刘斗）二上3（无1+内+花一2耳）其中禺Ep不为0.=0.5:(0.5E-B)X=0,广0.50-6500.55-400-31.5i00-

18、52.561无二绽,得基础解系I2丿.A的属于0.5的特征向量为济-5=血（一初1+初2+恥+却4）=疋44习+2无一包一6可其中禰亡户不为°3）.由2）.所得4个特征向量丁銘+§+%细+迢+足,的矩阵为孑爲+殆+邑_2耳，4勺+2巧_邑_£耳线性无关,可作为V的一组基，在此基下<001I呵,而由可勺耳习到这组基的过渡阵为T223314402TAT=T=111-1d0-2，且X阴丿022-22151例17设氐务耳是4维线性空间V的一组基，已知线性变换几在此基下的矩阵为(1-11、21).求几在以下基下的矩阵:2).求几的核与值域.3) .在止的核中选一组基，

19、把它扩充为V的一组基，并求九在此基下的矩阵.4) 在A7中选一组基扩充为V的基，并求几在此基下的矩阵.证明：1).由基可4虫占到扯也4皿的过渡矩阵为-20103-11A在%也兀下的矩阵为辽23S33<10021053213-21-332410103TT164040TT1-7-S2)V氐匸A(0)设=(可£再怎)I观丿0二Ae二A&疋小名爲）=0解此齐次线性方程组得两=-盹弘所以基础解系为（-4,-3,2,0）,（T,-2,0,l）从而口二V可一弓亏+2勺喝二_近_2邑+打是川°的一组基，即心叭g耳）.因di=4-diX=4-2=2，而胪=£（幅

20、63;遢少各心）,的列，且A的前2列线性无关，从而线性无关，函=A所=&一邑+础+2殆，爲=A屯=2邑+2邑一2百$的坐标列为A厂-4-n10-4-1-3-20-3-22000203）由（斶吨）=（弘内各內）3h，及0001工0<104-3-n-2故向量组（可厲耳耳）=（可厲虫占）线性无关，即孑色令氓是V的一组基,此基由"的一组基扩充而成，其中Q为由勺岸中务耳到弘勺4的过渡阵.心在込遇耳心下的矩阵为5920c=Q-lAQ=210012002-20°（其中后两列是0因为以中元被几作用后在任何基下的坐标均为（0,0,0,0）'4）.（务耳）=（勺岸卽务耳）

21、p0、1000-12-1200121210<2_2>,而2-201-1故向量组（隅4G怎）=（马叵弋农）-2线性无关，是V的一组基，由彭的基扩充而成,由%忌叵皿到屯占的过渡阵为P,止在此基下的矩阵为522P?2PXAP=2200001°°°°丿（后两行为0因为任一向量被A作用后都在心中，由人巧，人内线性表出）.例18设圧二氏二B，证明：1）.A与E有相同的值域当且仅当AB=BrBA=A;2）.A与B有相同的核当且仅当AB=ArBA=B.证明：1）.U”：则尹瓏EA兀故存在"卩,珑=抑，于是AB占=AA冯=A=E首,AB"=

22、B也已罠幅二BA共，即心匚EF，同理E厂匚AF,故A7=E7o2）.，u”：站e孔E加E乞即取占-E幻=0諾-科丘矿】（0）=川（0）故A-Bi）=0,Af-AB=0?Ai=AB5?A=AB同理B=BA“U”：目迂A"3H=E_A超有E£二g占_EA占二QgEE（0）,AJ（0）匚E丿（0）同理A"匸时】（0）,故A-0）二皮弋0）.例19设地是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间，册表示由W中向量的像组成的子空间，证明：dim（A陋）+dim（A®门図）=dimW分析:定理11dim（九卩）+dim（A®）二dimV的证明中，取的基，扩

23、充为V的基.证明:取心、厢匚肛的一组基占，将它扩充为W的一组基弓耳小芒锻艮卩W=L（爲r弓弓+1F%）,As=.=Ae"T=0.,由于i，故Aw二l（A耳=山石亘耳直绻）丸（A）若有匕41心弘.+,+A&純=Q即agg+二我凤已2（切OW存在絡r此使得此+此!二俎巨1+僦耳故有上-.-ky-二二札-0即A勾山弘线性无关，dimW二m-r二dimW-dim（A门娜）附注：dim（A卩）+dim（A°）二dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。例20设扎£为n维线性空间V的线性变换，证明：肛的秩色A的秩+B的秩-n.分析:chap4补10.(p209)

24、r(AB)巨r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.证法一：设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩=r(AB),A的秩=r(A),E的秩二r(B).由chap4.补10.r(AB)色r(A)+r(B)-n,得证.证法二:注意到直的秩=dimA7,可用定理11.由定理11和补9,秩(AB)二dim*宙门二dimB刃-dim4(°产)而小0"前匚2側(川®W兰dim川故秩()二dim刃-dim"(°=秩E(n-秩A)二r(A)+r(B)-n.例21设XL老迂减，用是理-子空间，若A可逆,证明:w也是-子空间.注7.8.1在证側皿时，有人认为心可逆,从而是一一对应，故既单(A=0,=0)又满()，从而不必