由一堂探索性问题专题课想到的 - 中小学教育网

1、一堂“探索性问题”专题课教学实录及启示222300江苏省东海高级中学翟小军对探索性问题的研究一直是数学中的一个热点, 它对于知识的交融及方法的灵活运用都有着较高要求, 而高考命题的一个最大的特点就是着重于在知识网络的交汇处命题, 从而体现高考命题的综合性、灵活性, 所以对学生来讲它既是一个重点, 也是一个难点. 对于这方面的教学, 笔者认为着眼点不能仅仅局限于多讲或多练几个题目、总结几种方法,而应充分调动学生求知与探索的欲望, 激发他们的自信, 进而培养他们解决探索性问题的能力. 这里的关键是老师如何起到穿针引线的作用.不久前, 笔者就探索性问题的教学作了一个尝试, 现呈现给大家, 权当抛砖引

2、玉.问题1是否存在实数a、b 使得f (x ) =ax + b 对于所有的x 0, 2 都有 f (x ) - co sx f (x ) sinx 成立?若存在, 试确定a、b 的值. 若不存在, 说明理由.师:这是一道对于存在性的探索问题, 对于这种问题, 我们的一般思路都是先假设其存在, 然后根据题意进行推导, 如能得出a、b 的值, 则可以断定其存在, 如出现矛盾, 则可以断定其不存在. 下面请同学们自己化简处理一下.（两分钟后, 学生的结果基本得出.）生1: 首先得到 f (x ) - ,进一步化简得 f (x ) ,即 ax + b ,下面我就不会做了.(一阵善意的轻笑声)师: 先谈

3、谈我的看法, 首先“生1”同学的化法还是很好的, 得到的这个式子对于所有的x 0, 2 恒成立, 所以我们不妨取x = 0、2三个值看看，当x = 0 时, 可得0 b 1 ； 当x = 时, 可得- 1 a+ b 0 当x = 2时, 可得0 2a + b 1 由 可得- 3 b 0, 这与 矛盾,所以满足条件的a、b 值不存在. 完毕.(教室里一阵寂静, 然后又是一片议论声)生2: 老师, 首先我肯定你的结论是对的,但是你怎么知道应该取0、2三个值的呢?我刚刚取了0、, 三个值, 得出的结论却并不矛盾啊, 所以我认为你的这种解法有点牵强.( 台下一片赞叹声, 我知道, 他们一方面是同意他的

4、观点, 另一方面是佩服他的勇气)师: 这位同学说的很对, 我也同意他的观点, 我也是经过多次尝试才找到这种解法的,既然大家都同意这个观点, 那我们能不能来找一找有没有别的解法?(大家一副跃跃欲试的表情, 分成几个小组, 然后展开讨论, 5 分钟后)生3: (兴奋地) 我知道了, 不用这么复杂, ax + b 0, 同时ax + b 小于 的最小值, 即ax + b 0, 而这两者应同时满足, 显然是矛盾的, 所以符合条件的a、b 值不存在. 完毕.(一片惊叹声, 老师微笑而不语, 一会儿)生4: 这种判断方法是不对的. (又是一片惊诧声, 目光又转向了我)师: 那你先说说不对的理由.生4: 不

5、等式中的恒成立问题, 其不等号的两边应是相互独立的, 而本题中ax + b 的值与、 有关, 所以不能用这种方法来判断.师: 那能不能具体说说原因呢?大家可以讨论一下.(此时教室内的气氛非常热烈, 大家又开始讨论了起来)生5: 我知道了, ax + b 小于 的最小值只是不等式ax + b 0 恒成立, 求实数a 的取值范围.解答: 原不等式变形为: ax + 3 x2 .设g (x ) = ax + 3, h (x ) = x2. 由于x 0,1 时, h (x )max = 0, 所以欲使f (x ) = x2 + ax + 3 0 对x 0, 1 恒成立, 只要g (x ) = ax+

6、3 0 对x 0, 1 恒成立, 故只需即a - 3.故a 的取值范围为(- 3, + ).师: 请大家分组讨论一下, 看解答是否有误, 你认为应该怎样解?5分钟后, 我们请每个小组派一名代表发言.（教室里又充满了积极的研讨气氛5 分钟后）生6: (代表第一小组发言) 原不等式成立, 当且仅当f (x ) 在 0, 1 上的最小值大于零.f (x ) = (x + ) 2 + 3,故有或或由此可得a - 4,即a 的取值范围为(- 4, + ).生7: (代表第二小组发言) 我们采用的是分离变量法:(1) 当x = 0 时, 原不等式显然成立.(2) 当x (0, 1 时, 原不等式等价于a

7、- (x +).设g (x ) = - (x +),易证g (x ) 在 (0, 1 上是增函数, 故g (x ) 在(0, 1 上的最大值为g (1) = - 4, 从而得a - 4, 即所求a 的取值范围为(- 4, + ).师: 这个问题的解决过程再次肯定了生4和生5 同学的观点是正确的, 以后大家在处理类似问题的时候一定要引起注意.师: 那对于问题1 大家还有没有别的想法呢?生8: 老师, 我找到一种方法, 但不知对不对.师: 大胆的说出来, 每一种想法对于我们来讲都是无价之宝. (鼓励, 自信心是创造力的源泉)生8: 由 f (x )2 可得2f (x ) - 1 co sx 2f

8、(x ) + 1, 利用数形结合, 先画出y = co sx 在 0, 2 内的图像,2f (x ) - 1 co sx 要成立, 则2f (x ) - 1 的图像在 0, 2 内的部分应在co sx 图像的下方,而2f (x ) + 1 的图像可由2f (x ) - 1 的图像向上平移2 个单位得到, 所以其图像必与co sx的图像有交点, 即co sx 0 恒成立, 求实数a 的取值范围.(2) 已知点Pn (an , bn) 都在直线l: y = 2x+ 2 上, P1 为直线l与x 轴的交点, 数列an 成等差数列, 公差为1, (n N+ ). 求数列an, bn 的通项公式; 若f

9、 (n) =，问是否存在k N+ , 使得f (k + 5) = 2f (k ) - 2 成立; 若存在, 求出k 的值, 若不存在, 说明理由.启示:(1)“运筹于帷幄之中, 决胜于千里之外”, 在整个的课堂教学中, 老师只是充当了一个导演的角色, 但一个好导演必须肚中有货, 各种分寸把握得当, 过程设计精致才行.(2) 永远不要对学生的思维说“不”, 每一种想法都有其可贵的一面, 也许其不够全面,但事物永远没有一成不变的道理, 老师应鼓励学生大胆的去想, 勇敢的去想.(3) 把学习过程当作一种活动, 充分调动学生的积极性,让更多的学生活动起来, 参与到学习的活动中来. 尤其对于探索性问题的学习更应如此.(4) 在课堂教学中, 老师还要能善于处理一些突发的问题, 抓住一些思维的闪光点, 就像生8 的精彩发言一样, 是我课前没有想到的,从而把气氛推向高潮, 达到一种良好的教学效果.附思考题答案:(1) a 3(2) P1 (- 1, 0) ,an = n - 2, bn = 2n - 2.f (n) =假设存在符合条件的k:若k 为偶数, 则k + 5 为奇数, 有f (k + 5)= k + 3, f (k ) = 2k - 2.如果f (k + 5) = 2f (k ) - 2, 则k