土木工程力学作者王长连轴向拉压杆应力学习教案

1、土木工程力学土木工程力学 作者作者(zuzh) 王长连王长连 轴向轴向拉压杆应力拉压杆应力第一页，共36页。大了。大了。我们可以用这个我们可以用这个(zh ge)模型解释模型解释观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：等直杆在轴向拉力作用下，所有纵等直杆在轴向拉力作用下，所有纵向纤维都伸长了相同的量；所有横向纤维都伸长了相同的量；所有横截面仍保持为平面且与杆轴垂直截面仍保持为平面且与杆轴垂直（此即所谓的平截面假设），只不（此即所谓的平截面假设），只不过相对离开了一定的距离。过相对离开了一定的距离。由此可以认为：轴向受拉杆件横截由此可以认为：轴向受拉杆件横截面上任一点都受

2、到且只受到平行于面上任一点都受到且只受到平行于杆轴方向（即与杆横截面正交方向，杆轴方向（即与杆横截面正交方向，称为横截面法向或正向）的拉力作称为横截面法向或正向）的拉力作用，各点拉力大小相等。即杆横截用，各点拉力大小相等。即杆横截面实际上是受到连续均匀分布的正面实际上是受到连续均匀分布的正向拉力作用，这些分布拉力的合力向拉力作用，这些分布拉力的合力就是轴力。就是轴力。第1页/共36页第二页，共36页。AFNANlim0AFN第2页/共36页第三页，共36页。222186.7063044mmdA（拉）PammNAFNAB47.141/47.14186.706101002311（拉）MPammAF

3、NBC03.99N/03.9986.70610702312)M18.113/18.11386.70610802313（压PammNAFNCD（压）MPammNAFNDE89.88/89.8890010802324PaM47.141maxPaM18.113max全杆绝对全杆绝对(judu)(judu)最大正应力是最大正应力是ABAB段的拉应力段的拉应力全杆绝对全杆绝对(judu)(judu)最小正应力是最小正应力是DEDE段的压应力段的压应力PaABM47.141|maxPaDEM89.88|min第3页/共36页第四页，共36页。第4页/共36页第五页，共36页。（mm）。）。l表示了杆件纵向

4、表示了杆件纵向(zn xin)的总的总变形量，但不能反映杆件的纵向变形量，但不能反映杆件的纵向(zn xin)变形程度。通常，对变形程度。通常，对于长为于长为l的杆段，若纵向的杆段，若纵向(zn xin)变形为变形为l，则平均单位长度的纵向，则平均单位长度的纵向(zn xin)变形为变形为（10-4）称之为杆段的平均线应变，用来描称之为杆段的平均线应变，用来描述杆件的纵向述杆件的纵向(zn xin)变形程变形程度。度。当当l0时，杆段成为一点，所取极限时，杆段成为一点，所取极限值，称为该点的线应变，用值，称为该点的线应变，用表示。表示。即有即有（10-5）对于轴力为常数的等直杆段，各横对于轴力

5、为常数的等直杆段，各横截面处纵向截面处纵向(zn xin)变形程度变形程度相同，则平均线应变与各点的线应相同，则平均线应变与各点的线应变相同。变相同。显然，杆件纵向显然，杆件纵向(zn xin)线应线应变的正负与纵向变的正负与纵向(zn xin)变形变形l的正负是一致的，因此的正负是一致的，因此为正时表示为正时表示拉应变，为负时表示压应变。线应拉应变，为负时表示压应变。线应变变是无量纲数，因此无单位，常用是无量纲数，因此无单位，常用小数、百分数或千分数来表示。小数、百分数或千分数来表示。lllll0lim第5页/共36页第六页，共36页。即横向(hn xin)线应变与纵向线应变恒异号。hh第6

6、页/共36页第七页，共36页。度，材料的变形(bin xng)可保持为完全弹性，称之为材料处于弹性状态。但若外力（或应力）超过了这个限度，材料的变形(bin xng)中就既包含弹性变形(bin xng)又包含塑性变形(bin xng)。第7页/共36页第八页，共36页。AlFlNEAlFlN第8页/共36页第九页，共36页。mmEAlFlABNAB4 . 1867061021021053511332517210101.02706.8610BCNBCFllmmEA mmEAlFlCDNCD6 . 086.70610210108053313334528010100.4290010DENDEFllm

7、mEA DECDBCABlllll第9页/共36页第十页，共36页。针对杆段，故具有更普遍的适用价值，被广泛应用于各种条件下受力构件内一点处的应力应变分析中。利用式（10-7），例10-2的解法可变更如下：先计算出各段应变EAFN/ll / 07 . 7 10 2 47 . 141 5 E AB AB 10 4 95 . 4 10 2 99.03 5 E BC BC 10466. 510218.1135ECDCD10444. 410289.885EDEDE再计算(j sun)全杆变形DECDBCABlllllmmllllDEDECDCDBCBCBCABAB4 . 11011044. 41011

8、066. 51021095. 41021007. 7 34343434计算结果与例10-2完全相同。第10页/共36页第十一页，共36页。解：解： 柱子横截面为定值，故其单位长度的重力相等，都为柱子横截面为定值，故其单位长度的重力相等，都为AA，即重力沿柱子轴线均匀分布。在距柱顶为，即重力沿柱子轴线均匀分布。在距柱顶为x x的横截面上，轴力为的横截面上，轴力为Ax Ax ，是，是x x的一次函数，即：的一次函数，即：FNFN（x x）AxAx说明柱子横截面上轴力沿杆轴线是非均匀分布的，越往下轴力越大，呈线性增加。故不能用式（说明柱子横截面上轴力沿杆轴线是非均匀分布的，越往下轴力越大，呈线性增加

9、。故不能用式（10-610-6）来计算）来计算(j sun)(j sun)全柱的变形值。全柱的变形值。在在x x的横截面处取一微段的横截面处取一微段dxdx分析。由于其长度很微小，可认为在此微段上轴力不变，恒为分析。由于其长度很微小，可认为在此微段上轴力不变，恒为FNFN（x x）。故可用式（）。故可用式（10-610-6）计算）计算(j sun)(j sun)该微段的纵向变形该微段的纵向变形(dx)(dx)。由于变形微小，数学上要用微分。由于变形微小，数学上要用微分d d（dxdx）代替）代替（dxdx），即），即全柱的纵向变形全柱的纵向变形HH为在全柱上的定积分，即为在全柱上的定积分，即其

10、中，负号表示变形值为缩短量。其中，负号表示变形值为缩短量。xdxEEAAxdxEAdxxNdxd)()(20()2HHHHd dxxdxEE 第11页/共36页第十二页，共36页。学性质，是无量纲数。|第12页/共36页第十三页，共36页。对试样、试验条件和试验方法做出了规定。第13页/共36页第十四页，共36页。设圆截面(jimin)试样的工作段长度为l，直径为d，则l=10d 的试样为长试样，l=5d的为短试样。设矩形截面(jimin)的工作段长度为l，横截面(jimin)面积为A，则l=11.3A的试样为长试样，l=5.65 A的为短试样。把制备好的试样两端装夹在万能材料试验机的上下夹头

11、里，开动机器缓慢(hunmn)而均匀地加载，使试样产生轴向拉伸变形，直到拉断为止。第14页/共36页第十五页，共36页。F-曲线所记录的数据与试样的尺寸大小有关。为了反映材料本身的力学性能，应消除尺寸因素。为此，将横坐标上各点的l值除以l，得到试样在相应时刻的纵向线应变值。同时(tngsh)，把相应的拉力值除以试样原始横截面积，得到相应时刻试样横截面上的名义正应力值。如此可绘出拉伸过程材料的-曲线，如图10-7b，称为试样材料的拉伸应力应变图。装配了电脑的试验机可直接自动绘出- 曲线。第15页/共36页第十六页，共36页。性(tnxng)模量：tan 点a所对应的应力(yngl)，是应力(yn

12、gl)与应变成正比例关系的最高应力(yngl)，它就是前面所说的材料比例极限P。当应力(yngl)超过比例极限P后，应力(yngl)与应变不再是直线关系。但在图示b点以下，变形仍保持完全弹性，即解除拉力或说释放应力(yngl)后，变形将完全消失。b点所对应的应力(yngl)，是材料保持完全弹性的最高应力(yngl)，称为材料的弹性极限，用e表示。由于Pe，所以工程上并不严格区分它们，都笼统地称之为弹性极限。第16页/共36页第十七页，共36页。服低限。屈服高限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。屈服低限则比较稳定，能够反映材料的基本(jbn)特性。因此，通常将屈服低限称为材料

13、的屈服极限，用s表示。经表面抛光处理的试样，在屈服阶段其表面上会出现一组较为明显的与试样轴线大致成45的斜纹，如图10-8所示。这是由于试样在轴向拉伸(l shn)时，在与杆轴成45倾角的斜截面方向产生了较大切应力，从而使钢材内部原子晶格沿该斜截面产生剪切位移，使试样形成一组剪切滑移面。正因为此，这些斜纹又称为滑移线。第17页/共36页第十八页，共36页。可以明显看到试样的横截面尺寸在缩小。第18页/共36页第十九页，共36页。段。第19页/共36页第二十页，共36页。%1001lll%1001AAA第20页/共36页第二十一页，共36页。第21页/共36页第二十二页，共36页。如里拉到强化阶

14、的某一时刻卸载至零后不立即再拉，而是放置一段时间后再拉，则其比例极限、“屈服(qf)”极限还会进一步提高（如图中k2fgh实线所示），塑性则进一步降低。这种现象叫时效硬化（自然时效）。时效硬化与卸载后放置进间长短有关，也可通过加热来加速时效缩短时间（人工时效）。第22页/共36页第二十三页，共36页。的曲线如图1010中实线所示（图中虚线为同种钢材拉伸时的曲线）。变形过程可以分成三个阶段：弹性阶段（O-a-b，其中a点应力为比例极限p，b点应力为弹性极限e）、屈服阶段（b-c，其首次下降之后的最低应力为屈服极限y）和强化阶段（c-d）。进入强化阶段后，试样被压得越来越扁，横截面面积越来越大，抗

15、压能力(nngl)也不断提高。加之计算应力时仍采用原来横截面面积，因而曲线呈向上无限延伸趋势。这说明235钢压缩时不存在强度极限。235钢压缩时不存在颈缩现象，因此比拉伸时少了一个颈缩阶段。235钢压缩时的曲线与拉伸时的曲线在弹性阶段和屈服阶段吻合，说明235钢压缩时的弹性模量E、比例极限p（或弹性极限e）及屈服极限y等都与拉伸时相同。pp， ee yy因此，对235钢，无需做压缩试验，也能从拉伸试验结果了解到它在压缩时的力学性能。同理，235钢的设计抗压强度也由受压屈服极限y确定。显然，在相同可靠度时，235钢的设计抗压强度设计抗拉强度。第23页/共36页第二十四页，共36页。图10-11从

16、图10-11中可以看出，灰口铸铁拉伸、压缩(y su)时的曲线都没有明显的直线部分，也不能划分出变形阶段。不过，在应力较小的情况下，可近似地用切线或某一割线来代替曲线，从而使应力-应变关系符合胡克定律。当弹性模量取切线的斜率Etan时，称为切线弹性模量。当弹性模量取割线的斜率Etan时，称为割线弹性模量。从图10-11a知，铸铁受拉试样直到拉断时应力都很小，伸长率也很小（0.45）。因此，铸铁是脆性材料的代表。试验还表明，铸铁受拉直到拉断为止，其变形都基本上属弹性变形，残余变形很小。从图10-11b知，铸铁受压破坏时的应力和变形都比受拉破坏时的大得多，受压强度极限（6401300MPa）比受拉

17、强度极限（98390MPa）高达45倍，压缩(y su)极限变形（伸长率约5）比拉伸极限变形高达10倍以上。因此，铸铁适宜作受压构件。试验还表明，铸铁受压破坏时沿与试样轴线成4555角的斜截面发生错断剪切破坏，这说明铸铁抗剪能力比抗压能力低。灰口铸铁这类脆性材料的拉伸、压缩(y su)破坏都是突然性的，事先没有预兆，这种破坏称为脆性破坏。其破坏的标志就是断裂，因此其设计抗拉、抗压强度值由强度极限值来确定。工程上应尽量避免结构发生脆性破坏，以减少生命与财产损失。第24页/共36页第二十五页，共36页。图图10-12第25页/共36页第二十六页，共36页。图10-13第26页/共36页第二十七页，

18、共36页。试验(shyn)还表明，砌体的抗压强度比抗拉强度、抗剪强度都高，最宜于作受压构件。图10-14第27页/共36页第二十八页，共36页。图10-14第28页/共36页第二十九页，共36页。第29页/共36页第三十页，共36页。第30页/共36页第三十一页，共36页。对于轴向拉压等直杆，如果全杆最大轴力对于轴向拉压等直杆，如果全杆最大轴力为为FNmax，则全杆的最大工作应力为，则全杆的最大工作应力为max FNmaxA，故其强度条件可写，故其强度条件可写为为maxFNmaxA （10-12）计算时，轴力和应力都用绝对值，拉或压计算时，轴力和应力都用绝对值，拉或压由直观确定。由直观确定。

19、第31页/共36页第三十二页，共36页。minA/4minA 第32页/共36页第三十三页，共36页。图10-15解： 由于考虑自重作用，砖柱轴力不是均匀分布，而是上小下大。FNA145kN，FNB（FAH）（145180.4921）149.3kN。作出柱的轴力图如图10-15b。显然，柱的绝对最大压力(yl)位于柱底：FNmax149.3kN。柱为等直杆，故绝对最大压应力也在柱底，为maxFNmaxA149.3103（490490）0.622Nmm2该柱强度满足要求。 第33页/共36页第三十四页，共36页。图10-16解：解： （1 1）求）求BCBC杆的轴力杆的轴力 从图中可知，从图中可

20、知，BCBC杆是二力杆。因此，可拆开铰杆是二力杆。因此，可拆开铰A A，切断，切断(qi dun)(qi dun)杆杆BCBC，取，取ABAB分析，受力图如图分析，受力图如图10-16b10-16b。由由ABAB平衡得：平衡得：MAMA0 0FNBC sin30FNBC sin302+122+121 10 0解得解得FNBCFNBC12kN12kN。（2 2）若拉杆）若拉杆BCBC用圆木杆，求所需直径用圆木杆，求所需直径 因因FNBCFNBC12kN12kN，11MPa11MPa，故由式（，故由式（10101212）得）得AminAminFNBCFNBC121210310311111090.9

21、1mm21090.91mm2于是，最小直径为于是，最小直径为dmindmin37.3mm37.3mm考虑到加工实际和建筑模数要求，取设计考虑到加工实际和建筑模数要求，取设计(shj)(shj)直径直径d d40mm40mm。（3 3）若拉杆）若拉杆BCBC用角钢，选择角钢型号用角钢，选择角钢型号同理，将同理，将FNBCFNBC12kN12kN，215MPa215MPa代入式（代入式（9 91212）得）得AminAminFNBCFNBC121210310321521555.81mm255.81mm2查附录型钢表中查附录型钢表中“热轨等边角钢热轨等边角钢”知，可选知，可选50506 6，因，因A A选选56.88mm25