[高二数学]选修4-1第二讲_直线与圆的位置关系

1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级*选修4-1几何证明选讲第二讲直线与圆的位置关系2.1 圆周角定理一.圆周角定理圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。已知 在O中，BC所对的圆周角和圆心角分别是BAC, BOC. 求证：BAC= BOC. ABOCABOC(1)(2)ABOC(3)ABOC(1)ABOC(2)ABOC(3)(1)圆心O在BAC的一条边上.OA=OC, C =BAC BOC =C +BACBAC=BOC.(2)圆心O在BAC的内部.作直径AD.由(1)有BAD=BOD,DAC=DOCBAD+DAC= =(BOD+DO

2、C)BAC=BOC.(3)圆心O在BAC的外部.作直径AD.由(1)有DAB=DOB,DAC=DOCDAC-DAB= =(DOC-DOB)BAC=BOC. 一个周角是360.把圆周等分成360份，每一份叫做1的弧. 1的弧是指任何一个圆来说的,跟圆的半径的大小无关. 如图, AOB=90,所以AB是90的弧,AB也是90.都是周角的四分之一.但AB并不等于AB,因为它们所在圆的半径不等.故相等的弧和相等度数的弧意义是不同的.圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;

3、90的圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的圆周角也相等.例1 如图,AD是ABC的高,AE是ABC的外接圆直径.求证:ABAC=AEAD. 证明:连接BE.ABAC=AEAD.ABCEDO例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P. 求证:AD的度数与BC的度数和的一 半等于APD的度数.DACBPE证明:过点C作CE/AB交圆于点E,则有AE=BC, ( ? )DAE=DA+AE=AD+BC, 又DCE的度数等于DAE的一半 APD的度数等于AD的度数与BC的度数和的一半.ABE=BEC习题2.1(P26)1.如图,OA是O的半径,以OA为直径的C 与O的弦AB

4、交于点D,求证:D是AB的中点.2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CDAB,垂足D,且CD=6cm.求AD的长.3.如图,BC是O的直径, ADBC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交于E.求证:AE=BE.ABDOCACBDOBCADEF(第1题)(第2题)(第3题)E2.2 圆内接四边形的性质圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢? 一般地, 任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?DABC

5、如图（1）连接OA,OC.则B= . D=定理1 圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图21DABCE（2）定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。假设：四边形ABCD中，B+D=180求证：A,B,C,D在同一圆周上简称四点共圆.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在O外部。那么12AEC+B=180因B+D=180得 D=AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在O内部。那么B+E=180B+ADC=180E=ADC同样矛盾。点D不可能在O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互

6、补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法-穷举法推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. DABCE例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与点F.ACDEBF证明：连接ABBAD=E. BAD+F=180 E+F=180 CE/DF . 求证：CE/DF.四边形ABEC是 的内接四边形。 四边形ADFB是 的内接四边形。 例2 如图，CF是ABC的AB边上的高，FPBC,FQAC.求证：A,B,P,Q四点共圆AFBPQC证明：连接PQ

7、。在四边形QFPC中，FPBC FQAC.FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。QFC=QPC.又CFAB QFC与QFA互余.而A与QFA也互余.A=QFC.A=QPC.A,B,P,Q四点共圆习题2.21.AD,BE是ABC的两条高，求证：CED=ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。CABEDo3.如图，四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分E,且与BC,AD分别相交于F,G. 求证： CFG=DGF.ABEFGDC2.3 圆的切线的性质圆与直线的位置关系:相交-有两个公共点相切-只有一个公共点相离-没有公共点切线的性质定理:O切线的

8、性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM因“垂线段最短,故OAOM,即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.那么在RtABO中OBOA=r故B在圆外例1 如图,AB是O的直径, O过BC的中点D,DEAC.求证:DE是O是切线.证明:连接OD. BD=CD,OA=OB,OD是ABC的中位线,OD/AC.又 DEACDE

9、C=90ODE=90又D在圆周上,DE是O是切线.AOBDCE例2 如图. AB为O的直径,C为O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分DAB.ABOCD证明:连接OC, OCCD.又ADCD,OC/AD.由此得 ACO=CAD.OC=OA. CAO=ACO. CAD=CAO.故AC平分DAB.CD是O的切线,习题2.31.如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与O相切.E2.:OA和OB是O的半径,并且OAOB,P是OA上任意一点,BP的延长线交O于Q.过Q作O的切线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQA

10、QO= APQ3.AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是O的切线.AOBCD1324COD与COB全等思考:当P由圆内移动到圆外是,有何结论?BC与AD的度数差的一半等于APD的度数.DACBPAD的度数与BC的度数和的一半等于APD的度数.DACBPEAB与CD相交于圆内一点P.证明: ACD= AD P= BAC- ACP即APD的度数等于 BC与AD度数的一半.圆内角定理:且BAC= P+ ACPCAB= BC2.4 弦切角的性质在图中，根据圆内接四边形性质， 有在图中，是切线时， 仍成立吗？猜测：ABC是O的内接三角形，CE是O的切线，那么BCE= A

11、.分析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。OCOCOC(1)圆心O在 ABC的边BC上证明:即ABC为直角三角形ABOCECE为切线， BCE90 又A是半圆上的圆周角， A90 BCEA(2)圆心o在ABC的内部作o的直径CP,那么OCPPCE= PAC= 90 BCE= PCE-PCB= 90-PCB.BAC= PAC-PAB= 90-PAB.而PAB= PCBBCE= BAC(3)圆心0在ABC的外部,作O的直径CP,那么 OCPPCE= PAC= 90 BCE= PCE+PCB = 90+PCB.BAC=

12、PAC+PAB = 90+PAB.而PAB= PCBBCE= BAC综上所述，猜测成立。AAAAABBBBBCCCCC下面五个图中的BAC是不是弦切角？1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。几何语言: BA切O于AAC是圆O的弦2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。DBAC= ADCm例1.如图AB是O的直径,AC是弦,直线CE和O切于点C,ADCE,垂足为D.求证:AC平分BAD.OABCDE12思路一:思路二: 连结OC,由切线性质,可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可证得1=2OABCDE3121.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边

13、与圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的或所对的同一条弧或等弧联系起来，因此，当有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。 2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.小结：注意：习题2.41.如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。求证：ATC=TBC2.如图，O和O都经过A,B两点，AC是O的切线，交O于点C,AD是O的切线，交O于点D,求证：AB=BCBDACTBBACOOD2.5 与圆有关的比例线段探究1:AB是直径,CDAB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?PAPB=PCPD1.相交弦定理 圆内的两条相交

14、弦，被交点分成的两条线段长的积相等。ACBPDOCABPDOACBPDOA(C.P)BD探究2:把两条相交弦的交点P从圆内 运动到圆上.再到圆外，结论 是否还能成立?PAPB=PCPDP在圆外:易证PADPCB 故PAPB=PCPDP在圆上:PA=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证PACPDA 上式可变形为PA=PCPD3.切割线定理 从圆外一点引圆的切

15、线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.故PAPB=PCPD仍成立因为A,B重合，探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?A(B)PODC易证RtOAPRtOCP. PA=PC4.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC(D)PA=PCPD思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?O例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,PA=PB=4.PC= PD,求CD的长. CDABP解:设

16、CD=x,则PD= ,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得 x=10,CD=10例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF/CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)DFEEFA; (2)EF=FG ABCOFGED321DFEEFAEF=FAFD又GF=FAFDGF= EFEF=FG例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PDPABDC析：PC=PAPB又PD=PAPBPC= PDPC=PD例4.如图,AB是O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:ACAD+BCBE=AB.ABDE

17、COF分析:A,F,C.E四点共圆BCBE=BFBA.F,B,D,C四点共圆ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB例5.如图,AB,AC是O的切线,ADE是O的割线,连接CD,BD,BE,CE.BAECOD问题1 由上述条件能推出哪些结论?探究1: ACD= AECADC ACE CDAE=ACCE 同理 BDAE=ABBE 因为AC=AB,由 可得 BECD=BDCE 图探究2: 猜测并可证明问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?BAECOD图BAECODFG图ADC AC

18、E 同样可得证明如下:BAECODFG图AB=ADAE,而AB=AC,AC=ADAE,即CAD= EAC,(对应边成比例且夹角相等). ADC ACE 另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆 CFG= AEC,又ACF= AEC, CFG= ACF, FG/AC BAECODFG图问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?BAECODFG图P探究3: 可以推出16的所有结论。BAECODQG图P此外AC/DG.ADCE=AECG ACD AECACCD=ADCE 由可得：ACCD=AECG 连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,那么PCQ= PGD= DBE,故C,E,B,Q四点共圆 习题2.55.如图, O与O相交与点A,B.PQ是O的切线,求证:PN=NMNQQNPOOABM6.如图,PA是O的切线, M是PA的中点,求证:MPB=MCPMA=MBMC=PMMBPP