高等数学 初等函数

1、目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、复合函数二、复合函数一、基本初等函数一、基本初等函数第二节初等函数三、三、初等函数初等函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 幂幂 函函 数数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 定义定义: :函数函数 称为幂函数称为幂函数, ,其中其中x是是yx自变量自变量, 是常数是常数.一、基本初等函数一、基本初等函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 画出画出12312,yx

2、 yxyxyxyx (1,1)的图像的图像yx目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定义域值域奇偶性单调性定点yx2yx3yx12yx1yxRRR0,) |0 x x RR0,)0,) |0y y 奇函数奇函数奇函数奇函数 非奇非偶非奇非偶偶函数偶函数奇函数奇函数增函数增函数增函数增函数0,) 为为增函数增函数, , 为减函数为减函数(,00,) 为为增函数增函数(,0)(0,) 为为减函数减函数( 1 , 1 )目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 幂函数幂函数 的性质的性质:所有幂函数都

3、经过第一象限所有幂函数都经过第一象限, ,并且都通过点并且都通过点(1,1)(1,1), ,但不通过第四象限但不通过第四象限. .yx(0,)当当 为为奇数奇数时时, , 幂函数为奇函数幂函数为奇函数; ;当当 为为偶数偶数时时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .当当 时时, ,幂函数经过原点幂函数经过原点(0,0),(0,0),在在 为为增函数增函数. .0当当 时时, , 在在 为为减函数减函数, ,图像向上与图像向上与y y轴轴无限地接近无限地接近, ,向右与向右与x x轴无限地接近轴无限地接近. .(0,)0当当 时时, , 1y 0函数为常数函数函数为常数函数目录 上页 下页 返

4、回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: :函数函数 叫做指数函数叫做指数函数, ,其中其中 是一个大于是一个大于0,0,且不等于且不等于1 1的常量的常量, ,函函数的定义域是数的定义域是R.R.xyaxya(0,1)aaxR指指 数数 函函 数数a目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 0 a 1图图象象性性质质定义域定义域: :值域值域: :(0,)(,) 当当 x = 0 时时, y = 1 , 即过点即过点 ( 0 , 1)在在 上是减函数上是减函数(,) 在在 上是增函数上是增函数(,) 当当

5、x0时时,1y 01y当当x0时时,当当x0时时,1y 01y目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 求求 的反函数的反函数(,0,1)xyaxR aa(0,)解解: :xya logaxy反函数为反函数为: :logayx (0,0,1)xaa()xxRya 的值域为的值域为 , ,即即0y 对数函数对数函数定义域定义域: :(0,)对对 数数 函函 数数换底公式：logax lnlnxa0,AAln Ae目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 0 a 1图图象象性性质质( 1, 0)( 1,

6、 0)定义域定义域: :值域值域: :(0,)(,) 当当 x = 1 时时, y = 0 , 即过点即过点 ( 1 , 0 )在在 上是减函数上是减函数(0,)在在 上是增函数上是增函数(0,)当当0 x1时时,当当0 x1时时,0y 0y 0y 0y 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数常用公式三角函数常用公式sin()xycos()xy22sincos1.xxsin2x cos2x 三 角 函 数2sincos ;xx22cossin;xxsinsinxy2cossin;22xyxysin coscos sin;xyxycos

7、 cossin sin;xyxycoscosxy2sinsin;22xyxy目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 f(x)=sinxf(x)= cosx图图 象象定义域定义域值值 域域最最 值值f(x)= 02 23 xy0 2 -1-12 23 xy0 2 1-1RR 1,1 1,1)(22Zkkx 时时ymax=1)(22Zkkx 时时ymin= 1)(2Zkkx 时时ymax=1)(2Zkkx 时时ymin= 1)(Zkkx )(2Zkkx 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 f(x

8、)=sinxf(x)= cosx图图 象象周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性 22奇函数奇函数偶函数偶函数)(22,22Zkkk)(223,22Zkkk)(2,2Zkkk)(22 ,2Zkkk单调增区间单调增区间: :单调减区间单调减区间: :单调增区间单调增区间: :单调减区间单调减区间: :xx目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 23223tanyx目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定义域：定义域：值域：值域：周期性：周期性：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：|,2x xkkZ,2

9、2kkkZ全体实数R正切函数是周期函数，正切函数在开区间内都是增函数。tan()tan( )xx 正切函数是奇函数，正切曲线最小正周期T=关于原点0对称正切函数的性质：正切函数的性质：目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 xyo22cotyx目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定义域：定义域：值域：值域：周期性：周期性：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：|,x xkkZ,kkkZ 全体实数R余切函数是周期函数，余切函数在开区间内都是减函数。cot()cot( )xx 余切函数是奇函数，正切曲

10、线最小正周期T=关于原点0对称余切函数的性质：余切函数的性质：目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 正割函数正割函数xysec xysec 余割函数余割函数xycsc xycsc 1sin x1cosx目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 yOxy=sinxxyOy=cosxyOy=tanxxOy=cotxxy目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 xyOy=ArcsinxOy=Arccosxxy1Oy=Arctanxxyx1Oyy=Arcc

11、otx反三角函数反三角函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 Oy211x2反正弦函数arcsinyx定义域定义域： -1，1,2 2 值值 域：域：奇偶性：奇偶性： 奇函数奇函数单调性：单调性：在 -1，1 单调递增单调递增arcsinyx有界性：有界性： 有界函数有界函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 因为这个区间是最简单的因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个且每一个余弦值都对应

12、一个角在这个区间角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间且是余弦函数的一个单调区间.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 Oy11x2反余弦函数arccosyx定义域定义域： -1，10, 值域：值域：奇偶性：奇偶性： 无无单调性：单调性：在 -1，1 单调递减单调递减arccosyx有界性：有界性： 有界函数有界函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 xyarctanyx2o2反正切函数arctan

13、yx定义域定义域：(,)2 2 值域：值域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：在 单调递增单调递增,) （有界性：有界性： 有界函数有界函数, （）奇函数奇函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 cotyarcx反余切函数arccotyx定义域定义域：(0, )值域：值域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：在 单调递减单调递减,) （有界性：有界性： 有界函数有界函数, （）无无目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, 而函数而函数)(x

14、u 的值域为的值域为 Z, 若若 ZDf, 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意: : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的; fDZ 复合条件复合条件,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 二、复合函数二、复合函数目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式fDZ 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义

15、域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ( )()( ), |( )0,( )ff xxxDx g xxDgg x 函数的运算函数的运算,则我们可以定义这两个函数的12DDD 设函数 的定义域依次为1,D2,D( ),f x( )g x下列运算:fg商和(差):fg()( )( )( ),;fg xf xg x xD积:f g()( )( )( ),;f g xf xg x xD目录 上页 下页 返

16、回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 三. 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P12 P13 )目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyO11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyO412321目录 上页 下页 返回 结束

17、 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例110(35) ,log (sin2 )xayxyx指出是由哪些函数复合而成的是由哪些函数复合而成的. .解解1010(35)35.yxyuux是由和复合而成的log (sin2 )xayx ,log,sin 2. axyu uvvx是由复合而成的目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 分析下列复合函数的结构：分析下列复合函数的结构： y= ue , vusin, tv , 12 xt. 例例 3 3 设设2)(xxf , , xxg2)(, , 求求,)(xgf )(xfg. . 解解 f g(x)=g(x)2=( x2 )2= x4 , g f (x) = )(2xf= 22x. 3(1)cot,2xy 2sin1(2)xye(1),yu3,uv2xt cot ,vt解解目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结