第13章-能量法例题

1、第第9章章 材料力学中的能量方法材料力学中的能量方法 9-1 基本概念基本概念1， 作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功 2， 杆件的弹性应变能 这时，力所作的变力功为 FPOFP0P21FW 一、 作用在弹性杆件上的力所作的 常力功和变力功 弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常力功: FPFPFWP 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能弹性变形能，简称简称变形能

2、变形能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即上所做的功，即U=W二、 杆件的弹性应变能 一）、轴向拉伸和压缩一）、轴向拉伸和压缩PPllUNxEA xxl22( )( )d二）、扭转二）、扭转mmUTxG Ixxpl22( )( )d三）、弯曲三）、弯曲UMxEI xxl22( )( )d四）、组合变形四）、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各各个位移相互独立，力独立作用原理成立

3、，各个内力只对其相应的位移做功。个内力只对其相应的位移做功。UNxEA xxTxGIxxMxEI xxlpll+222222( )( )( )( )( )( )ddd 例题例题1：试求图示悬臂梁的变形能，并利：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端用功能原理求自由端B的挠度。的挠度。 例题例题2：试求图示梁的变形能，并利用功能：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求原理求C截面的挠度。截面的挠度。 例题例题3：试求图示四分之一圆曲杆的变形：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已截面的垂直位移。已知知EI 为常量。为常量。R9-2 互等定理

4、互等定理载荷作用点载荷作用点位移发生点位移发生点i j先作用，后作用，外力所作的功：PP12UPPP+1212111222112先作用，后作用，外力所作的功：PP21 +UPPP1212222111221功的互等定理功的互等定理:PP112221位移互等定理位移互等定理:若，则得PP121221 例题例题1：求图示简支梁：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。vC1B2 例题例题2：求图示悬臂梁中点：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移C。vC1B2例题例题3：长为：长为 l 、直径为、直径为 d 的圆杆受一对横向压的圆杆受一对横向压力力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知作用，求此杆长

5、度的伸长量。已知E和和。例题例题4：已知简支梁在均布载荷：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中作用下，梁的中点挠度点挠度 。求梁在中点集中力。求梁在中点集中力P作作用下用下(见图见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积 。fqlE I538449-4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 （单位载荷法）（单位载荷法）P1P2CM x( )Mx0( )M xMx( )( )+0P1P2CCP01UMxEIxl22( )dUMxEIxl0022( )dUM xMxEIxl1022+( )( )dP1P2CP0CP01P1P2P0作功：U0PP12、

6、作功：UP0在 上又作功：1+ 共做功WUU101 WU11UUM xMxEIxl00212+ +( )( )d+MxEIxMxEIxM x MxEIxlll202022( )( )( )( )ddd10M x MxEIxl( )( )dM x M xEIxl( )( )0d莫尔定理莫尔定理（莫尔积分）（莫尔积分）M x MxEIxl( )( )0d对于组合变形： +N x NxE AxT x TxGIxM x MxEIxlpll( )( )( )( )( )( )000ddd注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广义位移对应的广义力 M x MxEIxl( )( )0d例题例题1：试用

7、莫：试用莫尔定理计算图尔定理计算图(a)所所示悬臂梁自由示悬臂梁自由端端B的挠度和转的挠度和转角。角。PABABABlxxx11(a)(b)(c)9-5 图形互乘法图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：式的积分： M x MxEIxl( )( )0dM x Mxxl( )( )0d 对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号，可以提到积分号外，故只需计算积分外，故只需计算积分直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。Mxx0( ) tgM x Mxxx M xxll( )( )( )0dtgdtg xCM

8、C0 M x MxEIxME IlC( )( )00d顶点顶点顶点顶点23lh13lh二次抛物线二次抛物线 例题例题1：试用图乘法求：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。AAB 例题例题2：试用图乘法求：试用图乘法求所所示简支梁的最大示简支梁的最大挠度和最大转角。挠度和最大转角。CL12TU32Aql28/l / 4ql28/B 例题例题3：试用图乘法求：试用图乘法求所所示简支梁的最大示简支梁的最大挠度和最大转角。挠度和最大转角。Pl / 4l / 4APl / 4B 例题例题4：试用图乘法求：试用图乘法求所所示简支梁示简支梁C截面的截面的挠度和挠度和A、B截面的转角。截面的转角。l / 4ABC 例题例题5：试用图乘法求：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。ql22Aql22B 例题例题6：试用图乘法求图示悬臂梁中点：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处处的铅垂位移的铅垂位移。 例题例题7：图示梁，抗弯刚度为：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均，承受均布载荷布载荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值； (2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的