流体力学-2-1

1、大气流体力学大气科学学院，王伟第二章 流体运动方程组流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章将导出描述流体运动的连续方程、运动方程和能量方程。内容 内容 第一节连续方程 连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。重点讨论不同表现形式的流体连续方程。首先回忆一下描写流体运动的两种观点： 拉格朗日观点和欧拉观点1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程拉格郎日(Lagrange) 观点：某一流体块（流点）在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是

2、守恒不变的。 0Vdtd 拉格郎日型连续方程z x y ()0dmdt流体密度不变。流体体积不变流体密度增大；流体体积减小流体密度减小；流体体积增大0/0)3(0/0)2(0/0) 1 (dtdVdtdVdtdV0Vdtd 流体的密度变化是由于流体的辐合辐散所造成的，以上约束条件能保证了流体的连续介质假设。 mV Lagrange 观点下连续方程的物理意义对于不可压缩流体，它在流动过程中每个流点的密度始对于不可压缩流体，它在流动过程中每个流点的密度始终保持不变，应有，此时流体的连续性方程为：终保持不变，应有，此时流体的连续性方程为：0V 0ddt例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？22

3、22234u=y22(1) (2)212xzuxtyvyzxy zvxtytwx zx y 利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。yx y z xuz()uu xx u y z 单位时间内通过右侧面流出控制体的流体质量为：()uuxy zx 单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量质量净流出量为： ()=()uuxy zu y zux y zxx 2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程单位时间内通过左侧面流入控制体的流体质量为：类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内通过整个控制体的流体净流出量流体净流出量为：()()()uvwx

4、 y zxyz 单位时间内，该控制体内的质量减少质量减少为：根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出流出控制体的流体质量应等于单位时间内该控制体内质量的减少质量的减少，由此得到：()()()0uvwtxyz()0Vt 或者x y zt Vtdtd0Vt Vt 拉格郎日型连续方程0Vdtd 欧拉型连续方程P355A.13 ddVV/流体局地密度不变。流体无出入流体局地密度增大；有流体流入流体局地密度减小；有流体流出0/0)3(0/0)2(0/0) 1 (tVtVtV 0Vt 欧拉型连续方程的物理意义对于流体的定常运动，有0t流体的连续性方程可写为：0VVt 可知，在定常运动中，通过任意

5、控制体表面流体质量的净流入量等于零，即单位时间内流出流出控制体表面的质量等于流进流进控制体表面的质量。3、具有自由表面的流体连续方程通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中称之为自由表面。实际物理现象：当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之，当该处有水向四周流散开时，将使得那里的水面降低。水空气交界面假设流团密度为 ，考虑流体运动为二维的，即满足： ，取流向方向为 x 轴。设流体自由表面高度为 ，即 h 在各处高低不同且可以随时间变化。tzyx, 0/, 0zw tyxhh,自由表面的流体连续方程的导出：在流体中，选取一个以

6、为底的方形柱体，该柱体是一固定不动的空间区域，称为控制区-欧拉观点。yx 流体可以通过控制区的侧面，流出、流入该柱体。xyzOy x h经流体柱后侧流入的流体质量应为：同时，经流体柱前侧流出的质量为：考虑柱体内流体的质量为：hzyxm0 流入质量=hzyu0 流出质量=xzyuxzyuhh 00 xyzOy x huxxuu 流出质量减去流入质量 柱体内的净流出量柱体内质量的减少。（流入质量减去流出质量 柱体内的净流入量柱体内质量的增加）即有：xzyuxzyxthh 00流入质量=hzyu0 流出质量=xzyuxzyuhh 00*积分上限 h 为x，y，t的函数，可变上限的积分规则：对上式两项

7、展开，左端项为： ( ), ,( )a ta ttb tb ta txf x t dxfx t dxf x tb ttt 0000 hhhhhzx yzx yzx yttthz x yx ytt （）xzyuxzyxthh 00*积分上限 h 为x，y，t的函数，可变上限的积分规则： ( ),( )a ta ttb tb ta txf x t dxfx t dxf x tb tttxzyuxzyxthh 00右端项为：00000 |hhhhhhhuy zxzu yzxu yxxxhx yzzuuuxxx 考虑到 与 z 无关，并消掉等式两端公共项 可得：xuu /,yx hhhhhxudzzxuuxhztth0000 hhhuxhzxuzxuyx00 yxthyxzthh 0 xzyuxzyxthh 00010 xudzxhuthhh 可以得到：考虑水为不可压缩的，根据连续方程有：hzxut00 hhhhhxudzzxuuxhztth0000 讨论时流向仅取x轴。如流向取任意方向，上式可写为：0 xuhxhuth 0Vhth 0VhhVth 这就是用自由表面高度所表示的连续方程。进一步有： hhdzhh01 均匀流体自由表面附近的流体（浅流体）具有自由表面的流体连续方程0hhVt0hVhhVt h0Vt 欧拉型连续方程具有自由表面的流体连续方