工程图学第3讲直线与平面平面与平面的相对位置1

1、MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING第第3 3章章 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置3.1 3.1 平行问题平行问题3.2 3.2 相交问题相交问题3.3 3.3 垂直问题垂直问题3.4 3.4 综合问题分析综合问题分析NEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.1

2、3.1 平行问题平行问题3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 若一直线平行于指定平面上的一条直线，则直线与该若一直线平行于指定平面上的一条直线，则直线与该平面平行。平面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。则可断定直线与平面不

3、平行。 PBDCALASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING例例1 过已知点过已知点K，作一水平线，作一水平线KM平行于已知平面平行于已知平面ABC 。m d mdkk b a abc cXO 分析：分析：ABC上的水平线有无数条，但其方向是确上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过定的，因此过K点作平行于点作平行于ABC的水平线也是唯一的。的水平线也是唯一的。 作图步骤作图步骤 先在先在ABC内任作水平内任作水平线线AD 再过点

4、再过点K作作KMAD即即kmad，k m a d，则直线则直线KM为一水平线且平为一水平线且平行于已知平面行于已知平面ABC。 LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING例例2 过点过点K作一铅垂面作一铅垂面P(用迹线表示用迹线表示)，使之平行于直线，使之平行于直线AB。XOababkkPVPXPH 过过k作作PHab；过；过PX作作PVOX轴，则轴，则P平平面为所求。面为所求。 由于铅垂面的由于铅垂面的H投影为一直线，若作铅垂面平行

5、投影为一直线，若作铅垂面平行于直线于直线AB，则，则PH必平行于必平行于ab。LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.1.2 3.1.2 两平面平行两平面平行 若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。两相交直线，则这两个平面平行。ACBDFEPQLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL

6、 ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING两迹线平面平行两迹线平面平行 两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。VXOHPHQHPXPVQVXOPVPHPXQVQHQXLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGefefsrsddcaacbbrPHSHX

7、O 当两平面为同一投影面的垂直面时，若其在该投当两平面为同一投影面的垂直面时，若其在该投影面上的积聚性投影平行，则这两平面平行。影面上的积聚性投影平行，则这两平面平行。 LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGf e d edfc a acb bm n mnr rss 结论：两平面平行结论：两平面平行XO例例3 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAW

8、INGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.2 3.2 相交问题相交问题3.2.1 积聚性法积聚性法 3.2.2 辅助平面法辅助平面法LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING交点与交线的性质交点与交线的性质 直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有一个直线与平面相交有一个交点交点，交点既在直线上又

9、，交点既在直线上又在平面上，它是直线与平面的共有点。两平面的在平面上，它是直线与平面的共有点。两平面的交线交线是一条直线，它是两个平面的共有线。是一条直线，它是两个平面的共有线。PABKDBCALKEFLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。PBKA直线与平面相交直线与平面相交LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGI

10、NEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMBCAFKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。平面与平面相交平面与平面相交LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.2.1 3.2.1 积聚性法积聚性法 当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性当直线或平面的投影具

11、有积聚性时，可利用积聚性的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在直线或平面上取点的方法求出另一投影。直线或平面上取点的方法求出另一投影。 VHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING1.1.投影面倾斜线与特殊位置平面相交投影面倾斜线与特殊位置平面相交bbaaccmmnnkkXOVHPHPACacNMkbBK 当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时

12、，当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。个投影可在直线的另一个投影上找到。LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING直线可见性的判别直线可见性的判别bbaaccmmnkkn 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可见性直接判别直线的可见

13、性-观察法观察法，由水平投影可知，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上段在平面前，故正面投影上k m 为可见为可见。 XOVHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING2. 2. 投影面垂直线与投影面倾斜面相交投影面垂直线与投影面倾斜面相交 XOa a(b)b c d cefdf kk 分析：分析：直线直线AB是是铅垂线，铅垂线，H投影有积聚投影有积聚性，故交点的性，故交点的H投影投影k必和必和a（b）

14、重合。又重合。又因交点因交点K是是CDE上的上的点，因此可用求面上点，因此可用求面上取点的方法，求出取点的方法，求出K点点的的V面面投影投影k。 e 可见性判别可见性判别-重影点法重影点法 点点位于位于AB上在前。点上在前。点 位于平面上在后；故位于平面上在后；故k 1 为可见为可见。1 （2 ）21LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3. 3. 投影面倾斜面与特殊位置平面相交投影面倾斜面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可

15、以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有积聚性平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。交线可直接求出。b bacfdee a df lkl XOVHEdXOefclaLBkKCFDAc LASTNEXTHOMEk MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXOLASTNEXTHOMEMICH

16、ANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING平面可见性的判别平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLb bacnlmc m a l n fkf k XOLASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING4. 4. 两个垂直于同一投影面的平面相交两个垂直于同一投影面的平面相交XOa c b d e f abcd

17、ef1 (2 ) 两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面垂直线。两正垂面垂直线。两正垂面ABC与与DEF相交，交线相交，交线为正为正垂线。垂线。 abc与与def的交点的交点1(2) 即为即为交线的正面投影，由此在交线的正面投影，由此在ac上求上求得得2，在，在df上求得上求得1，12为交线的为交线的水平投影。水平投影。 平面水平投影的重叠部分，平面水平投影的重叠部分，其可见性利用重影点进行判其可见性利用重影点进行判断。断。 (3)43 4 12LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANIC

18、AL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING3.3 3.3 垂直问题垂直问题3.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直3.3.2 平面与平面垂直平面与平面垂直LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING直线与平面垂直 直线与平面垂直，则该直线必垂直于平面上的任何直线。 LK平面P 则： LK水平线AB LK正平线CD MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGM

19、ICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING线面垂直定理MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING 给定平面ABC，试过定点S 作平面的法线。SF 即为所求MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING1 直线与平面垂直直线与平面垂直1. 1. 直线与投

20、影面垂直面垂直直线与投影面垂直面垂直 当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平面有积聚性的同面投影垂直。面有积聚性的同面投影垂直。 LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING 2 两平面垂直两平面相垂直两平面不垂直MICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENG

21、INEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING1.1.平面与投影面垂直面垂直平面与投影面垂直面垂直 左图投影面倾斜面左图投影面倾斜面ABC与正垂面与正垂面EFG垂直。在垂直。在ABC内与正垂面内与正垂面EFG垂直的直线垂直的直线AD一定是一条正平一定是一条正平线，且线，且adefg。右图两铅垂面。右图两铅垂面ABC与与EFGH垂直，垂直，其水平投影其水平投影abcef(g)(h)。 LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWING例例12 已知等边三角形已知等边三角形ABC的一边的一边AB的两面投影，顶点的两面投影，顶点C在在H面上，求作三角形面上，求作三角形ABC的两面投影。的两面投影。LASTNEXTHOMEMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAWINGMICHANICAL ENGINEERING DRAW