D12数列的极限66186学习教案

1、会计学1D12数列数列(shli)的极限的极限66186第一页，共24页。自变量取正整数的函数(hnsh)称为数列,记作或称为(chn wi)通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :aaa)(即)(Nn 或1Nx2Nx则称该数列的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第二页，共24页。证明(zhngmng)数列的极限(jxin)为1. 证证: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第三页，共24页。证明(zhngmng

2、)证证:欲使只要(zhyo)即取则当时, 就有,0nx故故也可取(kq)也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第四页，共24页。证明(zhngmng)等比数列证证:, ) 1 ,0(欲使只要(zhyo)即亦即因此(ync) , 取, 则当 n N 时,就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第五页，共24页。ab证证: 用反证法.及且取因故存在(cnzi) N1 , 从而(cng r)同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一收

3、敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第六页，共24页。证证: 设取则当时, 从而(cng r)有取 则有由此证明收敛(shulin)数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,虽有界但不收敛 .有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第七页，共24页。若且时, 有证证:对 a 0 ,取ax2a2a推论推论(tuln):若数列(shli)从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/

4、共24页第八页，共24页。*证证: 设数列设数列(shli)是数列(shli)的任一子数列 .若则当 Nn 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *Kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第九页，共24页。由此性质(xngzh)可知 ,若数列(shli)有两个子数列(shli)收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 第9页/共24页第十页，共24页。证证: 由条件(tiojin) (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件(tiojin) (1)即故

5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十一页，共24页。证证: 利用利用(lyng)夹逼准则夹逼准则 .且由机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十二页，共24页。nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明(zhngmng)略 )ab机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十三页，共24页。故极限(jxin)存在，1.1.设 , 且求解：解：设则由递推公式(gngsh)有1数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十四页，共24页。证明(zhngmng)数列nx极

6、限(jxin)存在 . (P52P54)证证: 利用利用(lyng)二项式公式二项式公式 , 有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十五页，共24页。) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n大大 大大 正正又比较(bjio)可知机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共24页第十六页，共24页。记此极限(jxin)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jxin) .原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (1nnnx!21!31!1n又第16页/共24页第十七页，共24页。数列(shli)极限(

7、jxin)存在的充要条件是:存在正整数 N ,使当时,证证: “必要性”.设则,0时, 有 使当因此“充分性” 证明从略 .有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十八页，共24页。1. 数列极限(jxin)的 “ N ” 定义及应用2. 收敛(shulin)数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十九页，共24页。1. 如何(rh)判断极限不存在?方法(fngf)1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2.

8、 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第二十页，共24页。P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示(tsh):可用数学(shxu)归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页第二十一页，共24页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 证证:显然(xinrn)证明(zhngmng)下述数列有极限 .即单调增,又存在“拆项相消拆项相消” 法法第21页/共24页第二十二页，共24页。我国古代(gdi)魏末晋初的杰出数学家

9、.他撰写(zhun xi)的重 差对九章算术(ji zhn sun sh)中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小,割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :第22页/共24页第二十三页，共24页。法国(f u)数学家, 他对数学的贡献主要(zhyo)集中在微积分学,柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学