第4章受弯构件的斜截面承载力计算

1、第四章第四章 受弯构件的斜截面承载力受弯构件的斜截面承载力东南大学交通学院吴文清第4章 受弯构件的斜截面承载力 受弯构件斜截面的受力特点和破坏形态受弯构件斜截面的受力特点和破坏形态 影响受弯构件斜截面影响受弯构件斜截面抗剪抗剪能力的主要因素能力的主要因素 斜截面斜截面抗剪抗剪承载力的计算公式与适用范围承载力的计算公式与适用范围 斜截面抗剪承载力计算方法和步骤斜截面抗剪承载力计算方法和步骤 保证斜截面抗弯承载力的构造措施保证斜截面抗弯承载力的构造措施 斜截面斜截面抗剪抗剪承载力计算方法和步骤承载力计算方法和步骤 保证斜截面保证斜截面抗弯抗弯承载力的构造措施承载力的构造措施 全梁承载能力校核与构造

2、要求全梁承载能力校核与构造要求本章要求内容本章要求内容弯筋箍筋PPs纵筋弯剪段（本章研究的主要内容本章研究的主要内容）统称腹筋-帮助混凝土梁抵御剪力有腹筋梁-既有纵筋又有腹筋无腹筋梁-只有纵筋无腹筋hbasv4.1 受弯构件斜截面的受力特点和破坏形态受弯构件斜截面的受力特点和破坏形态4.1.1 无腹筋简支梁斜裂缝出现前后的受力状态无腹筋简支梁斜裂缝出现前后的受力状态4.1.1 4.1.1 无腹筋简支梁斜裂缝出现前后的受力状态无腹筋简支梁斜裂缝出现前后的受力状态无腹筋梁无腹筋梁主应力主应力轨迹线轨迹线000MYxzTaVVVTDsACAsc 斜裂缝出现后，梁内的应力状态重新分布，斜裂缝出现后，梁

3、内的应力状态重新分布，有两个显著变化：有两个显著变化： l全截面抵抗全截面抵抗 剪压面或剪压区截面抵抗，剪压面或剪压区截面抵抗， 剪压区的正应力和剪应力显著增大；剪压区的正应力和剪应力显著增大；l截面截面BBBB处的纵筋拉应力则由截面处的纵筋拉应力则由截面AAAA处弯矩处弯矩M MA A决定，决定，钢筋应力也是显著增大。钢筋应力也是显著增大。无腹筋梁受力机理：拱机理无腹筋梁受力机理：拱机理n设拉杆的拱结构设拉杆的拱结构拱模型 可看作是一个设拉杆的拱结构，斜裂缝顶部的残余截面为拱顶，纵筋为拉杆，拱顶至支座间的斜面向受压混凝土为拱体。拱破坏 当拱顶的强度或拱体的抗压强度不足时，就会发生梁的截面破坏

4、。这就是无腹筋梁沿斜截面破坏的拱机理。 拱机理示意图拱机理示意图 4.1.2 4.1.2 斜截面受剪破坏的三种主要形态斜截面受剪破坏的三种主要形态bhh0AsPPaa000VaaMmVhVhh反映了集中力作用截面处弯矩M和剪力V的比例关系狭义（计算）剪跨比广义剪跨比无腹筋梁的斜截面三种受剪破坏形态无腹筋梁的斜截面三种受剪破坏形态 斜拉破坏、斜压破坏和剪压破坏斜拉破坏、斜压破坏和剪压破坏 临界斜裂缝临界斜裂缝(Critical oblique crack) 注意：不同剪跨比无腹筋简支梁的破坏形态虽有不同，但荷注意：不同剪跨比无腹筋简支梁的破坏形态虽有不同，但荷载达到峰值时梁的跨中挠度都不大，而且

5、破坏较突然，均载达到峰值时梁的跨中挠度都不大，而且破坏较突然，均属于脆属于脆性破坏性破坏，而其中斜拉破坏最为明显。，而其中斜拉破坏最为明显。 4.1.3 有腹筋简支梁斜裂缝出现后的受力状态有腹筋简支梁斜裂缝出现后的受力状态n破坏机理破坏机理 拱形桁架模型拱形桁架模型 n在斜裂缝出现后受力特点，类似于桁架在斜裂缝出现后受力特点，类似于桁架在拱形桁架模型中，基本拱体在拱形桁架模型中，基本拱体I I视为拱形桁架的上视为拱形桁架的上弦压杆，拱体弦压杆，拱体IIII、IIIIII是受压腹杆，纵向钢筋是下是受压腹杆，纵向钢筋是下弦拉杆，箍筋等腹筋是受拉腹杆。弦拉杆，箍筋等腹筋是受拉腹杆。 箍筋的三个作用(

6、P79)n在斜裂缝出现后，腹筋的作用表现在：n（1）提高纵筋的销栓作用 把小拱体II、III向上拉住（图4-5b），使沿纵向钢筋的撕裂裂缝不发生，从而使纵筋的销栓作用得以发挥，这样，小拱体II、III就能更多地传递主压应力；n（2）降低拱顶剪压区的应力状态 腹筋 将拱体II、III传递过来的主压应力，传到基本拱体I上断面尺寸较大的还有潜力的部位上去，这就减轻了基本拱体I拱顶处所承压的应力，从而提高了梁的抗剪承载力；n（3）抑制斜裂缝的宽度 腹筋能有效地减小斜裂缝开展宽度，从而提高了斜截面上混凝土骨料咬合力。 n由上述有腹筋梁的抗剪机理分析可见，配置箍筋是提高梁抗剪承载力的有效措施。 n弯起钢筋

7、或斜筋只有与临界斜裂缝相交后才能发挥作用，可以提高梁的抗剪承载力。 n弯筋不宜单独使用，而总是与箍筋联合使用。 4.2 4.2 影响受弯构件斜截面抗剪能力的主要因素影响受弯构件斜截面抗剪能力的主要因素 1) 1) 剪跨比剪跨比 剪跨比m是影响受弯构件斜截面破坏形态和抗剪能力的主要因素。剪跨比m实质上反映了梁内正应力与剪应力的相对比值，同时从另外一个角度可以反映出荷载作用在什么位置对结构抗剪不利。 vsvsvbSAsvsvnaA 4.3 受弯构件的斜截面抗剪承载力受弯构件的斜截面抗剪承载力n钢筋混凝土梁沿斜截面的主要破坏形态有斜压破斜压破坏、斜拉破坏和剪压破坏坏、斜拉破坏和剪压破坏等。n在设计时

8、，对于斜压和斜拉破坏，一般是采用截面限制条件和一定的构造措施予以避免。n对于常见的剪压破坏形态，梁的斜截面抗剪能力变化幅度较大，故必须进行斜截面抗剪承载能力的计算。公路桥规的基本公式就是针对这种破坏形态的受力特征而建立的。 4.3 受弯构件的斜截面抗剪承载力受弯构件的斜截面抗剪承载力4.3.1 斜截面抗剪承载力计算的基本公式及适斜截面抗剪承载力计算的基本公式及适用条件用条件sbsvcuVVVVsbcsuVVV混凝土与箍筋共同的抗剪承载力混凝土与箍筋共同的抗剪承载力弯筋的抗剪承载力弯筋的抗剪承载力公路桥规公路桥规根据国内外的有关试验资料，对配有腹筋根据国内外的有关试验资料，对配有腹筋的钢筋混凝土

9、梁斜截面抗剪承载力的计算采用下述半经验的钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力的计算采用下述半经验半理论的公式：半理论的公式：31230,0.45 1020.6ucu ksvsvVbhpff ssbsdAfsin1075. 03异号弯矩影响系数，计算简支梁和连续梁近边支点梁段的抗剪承载力时，1 =1.0；计算连续梁和悬臂梁近中间支点梁段的抗剪承载力时， 1 =0.9预应力提高系数（详见第13章）。对钢筋混凝土受弯构件， 2=1受压翼缘的影响系数。对具有受压翼缘的截面，取 3=1.1斜截面内纵向受拉钢筋的配筋百分率，P =100，=As/bh0 ，当P2.5时，取P=2.5斜截面内在同一个弯起钢筋平面内的

10、弯起钢筋总截面面积（mm2）弯起钢筋的切线与构件水平纵向轴线的夹角（4-5） 式（式（4-5）所表达的斜截面抗剪承载力中，混凝土和箍）所表达的斜截面抗剪承载力中，混凝土和箍筋提供的综合抗剪承载力筋提供的综合抗剪承载力 弯起钢筋提供的抗剪承载力为弯起钢筋提供的抗剪承载力为 当不设弯起钢筋时，梁的斜截面抗剪力当不设弯起钢筋时，梁的斜截面抗剪力Vu等于等于Vcs。n半经验半理论公式，使用时必须按规定的单位代入数值半经验半理论公式，使用时必须按规定的单位代入数值 n公式是根据剪压破坏的受力形态和试验资料得到的，仅公式是根据剪压破坏的受力形态和试验资料得到的，仅在一定条件下适用，故有很强的适用条件，一定

11、要注意。在一定条件下适用，故有很强的适用条件，一定要注意。2031230,0.45 1020.6cscu ksvsvVbhpff ssbsdsbAfVsin1075. 03适用条件：适用条件：1）上限值）上限值截面最小尺寸截面最小尺寸截面最小尺寸的限制条件，是为了避免梁斜压破坏，这截面最小尺寸的限制条件，是为了避免梁斜压破坏，这种限制，同时也为了防止梁特别是薄腹梁在使用阶段斜裂种限制，同时也为了防止梁特别是薄腹梁在使用阶段斜裂缝开展过大缝开展过大。截面尺寸应满足：。截面尺寸应满足：2130,00.51 10()dcu kVfbhkN若式（若式（4-6）不满足，则应加大截面尺寸或提高混凝土）不满

12、足，则应加大截面尺寸或提高混凝土强度等级。强度等级。（4-6）验算截面处由作用（或荷载）产生的剪力组合设计值（kN）混凝土立方体抗压强度标准值（MPa）相应于剪力组合设计值处截面的有效高度（mm）相应于剪力组合设计值处矩形截面的宽度（mm），或T形和I形截面腹板宽度（mm）2）下限值）下限值按构造要求配置箍筋按构造要求配置箍筋当梁内配置一定数量的箍筋，且其间距又不过大能保当梁内配置一定数量的箍筋，且其间距又不过大能保证与斜裂缝相交时防止发生斜拉破坏。证与斜裂缝相交时防止发生斜拉破坏。公路桥规公路桥规规定，规定，若符合下式，则不需进行斜截面抗剪承载力的计算，而仅若符合下式，则不需进行斜截面抗剪承

13、载力的计算，而仅按构造要求配置箍筋：按构造要求配置箍筋：式中的式中的ftd为混凝土抗拉强度设计值（为混凝土抗拉强度设计值（MPa），其它符），其它符号的物理意义及相应取用单位与式（号的物理意义及相应取用单位与式（4-6）相同。）相同。对于板的计算：对于板的计算：223020(0.5 10 )(kN)dtdVf bh（4-7）33020201.25 (0.5 10 )(0.625 10 )(kN)dtdtdVf bhf bh4.3.2 等高度简支梁腹筋的初步设计等高度简支梁腹筋的初步设计根据梁斜截面抗剪承载力要求配置箍筋、初根据梁斜截面抗剪承载力要求配置箍筋、初步确定弯起钢筋的数量及弯起位置步确

14、定弯起钢筋的数量及弯起位置 。等高度简支梁腹筋的初步设计等高度简支梁腹筋的初步设计已知：计算跨径已知：计算跨径l，截面尺寸，截面尺寸b、h、h0，材料强度，材料强度fcu,k、 fsd 和和 fsv 。计计算算剪剪力力包包络络图图按构造配置箍筋区域Vcs1 1）验算截面尺寸是否满足要求）验算截面尺寸是否满足要求2 2）验算是否需要按计算配筋）验算是否需要按计算配筋等高度简支梁腹筋的初步设计等高度简支梁腹筋的初步设计3 3）计算剪力分配）计算剪力分配VVcs6 . 0VVsb4 . 0最大剪力计算值，距支座中心最大剪力计算值，距支座中心h/2h/2处处满足条件的区段按构造配筋满足条件的区段按构造

15、配筋等高度简支梁腹筋的初步设计等高度简支梁腹筋的初步设计4 4）箍筋设计）箍筋设计3130,0.60.45 1020.6cu ksvsvVbhpff226213,02(0.56 10 )(20.6 )()cu ksvsvvpfA f bhSV p、h0近似取支座和跨中截面的平均值。vsvsvbSA配箍率配箍率箍筋箍筋间距间距现假设箍筋直径，已知现假设箍筋直径，已知as，Asv=nas等高度简支梁腹筋的初步设计等高度简支梁腹筋的初步设计4 4）弯起钢筋设计）弯起钢筋设计ssbisdsbiAfVsin1075. 0321333.33()sbisbisdsVAmmf sin取值方法见书P86，参见下

16、一幻灯片至少有两根且不少于总数的20%通过支座。末端弯折点应落在或超过前一排弯起点截面。末端弯折点应位于支座中心截面。作业题n4-1n4-3n4-94.4受弯构件的斜截面抗弯承载能力受弯构件的斜截面抗弯承载能力 n沿梁长各截面纵筋数量也是随弯矩的减小，可以把纵筋弯起或截断，但如果弯起或截断的位置不恰当，这时会引起斜截面的受弯破坏。n本节介绍受弯构件斜截面抗弯承载能力的设计问题，以及弯起钢筋起弯点的确定方法。 4.4.1斜截面抗弯承载能力计算斜截面抗弯承载能力计算图4-13 斜截面抗弯承载力计算图式dM0svsvsvsbsbsdsssduZAfZAfZAfM斜截面抗弯承载能力计算的基本公式斜截面

17、抗弯承载能力计算的基本公式 (4-11)在实际的设计中，一般可不具体按式（4-11）来计算，而是采用构造规定来避免斜截面受弯破坏采用构造规定来避免斜截面受弯破坏。简化方法如下：要求斜截面抗弯承载力大于或等于正截面上的抗弯承载力即可。n根据以上说明可知，在进行弯起钢筋布置时，为满足斜截面抗弯强度的要求，弯起钢筋的弯起点位置，应设在按正截面抗弯承载能力计算该钢筋的强度全部被利用的截面强度全部被利用的截面以外，其距离不小于0.5h0。n换句话说，若弯起钢筋的弯起点至弯起筋强度充分利用截弯起筋强度充分利用截面面的距离满足0.5h0，并且满足公路桥规关于弯起钢筋规定的构造要求，则可不进行斜截面抗弯承载力

18、的计算。 若干概念：n弯矩包络图 是沿梁长度的截面上弯矩组合设计值的分布图，其纵坐标表示该截面上作用的最大设计弯矩。 若干概念：n材料抵抗图1,2sdssuMf A Z,1,21,21,2usdsMf AZ111ZAfMssuN1N3 N2 若干概念：n钢筋充分利用截面由于I-I截面处纵向钢筋的强度全部被利用。图中i、j、k三点分别为N3、N2、N1钢筋的充分利用点。N1N3 N2 ：N1N3 N2 充分利用点和不需要点一览表钢筋编号充分利用点不需要点N3ijN2jkN1kL4.4.2 纵向受拉钢筋的弯起位置原则纵向受拉钢筋的弯起位置原则在钢筋混凝土梁的设计中，必须同时考虑斜截面抗剪承载能力、

19、正截面和斜截面的抗弯承载能力。尽管在梁斜截面抗剪设计中已初步确定了弯起钢筋的弯起位置，但是纵向钢筋能否在这些位置弯起，显然应考虑同时满足截面的正截面及斜截面抗弯承载能力的要求。这个问题一般采用梁的抵抗弯矩图抵抗弯矩图应覆盖计算弯计算弯矩包络图矩包络图的原则来解决。 梁的承载力必须满足三个要求：梁的承载力必须满足三个要求：作业4-5 4.5 全梁承载能力校核与构造要求全梁承载能力校核与构造要求1 1）截面选取）截面选取 4.5.1 4.5.1 斜截面抗剪承载能力的复核斜截面抗剪承载能力的复核 6-6（1）距支座）距支座中心中心h/2（梁高一半）处的截面（截面（梁高一半）处的截面（截面1-1）；）

20、；（2）受拉区弯起钢筋弯起处的截面（截面）受拉区弯起钢筋弯起处的截面（截面2-2，3-3），），以及锚于受拉区的纵向钢筋开始不受力处的截面（截面以及锚于受拉区的纵向钢筋开始不受力处的截面（截面4-4）；）；（3）箍筋数量或间距有改变处的截面（截面）箍筋数量或间距有改变处的截面（截面5-5）；）；（4）梁的肋板宽度改变处的截面（截面）梁的肋板宽度改变处的截面（截面6-6）。）。ddVMmhc6 . 06 . 00.： ： 4.5.2 4.5.2 有关的构造要求有关的构造要求 锚固长度锚固长度la：受力钢筋通过混凝土与钢筋粘结将所受的：受力钢筋通过混凝土与钢筋粘结将所受的力传递给混凝土所需的长度力

21、传递给混凝土所需的长度 。1.纵向受拉钢筋不宜在受拉区截断；纵向受拉钢筋不宜在受拉区截断；2.如需要截断，为了保证钢筋强度的充分利用，必须将如需要截断，为了保证钢筋强度的充分利用，必须将钢筋从理论切断点外伸一定的长度（钢筋从理论切断点外伸一定的长度（la+h0）。）。普通钢筋最小锚固长度普通钢筋最小锚固长度la 表表4-14.5.3 装配式钢筋混凝土简支梁设计例题1）已知设计数据及要求）已知设计数据及要求钢筋混凝土简支梁全长钢筋混凝土简支梁全长L0=19.96m，计算跨径，计算跨径L=19.50m 。T形截面梁的尺寸如图形截面梁的尺寸如图4-22，桥梁处于，桥梁处于类环境条件，安类环境条件，安

22、全等级为二级，全等级为二级， 0=1。49图图4-22 20米钢筋混凝土简支梁尺寸（尺寸单位：米钢筋混凝土简支梁尺寸（尺寸单位：mm） 梁体采用梁体采用C30混凝土，轴心抗压强度设计值混凝土，轴心抗压强度设计值fcd=13.8MPa ，轴心抗拉强度设计值轴心抗拉强度设计值ftd=1.39MPa 。 纵向受拉钢筋采用纵向受拉钢筋采用HRB335钢筋，抗拉强度设计值钢筋，抗拉强度设计值fsd=280MPa ；箍筋采用；箍筋采用R235钢筋，直径钢筋，直径8mm，抗拉强度设计，抗拉强度设计值值fsd=195MPa 。简支梁控制截面的弯矩组合设计值和剪力组合设计值为简支梁控制截面的弯矩组合设计值和剪力

23、组合设计值为跨中截面跨中截面 Md,l/2=2200kNm，Vd,l/2=84kN1/4跨截面跨截面 Md,l/4=1600kNm 支点截面支点截面 Md,0=0，Vd,0=440kN要求确定纵向受拉钢筋数量和进行腹筋设计。要求确定纵向受拉钢筋数量和进行腹筋设计。502）跨中截面的纵向受拉钢筋计算）跨中截面的纵向受拉钢筋计算（1）T形截面梁受压翼板的有效宽度形截面梁受压翼板的有效宽度bf bf1=L/3=19500/3=6500mm bf2=1600mm bf3=b+2bh+12hf=200+20+12120=1640mm故取受压翼板的有效宽度故取受压翼板的有效宽度bf =1600mm。（2）

24、钢筋数量计算）钢筋数量计算 纵向钢筋面积纵向钢筋面积 As=7238mm2 截面有效高度截面有效高度 h0= 1183mm 抗弯承载力抗弯承载力 Mu=2309.66kNm 0 0Md,l/2 =2200kNm51图图4-23 （尺寸单位：（尺寸单位：mm）3）腹筋设计）腹筋设计（1）截面尺寸检查）截面尺寸检查根据构造要求，梁最底层钢筋根据构造要求，梁最底层钢筋2?32通过支座截面，支点截面有效通过支座截面，支点截面有效高度为高度为截面尺寸符合设计要求。截面尺寸符合设计要求。（2）检查是否需要根据计算配置箍筋）检查是否需要根据计算配置箍筋跨中段截面跨中段截面因因故可在梁跨中的某长度范围内按构造

25、配置箍筋，其余区段应按计故可在梁跨中的某长度范围内按构造配置箍筋，其余区段应按计算配置腹筋。算配置腹筋。52035.8(35)1247mm2hh3,00,0(0.51 10 )696.67kN(440kN)cu kdfbhV30(0.5 10 )164.44kNtdf bh30, 200,0( 84kN)(0.5 10 )(440kN)d ltddVf bhV53图图4-24 计算剪力分配图（尺寸单位：计算剪力分配图（尺寸单位：mm；剪力单位：；剪力单位：kN）（3）计算剪力图分配（图）计算剪力图分配（图4-24） 支点处剪力计算值支点处剪力计算值V0= 0 0Vd,0，跨中处剪力计算值跨中处

26、剪力计算值Vl/2= 0 0Vd,l/2。 Vx= 0 0Vd,x=(0.510-3) ftdbh0 =164.44kN截面距梁跨中截面的距离可截面距梁跨中截面的距离可由剪力包络图按比例求得，为由剪力包络图按比例求得，为 在在l1长度内可按构造要求布置箍筋。长度内可按构造要求布置箍筋。 根据根据公路桥规公路桥规规定，在支座中心线向跨径长度方向不小于规定，在支座中心线向跨径长度方向不小于1倍倍梁高梁高h=1300mm范围内范围内，箍筋的间距最大为，箍筋的间距最大为100mm。54210222203xllVVLlVVmm 距支座中心线为距支座中心线为h/2处的计算剪力值处的计算剪力值(V)，由剪力

27、包络图按比例求，由剪力包络图按比例求得，为得，为 应由混凝土和箍筋承担的剪力计算值至少为应由混凝土和箍筋承担的剪力计算值至少为0.6V=249.76kN；应；应由弯起钢筋（包括斜筋）承担的剪力计算值最多为由弯起钢筋（包括斜筋）承担的剪力计算值最多为0.4V=166.51kN，设置弯起钢筋区段长度为设置弯起钢筋区段长度为4560mm（图图4-24）。）。（4）箍筋设计）箍筋设计直径为直径为8mm的双肢箍筋，箍筋截面的双肢箍筋，箍筋截面Asv=nAsv1=250.3=100.6mm2平均值分别为平均值分别为箍筋间距箍筋间距Sv为为55002()416.27lLVh VVVLkN2.50.641.5

28、72p01183 12471215mm2h226213,020.56 1020.6365mmcu ksvsvvpfA f bhSV 确定箍筋间距确定箍筋间距Sv设计值应考虑设计值应考虑公路桥规公路桥规的构造要求。的构造要求。 取取Sv=250mm计算的箍筋配筋率计算的箍筋配筋率 sv=0.2%0.18%且小于且小于h/2=650mm和和400mm。 综合上述计算，在支座中心向跨径长度方向综合上述计算，在支座中心向跨径长度方向的的1300mm范围范围内，内，设计箍筋间距设计箍筋间距Sv=100mm；而后至跨中截面的箍筋间距取；而后至跨中截面的箍筋间距取Sv=250mm 。（5）弯起钢筋及斜筋设计

29、）弯起钢筋及斜筋设计 焊接钢筋骨架的焊接钢筋骨架的架立钢筋（架立钢筋（HRB335）为）为? 22 ，钢筋重心至梁受，钢筋重心至梁受压翼板上边缘距离压翼板上边缘距离as=56mm。 弯起钢筋的弯起角度为弯起钢筋的弯起角度为45，弯起钢筋末端与架立钢筋焊接。然，弯起钢筋末端与架立钢筋焊接。然后应用表格进行弯起钢筋的设计。后应用表格进行弯起钢筋的设计。5657弯起钢筋计算表弯起钢筋计算表 表表4-458图图4-26 梁的弯矩包络图与抵抗弯矩图梁的弯矩包络图与抵抗弯矩图（尺寸单位：（尺寸单位：mm；弯矩单位：；弯矩单位：kN.m）59钢筋弯起后相应各正截面抗弯承载力钢筋弯起后相应各正截面抗弯承载力 表表4-560图图4-27 梁弯起钢筋和斜筋设计布置图（尺寸单位：梁弯起钢筋和斜筋设计布置图（尺寸单位：mm）a) 相应于剪力计算值相应于剪力计算值Vx的弯矩计算值的弯矩计算值Mx的包络图的包络图 b) 弯起钢筋和斜筋布置示意图弯起钢筋和斜筋布置示意图c) 剪力计算值剪力计算值Vx的包络图的包络图4）斜截面抗剪承载力的复核斜截面抗剪承载力的复核（1）选定斜截面顶端位置）选定斜截面顶端位置 以距支座中心为以距支座中心为h/2处截面为例，横坐标为处截面为例，横坐标为x=9