A同一律超星数字图书馆学习教案

1、会计学1A同一律超星数字同一律超星数字(shz)图书馆图书馆第一页，共70页。2全国的高等学校、自n然数的全体、直线(zhxin)上的点n常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有n理数、实数、复数集合第1页/共70页第二页，共70页。32. 集合表示法集合表示法 列元素法（枚举法）列元素法（枚举法）-是列出集合的所有元素是列出集合的所有元素, 元素之间元素之间用逗号隔开用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来并把它们用花括号括起来. 例如例如(lr) A=a, b, c, , z N=0,1,2,3, Z=0, 1, 2, 谓词表示法谓词表示法-通过谓词概括集合元素的性质

2、通过谓词概括集合元素的性质 例如例如(lr)： S= x | x是实数是实数 x21=0 表示方程表示方程x210的实数解集的实数解集. 有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间可以相互转化可以相互转化(zhunhu)，但是有些集合不能用列元素法，如实数集，但是有些集合不能用列元素法，如实数集第2页/共70页第三页，共70页。43.3.集合的性质集合的性质 (1) (1) 互异性：集合的元素是彼此不同的互异性：集合的元素是彼此不同的, , 如如 1, 1, 2, 2, 3 1, 1, 2, 2, 31, 2, 31, 2, 3（2 2）无

3、序）无序(w x)(w x)性：集合的元素是无序性：集合的元素是无序(w x)(w x)的的, , 如如 1, 2, 3 1, 2, 33, 1, 23, 1, 2（3 3）确定性：集合中的元素是确定的，对元素）确定性：集合中的元素是确定的，对元素a a和集合和集合A A，有，有 a A a A或或a a A A，必居其一且只居其一，必居其一且只居其一（）任意性：集合的元素也可以是集合（）任意性：集合的元素也可以是集合第3页/共70页第四页，共70页。5元素元素(yun s)与集合的关系与集合的关系 隶属关系：隶属关系： 或者或者 集合的树型层次结构集合的树型层次结构 例如：例如：A= a,

4、b,c ,d , d 这里这里第4页/共70页第五页，共70页。6在本课程在本课程(kchng)所中所采用的体系中规定集合的元素都是集合所中所采用的体系中规定集合的元素都是集合. 第5页/共70页第六页，共70页。7n素, 则称B是A的子集合, 简称子集. 这时也称B被A包含, 或An包含B, 记作B A. n B A x ( xB xA) n例如n N Z Q R C,n如果(rgu)B不被A包含, 则记作B A.第6页/共70页第七页，共70页。8, 上的两个集合.nn定义6.2 设A, B为集合, 如果A B且B A, 则称A与B相等,n记作AB.n如果A与B不相等, 则记作AB. 相等

5、的符号化表示为:n AB A BB A 第7页/共70页第八页，共70页。9ABA 例如 N Z Q R C, 但N N.n思考：和的定义n注意(zh y) 和是不同层次的问题第8页/共70页第九页，共70页。10第9页/共70页第十页，共70页。11第10页/共70页第十一页，共70页。12注:由0元子集的个数,加1元子集的个数,可得到(d do)子集总数n2n.第11页/共70页第十二页，共70页。13幂集幂集第12页/共70页第十三页，共70页。14个问题也可以取不同的全集. 例如在研究平面上直线的相互关系时, 可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集, 也可以把整个空间(空间上所有

6、点的集合)取作全集. 一般地说, 全集取得小一些, 问题的描述和处理(chl)会简单些. 全集全集(qunj)第13页/共70页第十四页，共70页。15n交 AB = x | xA xBn相对补 AB = x | xA xBn由定义可以看出, AB是由A或B中的元素构成(guchng), AB由An和B中的公共元素构成(guchng), AB由属于A但不属于B的元素构成(guchng). 第14页/共70页第十五页，共70页。16n如果两个集合的交集(jioj)为 , 则称这两个集合是不相交的.n例如B和C是不相交的. n并和交运算可以推广到n个集合上，即nA1 A2 An = x | xA1

7、 xA2 xAn nA1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn第15页/共70页第十六页，共70页。17n A1 A2 nn A1 A2 第16页/共70页第十七页，共70页。18对称差运算(yn sun)的另一种定义是 A B(AB)(AB) 第17页/共70页第十八页，共70页。19例如n Ea, b, c, d, Aa, b, c, n则nAd.第18页/共70页第十九页，共70页。20用圆n的内部表示集合. 不同的圆代表不同的集合. 如果没有关于集合n不交的说明, 任何两个圆彼此相交. 图中阴影的区域表示新组成n的集合. 图6.2就是一些文氏图的实例. 第19页/共70页第二

8、十页，共70页。21第20页/共70页第二十一页，共70页。22第21页/共70页第二十二页，共70页。23n集合称为A的广义交，符号化：n A= x | z ( zA xz ) n实例n1, 1,2, 1,2,3=1,2,3n1, 1,2, 1,2,3=1na=a，a=ana=a，a=a第22页/共70页第二十三页，共70页。24An=A1A2AnnA1, A2, , An=A1A2An n3. 引入广义运算的意义n可以表示无数个集合的并、交运算，例如nx | xR=Rn这里的 R 代表实数集合. 第23页/共70页第二十四页，共70页。25例例1 A=a,a,b，计算，计算(j sun)A

9、(AA). 解：解： A= a,b， A= a， A= ab， A = a A(AA) = a,b(ab) a) = (ab)(ab)a) = (ab)(ba) = b第24页/共70页第二十五页，共70页。26都画成相交的, 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内. 通常从n个集合的交集填起, 根据计算的结果(ji gu)将数字逐步填入所有的空白区域. 如果交集的数字是未知的, 可以设为x. 根据题目中的条件, 列出一次方程或方程组, 就可以求得所需要的结果(ji gu) 第25页/共70页第二十六页，共70页。27不懂德语, 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人

10、数.n解: 令A, B, C, D分别表示会英、法、德、日语的人的集合. 根据题意画出文氏图如图6.3所示. 设同时会三种语言的有x人, 只会英、法或德语一种语言的分别为y1, y2和y3人. 将x和y1, y2, y3填入图中相应的区域, 然后依次填入其他区域的人数.第26页/共70页第二十七页，共70页。28第27页/共70页第二十八页，共70页。29第28页/共70页第二十九页，共70页。30 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 = 166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 =

11、 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 画出文氏图，然后填入相应画出文氏图，然后填入相应(xingyng)的数字，解得的数字，解得 N=1000(200+100+33+67) =600第29页/共70页第三十页，共70页。31|.|) 1(.|.|2111121nnnkjikjnjijiniinAAAAAAAAASAAAi 推论推论 S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为1211

12、1121|( 1)|nniijii j nnijkni j k nAAAAAAAAAAAA 第30页/共70页第三十一页，共70页。32n |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41n |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8nnn = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600 |CBA 例例6.3 求求1到到1000之间（包含之间（包含(bohn)1和和1000在内）既不能被在内）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除的数有多少个？整除的数有多少个？第31页/共70页第三十二页，共70页

13、。33 交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)幂等幂等A A=AA A=A第32页/共70页第三十三页，共70页。34 与与 与与 分配分配A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)吸收吸收A (A B)=AA (A B)=A第33页/共70页第三十四页，共70页。35 D.M律律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C) (B C)= BC (B C)= BC双重否定双重否定A=

14、A第34页/共70页第三十五页，共70页。36E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定否定=E E=第35页/共70页第三十六页，共70页。37 (AB)CA(BC) 交换律 ABBA ABBA第36页/共70页第三十七页，共70页。38n排中律AAE矛盾律AA第37页/共70页第三十八页，共70页。39BC n(BC)=BCnE nEn双重(shungchng)否定律 (A)A 第38页/共70页第三十九页，共70页。40n就是对于任意的x,有n xAxB和xBxAn方法二n任取x，xA xBn注意：在使用方法二的格式时，必须保证(bozhng)每步

15、推理都是充n分必要的第39页/共70页第四十页，共70页。41n证对任意的x xA(BC) xAxBC xA(xBxC)第40页/共70页第四十一页，共70页。42C x ( AB)(AC)n所以(suy)n A(BC)(AB)( AC)第41页/共70页第四十二页，共70页。43 证证 对任意的对任意的x, xAExAxExA(因为因为xE是恒真命题是恒真命题(mng t), 所以所以 AEA. 第42页/共70页第四十三页，共70页。44xA n因此得 A(AB) = A.第43页/共70页第四十四页，共70页。45n = A(BE) （交换律）n = AE （零律）n = A （同一律）

16、第44页/共70页第四十五页，共70页。46n ABBA n (AB) CA (BC) AA AA ABACBC 第45页/共70页第四十六页，共70页。47证证 对于对于(duy)任意的任意的x, xABxAxB xAxB xAB所以所以 ABAB. 上面等式把相对补运算转换成交上面等式把相对补运算转换成交(chng jio)运算运算, 这在证明有关相这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的对补的恒等式中是很有用的. 第46页/共70页第四十七页，共70页。48证明证明(zhngmng) (AB)B (AB)B (AB)(BB) (AB)E AB 第47页/共70页第四十八页，共70页。49个

17、命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论n确定(qudng)证明顺序：，n按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）第48页/共70页第四十九页，共70页。50 证：证： ABBAB 对于任意对于任意(rny)的的x, （A A B ） xA xAxB xAB xB (因为因为ABB)所以所以A B. A B ABA.显然有显然有AB A, 下面证下面证A AB. 对于任意对于任意(rny)的的x, xAxAx A xAxB (因为因为AB) xAB 则则 A AB 由集合相等的定义有由集合相等的定义有ABA. 第49页/共70页第五十页，共70页。51 ABA AB AB AB

18、 (AB)B (因为因为ABA) A(BB) A AB= ABB 由例由例6.10（(AB)BAB）及）及AB 有有 ABB(AB)B B 例例6.11给出了给出了A B的另外三种等价的定义的另外三种等价的定义, 这不仅为证明两个这不仅为证明两个(lin )集合之间的包含关系提供了新方法集合之间的包含关系提供了新方法, 同时也可以用于集合公式的化简同时也可以用于集合公式的化简. 第50页/共70页第五十一页，共70页。52解解 因为因为(yn wi)ABABC, AA(BC), 有有 (ABC)(AB)(A(BC)A) (AB)A BA第51页/共70页第五十二页，共70页。53 BC 例例6

19、.13 已知已知AB A C, 证明证明(zhngmng)BC. 第52页/共70页第五十三页，共70页。54, n集合运算的算律及其应用第53页/共70页第五十四页，共70页。55l(jh)含关系的基本方法第54页/共70页第五十五页，共70页。56n (7) a, b a, b, a, b n (8) a, b a, b, a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为真，其余(qy)为假为假.第55页/共70页第五十六页，共70页。57中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味=n通过集合(jh)运算判断AB，即AB = B, A

20、B = A, AB = 三个等式中有一个为真.n通过文氏图判断集合(jh)的包含（注意这里是判断，而不是证明第56页/共70页第五十七页，共70页。58n（1）若 XS5=n（2）若 XS4但 XS2=n（3）若 XS1且 X S3n（4）若 XS3=n（5）若 XS3 且 X S1第57页/共70页第五十八页，共70页。59n偶数，因此 X=S1, S2或S4. n(4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5.n(5) 由于(yuy)S3是S1的子集，因此这样的X不存在.第58页/共70页第五十九页，共70页。60第59页/共70页第六十页，共70页。61l述条件，可以用文

21、氏图表示集合，看看命题是否成立(chngl).如果成立(chngl)，再给出证明.l试着举出反例，证明命题为假.第60页/共70页第六十一页，共70页。62nn A=1，AA=，但是A.n (4)如果AB = B，则A = E命题不为真. AB=B的充分(chngfn)必要条n件是 BA，不是A=E. n (5) A = xx，则 xA且x A命题为真，因为 x 既是 A 的元n素，也是 A 的子集第61页/共70页第六十二页，共70页。63解题思路解题思路分析命题：含有分析命题：含有3个命题：个命题： AB = AC , AB = AC, B = C 证明要求证明要求 前提：命题和前提：命题和 结论：命题结论：命题 证明方法：证明方法： 恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式通过利用已知等式通过(tnggu)运算得到新的等式运算得到新的等式第62页/共70页第六十三页，共70页。64n(分配律）n = (AC)(BC) AB = AC n= (AB)C (分配律）n = (AC)C AB = AC n=