课题：圆的方程复习课

1、课题：圆的方程课题：圆的方程重点、考点复习课重点、考点复习课四川省广安友谊中学四川省广安友谊中学 xyooxy圆的方程圆的方程标准方程：标准方程：一般方程：一般方程：参数方程：参数方程：)(sincos为参数为参数 rbyrax222)()(rbyax022 FEyDxyx)04(22 FED直径方程：以直径方程：以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径为直径0)()(2121 yyyyxxxx点与圆的位置关系点与圆的位置关系222)()(rbyax 点在圆上：点在圆上：点在圆内：点在圆内：点在圆外：点在圆外：22020)()(rbyax 22020)()(rbyax 22020)()(rb

2、yax ),(00yxP直线与圆的位置关系有三种：直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交相离，相切，相交直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法有两种方法直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)代数法：代数法：利用判别式利用判别式= =b b2 2-4ac-4ac 相离相离相切相切相交相交判别式判别式000(2)(2)几何法：几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系大小关系相离相离相切相切相交相交 rdrdrd直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆的切线方程圆的切线方程若圆的方程为若圆

3、的方程为x2+y2=r2，点点P(x0,y0)在圆在圆上，则过上，则过P点且与圆点且与圆x2+y2=r2相切的切相切的切线方程为线方程为x0 x+y0y=r2圆的切线长度：点到圆心的距离、圆的切线长度：点到圆心的距离、切线长度和半径构成的直角三角切线长度和半径构成的直角三角形。形。若若P(x0,y0)为圆为圆x2+y2=r2外一点，外一点，PM1、PM2分别切圆于分别切圆于M1、M2，则直线则直线M1M2的方程为的方程为 .x0 x+y0y=r2圆的切点弦方程圆的切点弦方程xyoPM1M2直线与圆相交的弦长计算直线与圆相交的弦长计算rOd(1)几何法：几何法：解由弦心距、半弦及半解由弦心距、半

4、弦及半径构成的直角三角形；径构成的直角三角形；(2)代数法：代数法：运用弦长公式运用弦长公式 ，其中其中k k为直线的斜率，为直线的斜率，x x1 1,x,x2 2为直为直线与圆的两个交点的横坐标线与圆的两个交点的横坐标. .2212)(1(xxkl 直线与圆相离直线与圆相离圆与直线相离，常圆与直线相离，常利用圆心到直线的利用圆心到直线的距离距离d d去确定圆上去确定圆上的点到直线距离的的点到直线距离的最大值最大值( (d+r)d+r)、最最小值小值( (d-r)d-r)lo特殊的圆特殊的圆圆过原点：圆过原点：圆与圆与x轴相切：轴相切：圆与圆与y轴相切：轴相切：x2+y2+Dx+Ey=0(x-

5、a)2+(y-b)2=|b|2(x-a)2+(y-b)2=|a|2(x-a)2+(y-b)2=r2a2+b2=r2r=|b|r=|a|圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可分为五种：圆与圆的位置关系可分为五种：相离，外切，相交，内切，内含相离，外切，相交，内切，内含(两圆的公切线条数也可分为五种两圆的公切线条数也可分为五种)并掌握圆的公切线长度的求法。并掌握圆的公切线长度的求法。设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为O O1 1、O O2 2，半径为半径为r r1 1、r r2 2(r(r1 1rr2 2) )则则判断圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切相

6、离相离 |0|2121212121212121212121rrOOrrOOrrOOrrrrOOrrOO常用几何法：常用几何法：两圆公共弦方程两圆公共弦方程011122 FyExDyx022222 FyExDyx公共弦方程公共弦方程0)()()(212121 FFyEExDDxyo011122 FyExDyx022222 FyExDyx圆系方程圆系方程)1(0)(2222211122 FyExDyxFyExDyx过两圆的交点的圆的方程：过两圆的交点的圆的方程：022 FEyDxyx0 cbyax过直线与圆的交点的圆的方程：过直线与圆的交点的圆的方程：0)(22 cbyaxFEyDxyx 圆系方程

7、圆系方程 典型例题解析典型例题解析例例1：求下列圆的方程：求下列圆的方程 与与y轴相切，被直线轴相切，被直线y=x截得的弦长截得的弦长为为 ，圆心在，圆心在x-3y=0上上 经过经过P(-2,4),Q(3,-1)两点，并且在两点，并且在x轴轴上截得的弦长等于上截得的弦长等于6 圆心在圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆上，并且经过两圆C1: x2+y2-4x-3=0和和C2: x2+y2-4y-3=0的交点的交点 过过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的圆 与与x轴相切于点轴相切于点A(3,0),并且在并且在y轴上截轴上截得的弦长为得的弦长为6 过直线过直线3x-4y-7=0和圆和

8、圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点的交点且过点(1,2)的圆的方程的圆的方程 72 解解:圆心在圆心在x-3y=0上上, 设所求圆的设所求圆的圆心圆心O(3a,a)，圆圆O到直线到直线y=x的距离的距离 ,设设C为弦中点为弦中点RtOBC中中, a=1圆心圆心O(3,1)(3,1)或或O(-3,-1)(-3,-1) r=3所求圆的方程为所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或或(x+3)2+(y+1)2=9 O/OCByx|22|3|aaad7)2()3()7(22222aadr设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心圆心半径半径 ,由题意由题意:即即D2-

9、4F=36 (1) 又又P(-2,4),Q(3,-1)在圆上在圆上2D-4E-F=0(2)3D-E+F=-10(3) 由由、(2) 、(3)联立得联立得 D=-2 D=-6 E=-4 或或 E=8 F=-8 F=0所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或或x2+y2-6x-8y=0 )2,2(EDFEDr4212243)4(41)2(32222222EFEDEr 设 所 求 圆 的 方 程 为设 所 求 圆 的 方 程 为 x2+ y2- 4 x -3+(x2+y2-4x-3)=0)=0( 1 + ) x2+ ( 1 + ) y2- 4 x - 4 y -3(1+)=0(-

10、1) 圆心圆心 圆心在直线圆心在直线x-y-4=0上上 代入代入式得式得所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0 )12,12(04121231设所求圆的方程为设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 由已知由已知 4+4+2D+2E+F=0 D=-6 25+9+5D+3E+F=0 E=2 9+1+3D-E+F=0 F=-3所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0 设圆心设圆心(3,b),则圆的方程为则圆的方程为(x-3)2+(y-b)2=b2 由由b2=32+32=18 设所求圆的方程为设所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2-4+(3(3x+4y

11、-7)=0)=0将将(1,2)代入得代入得 所求圆的方程为所求圆的方程为 23b18)23() 3(22yx所求圆的方程为5305265252922yxyx 例例2:过圆过圆O:x2+y2=13外一点外一点P(-4,7),作作 O的的切线切线PA、PB，A、B是切点。求是切点。求(1)PA、PB的方的方程程 AB的方程。的方程。解：解：设所求切线的方程为设所求切线的方程为y-7=k(x+4)，则则 或或k=-18所求切线的方程为所求切线的方程为2x+3y-13=0或或18x+y+65=0OP的中点的中点M为为以以M为圆心、为圆心、 为半径的圆为半径的圆它与它与O的公共弦，即的公共弦，即AB的方

12、程为的方程为4x-7y+13=0 32131|47|2kkk654916|OP265465)27()2(22yx)27, 2( 例例3：若圆：若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线与直线x+2y-3=0的两交点为的两交点为P、Q,满足满足OPOQ(O为原点为原点)。求。求c值。值。解：设解：设P(x1,y1) 、Q(x2,y2)OPOQ yy1y y2+x+x1x x2=0=0 12121xxyyQPOyx由由 x2+y2+x-6y+c=0得得5y2+20y+12+c=0 x+2y-3=0 x+2y-3=0yy1+y+y2=4=4 代入代入式得：式得：c=3c=3代入代入得得y2-4y+3=0

13、 =16-120 c=3c=3 51221cyy15)12(544)(69)23)(23(21212121cyyyyyyxx015)12(54512cc直线直线3x+4y+m=0与圆与圆x2+y2-5y=0交于两点交于两点A,B，且且OAOB(O为为原点原点)，求，求m.若圆若圆x2+y2+x-6y+C=0与直线与直线x+2y-3=0的两个交点分别为的两个交点分别为P,Q，O为为原点，满足原点，满足OPOQ，求求C的值的值.练习练习 例例5:求两圆求两圆x2+y2+2x+6y+9=0，x2+y2-6x+2y+1=0的外公切线及内公切线方程的外公切线及内公切线方程.解解: 设外公切线的交点为设外

14、公切线的交点为P(x0,y0) P分分c1c2得比为得比为圆圆x2+y2+2x+6y+9=0的圆心的圆心c1(-1,-3) 圆圆x2+y2-6x+2y+1=0的圆心的圆心c2(3,-1) 半径分别为半径分别为r1=1，r2=3 yxPC1C2 P(-3,-4) 设外公切线的方程为设外公切线的方程为y+4=k(x+3) 即即kx-y+3k-4=0 外公切线的方程为外公切线的方程为y+4=0或或4x-3y=0 31|2121rrpcpc314311) 1()31(3, 3311331100yx11|433|2kkk340kk或设内公切线的交点设内公切线的交点M(x0,y0)则则 ，设内公切线方程为

15、，设内公切线方程为即即2kx-2y+5=0 内公切线方程为内公切线方程为3x+4y+10=0或或x=0 31|21MOMO)25, 0( Mkxy251124|562|22kk43k求求 O:x2+y2=1和和 C: x2+y2-6x+5=0的公切线方程的公切线方程.内公切线：内公切线：x=1外公切线：外公切线：x y+3=022 例例4:若实数对若实数对(x,y)满足方程满足方程(x-3)2+(y-2)2=2 求求 的最小值的最小值 的最小值的最小值2x-y的范围的范围A(-1,0),B(1,0) 求求P(x,y)使使|AP|2+|BP|2取最小值取最小值求求P(x,y)到直线到直线x+y+

16、1=0的最大值与的最大值与最小值最小值 xy12xy解解: 设设 即即y=kx 由得由得即即 最小值为最小值为设设 即即y+2=k(x-1) 即即kx-y-k-2=0由由 得得k2-8k+70 1k71k7k kmin=1=1 即即 kxy21|23|2kk116116k116minkxy116 kxy1221|223|2kkk1)12(minxy(方法一方法一)设设2x-y=t 即即2x-y-t=0 由由 得得(方法二方法二)令令 则则 212|26|2t410104t2sin23cos2yx)sin(1042sin26cos222yx410)2(104yx(方法一方法一)令令|AP|AP|

17、2+|BP|+|BP|2的最小值为的最小值为 2sin23cos2yx)sin(26432)sin(132432)sin2cos3(24322)4sin24sin29cos26cos2(22)(2) 1() 1(|2222222222yxyxyxBPAP26432 (方法二方法二) |AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2x2+y2=|PO|2|PO|2=x2+y2的最小值为的最小值为|AP|AP|2+|BP|+|BP|2的最小值为的最小值为 2132232|22min OCOP26215)213(226432 2(1)2y2原方程化为（x+1）221(0,0)22011 _ _ax by

18、abxyxyab若直线过的圆心，则为.的最小值例11 1a ba ba bab 1(0,0)a bab 得：( 1, 1),O 解：解：24baab 练习222. 22 0 (0,0) 241 0_ax byabxyxyab 若 直 线， 始 终 平 分 圆的 周 长 ， 则 的 最 大 值 是(2)2 sin()4xy21. (1)2yxy2实数x,y满足x求的取值范围; (2)若x+ym恒成立，求m的取例2.值范围。cos (R)sinxy解 令：(1)22cossinx y 2m 5sin() 5, 5 2 例例6：圆：圆x2+y2=8内有一点内有一点P0(-1,2)，AB为过点为过点P

19、0的弦的弦当当AB被点被点P0平分时，写出直线平分时，写出直线AB方方程。程。过过P0的弦的中点轨迹方程。的弦的中点轨迹方程。斜率为斜率为2的一组平行的一组平行弦的中点轨迹方程弦的中点轨迹方程 。解：解：由已知：由已知：OP0ABAB的方程为的方程为即：即：x-2y+5=0 yxOPP0A2110OPABKK) 1(212xyB （方法一）设（方法一）设AB中点为中点为P(x,y)，即即 当当x=0时，时，P(0,2)也满足也满足式式当当x=-1时，时，P(-1,0)满足满足式式综上，所求轨迹方程为综上，所求轨迹方程为 ) 1(12),0(xxyKxxyKABOP1121xyxyKKABOPA

20、BOP45) 1()21(22yx45) 1()21(22yx （方法二）（方法二）OPAB P的轨迹的轨迹是以是以|OP0|为直径的圆，圆心为为直径的圆，圆心为OP0的的中点中点 半径为半径为所求所求P的轨迹为的轨迹为设平行弦中点设平行弦中点P(x,y)，则，则KOP2=-1 即即x+2y=0 当当x=0时，时，P(0,0)也满足上式。也满足上式。平行弦中点轨迹为平行弦中点轨迹为x+2y=0（在已知圆内部）在已知圆内部） ),1 ,21(252|0OP45) 1()21(22yx)0( 12xxy已知圆：已知圆：x2+y2-4x+6y-12=0内内一点一点A(4,-2)，求以求以A点为中点点

21、为中点的弦所在的直线方程的弦所在的直线方程.例题例题例例7：已知直线：已知直线y=-x+m与曲线与曲线 有两个有两个不同的交点，求不同的交点，求m的取值范围。的取值范围。解：解： 表示圆表示圆(x+1)2+y2=1(y0)在在x轴上轴上方部分，方部分，y=-x+m表示斜率为表示斜率为-1的平行线的平行线,如图如图当直线与半圆相切时当直线与半圆相切时,当直线过当直线过A(-1,-1),m=0 xxy22xxy2212 m120mOyx01k11(0)ykxy22直线过点（0，-1），曲线方程(x-2) +y43 _xk2直线y=kx-1与y=- -x有公共点，的取值范围是例2.xOy11r析析:

22、 :已知两点已知两点A(0,1)、B(2,m)，如如果经过点果经过点A与点与点B且与且与x轴相切轴相切的圆有且只有一个，求的圆有且只有一个，求m的值的值及圆的方程及圆的方程.例题例题点点P在直线在直线2x+y+10=0上，上，PA、PB与圆与圆x2+y2=4分别相切于分别相切于A、B两点，求四边形两点，求四边形PAOB面积的面积的最小值最小值.例题例题已知圆满足：截已知圆满足：截y轴所得的轴所得的弦长为弦长为2；被；被x轴分成的两段轴分成的两段圆弧，其弧长的比为圆弧，其弧长的比为3:1，圆，圆心到直线心到直线l:x-2y=0的距为的距为 ，求该圆的方程求该圆的方程.55例题例题已知圆满足：截已知圆满足：截y轴所得的弦轴所得的弦长