第八章1多元函数微分学相关概念

1、 多元微积分的概念、理论、方法是一元微多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。解，融会贯通。 多元函数微分学多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分在上册中，我们讨论的是一元函数

2、微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。多元函数，也提出了多元微积分问题。 重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。 函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，从二

3、元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。因此这里基本上只讨论二元函数。掌握多元函数基本概念，会表示定义域，掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续了解二元极限、连续深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，阶和高阶偏导数，掌握全微分概念掌握全微分概念会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，导方法，会求曲线的切线、法平面，曲面的切平会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，面和法线，会求多元函数极值会求多元函数极值基本要求基本要求（1）邻域）邻域 设设),(000yxP是是x

4、oy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU， ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE 一、多元函数的概念一、多元函数的概念.为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE例如，例如，41),(221 yxy

5、xE即为开集即为开集EP 的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEP的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDDEP 例如，例如，.41| ),(22 yxyx开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，例如，.41| ),(

6、22 yxyxxyoxyo则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 41 | ),(22 yxyx有界闭区域；有界闭区域；0| ),( yxyx无界开区域无界开区域（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点

7、点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.xyo 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例10| ),(22 yxyx(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,10| ),(22 yxyx(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,1| ),(22 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间

8、，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念邻域：邻域： nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定

9、义设两点为设两点为（5）二元函数的定义）二元函数的定义 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.例例1 1 求求 的定义域的定义域222

10、)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM，当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个

11、点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx

12、),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限（1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。于同一常数。这是产生本质差异的根本原这是产生本质差异的根本原因。因。0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二

13、元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。说明：说明：01sin)(lim222200 yxyxyx证证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyx

14、yx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyx例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 证证取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),

15、(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在 定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00PP的 一 切 点的 一 切 点

16、DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP )(lim0. .n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.例例5 5 讨

17、论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220lim

18、xkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间

19、的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如

20、如果果一一般般地地，求求多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质四、小结四、小结 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考题解答思考题解答练练 习习 题题一一、 填填空空题题: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_ _ _ _ _. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_ _ _ _