债券合成、选择与套利

1、4. 债券合成、选择与套利债券合成、选择与套利byHonglin Yu UIBE School of Banking & Finance 1主要内容n债券合成n债券选择n获取套利机会n构造债券组合n债券价格的时间效应2债券合成n债券合成的基本思想n债券合成的关键n每期的现金流量相等n风险相等，否则需用利差来调整n本章都假定各债券的风险相等。3债券合成n债券合成n合成方法一：零息债券组合=附息债券n合成方法二：零息债券+年金债券=附息债券n合成方法三：附息债券组合=零息债券n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券4债券合成n合成方法一：零息债券组合=附息债券n利用折现因子，一个n期的

2、附息债券可以表示为：ntttdCP105债券合成n合成方法二：零息债券+年金债券=附息债券n利用折现因子和折现方程，一个n期的附息债券可以表示为：nzeronttdCdCP106债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n思考：如何利用附息债券组合来合成零息债券呢？nnn7债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n例：用三种附息债券合成零息债券，具体情况如下表：时点现金流量债券A债券B债券C零息债券0-P-100.47-114.16-119.31-95.951C1510151002C251011503C3105110008债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n构造一个债券组合（A

3、+B+C),确定每种债券的数量NA,NB和NC，使得债券组合的每期现金流量等于零息债券相应时点上的现金流量： 时点1：5NA+10NB+15 NC =100 时点2：5NA+10NB+115 NC =0 时点3：105NA+110NB+0 NC =0 9债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n计算结果：NA=-25.3; NB=24.15; NC=-1.n特点：n需要卖空；n债券数量不一定为整数。10债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n构造合成债券的一般方法：1111122222:.:.:.AABBQQAABBQQNAANBBNQQNNTN CN CN CWTN CN CN C

4、WTN CN CN CW11债券合成n合成方法三：附息债券组合=零息债券n注意：n如果QN, 可能存在多种组合，可以用最优化的方法来求取债券组合中各种债券的数量。12债券合成n债券合成的用途：n债券的定价；n债券的选择；n获取套利机会。同一回事13债券选择n思考：如何选择以下三种债券呢？债券面值票面利率期限付息次数价格11008%10每年1次117.8321006%10每年1次103.6431004%10每年1次87.4614债券选择n选择方法一：基于到期收益率来进行选取债券面值票面利率期限付息次数价格到期收益率11008%10每年1次117.835.62%21006%10每年1次103.64

5、5.52%31004%10每年1次87.465.68%15债券选择n选择方法一：基于到期收益率来进行选取n基于到期收益率来进行选取的方法存在什么问题？n各种债券每期的现金流量并不相同；n再投资收益不同。16债券选择n选择方法二：基于持有期收益率来进行债券选取109010109110101011100(1)(1).(1)(1)1tttPHPRPCCiCiPCiHPRP17债券选择n选择方法二：基于持有期收益率来进行债券选取n基于持有期收益率来进行债券选取，需要：n确定再投资收益率。n当未来的再投资收益率未知时，可模拟各种可能的再投资收益率来进行债券选取。18债券选择n选择方法二：基于持有期收益率

6、来进行债券选取n假定有三种可能的再投资收益率：n应选取那种债券？n可肯定排除债券2，但债券1和债券2 之间的选择则取决于未来的再投资收益率。债券再投资收益率4%6%8%15.225.726.2425.205.626.0735.405.736.0919债券选择n选择方法二：基于持有期收益率来进行债券选取n方法二优于方法一，但存在的问题是？n再投资收益率是不确定的。20债券选择n选择方法三：基于债券合成方法进行债券选取n例子同上：债券面值票面利率期限价格11008%10117.8321006%10103.6431004%1087.4621债券选择n选择方法三：基于债券合成方法进行债券选取n用年金债

7、券和零息债券合成附息债券：10101117.838100387.464100dd10tt=110tt=1债券 ： d债券 ： d22债券选择n选择方法三：基于债券合成方法进行债券选取n用年金债券和零息债券合成n可计算得出：107.59250.5709d10tt=1d23债券选择n选择方法三：基于债券合成方法进行债券选取n用年金债券和零息债券合成n用计算结果可得出债券2的相对价格相对价格为：210210261006100102.645PdPdP10tt=110tt=1dd24债券选择n方法三：基于债券合成方法进行债券选取n用年金债券和零息债券合成n相对于债券1和债券3而言，债券2的价格被高估：2

8、2102.465103.64PP25债券选择n思考： 当债券组合的到期日不完全相同时，如何通过相对定价来进行债券选择？nnn26债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n通过引入远期利率来为期限不同的债券进行相对定价。27债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n比如上例，其他条件不变，但债券2的期限为11年，如何通过债券1和债券3 给债券2进行定价？债券面值票面利率期限11008%1021006%1131004%1028债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n已知，当债券2的期限为10年时，价格为：n当债券2的期限为11年时，价格

9、为：2106100Pd10tt=1d2116106Pd10tt=1d未知的折现因子29债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11为：远期利率)1 (11_1011ttfdd30债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：tt+1债券A债券Btt+0.5t+131债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：n花1元钱购买债券A，持有时间从t到t+1；假如把t到t+1的时间长度平分为两段，每段的平均收益为y, 则收益为：25 . 01_1_5 . 0

10、5 . 0_1_)1 (1)1 (1)1)(1 (1)1 (1yyyyytttttttt32债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：n花1元钱购买债券B，持有时间从t到t+0.5，在t+0.5到t+1期间则可以获得再投资收益，假定再投资收益率等于远期利率，则收益为：)1)(1 (11_5 . 05 . 0tttfy33债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：n花1元钱购买债券B获得的收益应该等于在同样的时间段内花1元钱购买债券A所获得的收益：25 . 01_5 . 05 . 0)1

11、(1)1)(1 (1yfyttt34债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：25 . 01_5 . 05 . 025 . 01_5 . 05 . 0)1 ()1 ()1)(1 ()1 ()1 (1)1)(1 (1yyfyyyfytttttttttt35债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：11_5 . 05 . 025 . 01_5 . 05 . 0)1 (1)1 ()1 (1)1 (1)1 ()1 (1tttttttttttdfdyyfyy36债券选择n合成方法四：年金债券+零息

12、债券+远期利率=附息债券n时点11上的折现因子d11的推导：)1 (1)1 (11_10111_1ttttttfddfdd可以通过远期协议得到37债券选择n合成方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n当债券2的期限为11年时，相对价格相对价格为：377.102%)5 . 61 (15709. 01065925.67)1 (110662211_10101012PPfddPtt38债券选择n方法四：年金债券+零息债券+远期利率=附息债券n由于债券2的相对价格相对价格和当前价格，因此债券2相对于债券1和3来说被高估：225 .103377.102PP39债券选择n思考：n1.如果债券2的期限

13、是12年，如何选择？债券面值票面利率期限11008%1021006%1231004%1040债券选择n思考：n要做出选择，同样要对债券2进行相对定价：12111012121212106661006dddPddPtttt41债券选择n思考：n其中：)1)(1 (1111112_1111_101012_11111211_101011ffdfddfdd42债券选择n思考：n2.如果债券2的期限是9年，如何选择？债券面值票面利率期限11008%1021006%931004%1043债券选择n思考：n同样对债券2进行相对定价：91010129912100661006dddPddPtttt44债券选择n思

14、考：n其中：)1 (1110_910910_9910fddfdd45构造债券组合n构造债券组合n构造债券组合其实和债券合成没有本质区别。n构造债券组合的要点仍然是：在相同的风险条件下，构造出债券组合的现金流等于所要求的现金流。n构造债券组合必须要考虑支付成本问题。n构造债券组合通常和寻找套利机会紧密相连。46构造债券组合n构造债券组合n例：假如你是退休基金账户管理人，基金账户规模为11000万元。你在未来四年内需要支付的金额如下表所示，你如何配置资产组合？（单位：万元）时点1234需支付的资金020004500800047构造债券组合n构造债券组合n资产配置策略：n1、为避免未来的支付风险，须

15、建立精确组合；n2、为获取较高收益，其余资金可以购买收益较高的风险资产。48构造债券组合n构造债券组合n具体而言，只要构造一债券组合，其现金流满足未来支付的要求即可。方法可有多种：n方法一：用零息债券组合构造；n方法二：用附息债券组合构造；nn49构造债券组合n构造债券组合n方法一：利用零息债券构造债券组合。n已知零息债券的折线因子时点1234折线因子0.90910.8000.71430.625050构造债券组合n构造债券组合n方法一计算结果：时点需支付的现金流零息债券面值折线因子零息债券数量成本0-9814.35万101000.90910022000万1000.80020万1600万3450

16、0万1000.714345万3214.35万48000万1000.625080万5000万51构造债券组合n构造债券组合n方法二：利用其他附息债券构造债券组合。n已知其他附息债券的现金流量如下：01234A-98.08941111111B-99.0805121212112C-104.4055101215120D-106.69403535353552构造债券组合n构造债券组合n方法二构造方法：n构造一债券组合，使得资产组合的现金流量等于负债的现金流量。800035120112:4500351512111:200035121211:035101211:4321DCBDCBADCBADCBANNNT

17、NNNNTNNNNTNNNNT53构造债券组合n构造债券组合n方法二计算结果：价格债券数量成本A98.0894-5-490.44B99.0805-1020.55-101116.60C104.40551000104405.50D106.694065.767016.209814.6654构造债券组合n构造债券组合n比较方法一和方法二，你会选择哪一种？n在满足现金流的条件下，应选择支付成本较小的方式。55构造债券组合n构造债券组合n例：有三种无风险债券，其现金流如图所示（不能卖空）：012A-90100B-750100C造债券组合n构造债券组合n问题1、是否存在一组折线因子

18、，与上述价格相对应？ 即是否存在一组折线因子，满足： 显然，并不存在这样一组折线因子。21211001001551007510090dddd57构造债券组合n构造债券组合并且，依据债券A和债券B，可以给债券C进行相对定价：可得出，债券C被低估。CCBAPddPddPddP15516510010075. 0100759 . 01009021221158构造债券组合n构造债券组合n问题2、张三想构造一组合，该组合在时点1产生200的现金流量，在时点2产生100的现金流量。他应如何选择？n方法1：A+C，成本为245；n方法2：2A+B，成本为255。59构造债券组合n构造债券组合n问题3.1、张三

19、为让组合在时点1多产生100的现金流，那么额外增加100的现金流的收益率是多少？（不允许卖空）n时点1：应该再持有1张债券A,价格为90，收益率为：%11.11,100)1 (9011yy60构造债券组合n构造债券组合n问题3.2、如在额外增加的现金流发生在时点2，则情况又如何？n在时点2增加100元的现金流，则方法有： 增加1张债券B，价格为75； 出售债券A，然后购买债券C，支付成本为65，收益率为：%03.24100)1 (65222yy61构造债券组合n构造债券组合n问题4、李四想构造另一债券组合，该组合在时点1产生100的现金流，在时点2产生200的现金流，他如何选择，支付成本如何？

20、n选择一：B+C，成本230；n选择二：A+2B，成本240。62构造债券组合n构造债券组合n问题5.1、李四想让组合在时点1多产生100的现金流，那么额外增加现金流的收益率是多少？n在时点1增加100元的现金流，则方法有： 增加1张债券A，价格为90； 出售组合中债券B，然后购买债券C，支付成本为80，收益率为：%25100)1 (8011yy63构造债券组合n构造债券组合n问题5.2、如额外增加的现金流发生在时点2，则情况又如何？n在时点2增加100元的现金流，则方法有： 增加1张债券B，价格为75，收益率为；%47.15100)1 (75222yy64构造债券组合n构造债券组合n问题6、

21、额外增加的现金流相等，但张三和李四的收益率为什么存在很大差别？n组合中的债券构成不同；nC债券的相对定价较低；n相对定价较低债券C所占的比重存在差别。65构造债券组合n构造债券组合n最优债券组合最优债券组合的构造n最优债券组合为满足每一时点的现金流量要求，并且支付成本最小。n尽量将相对定价较低的债券纳入组合中，这样可以获取较高的收益率。n前提：风险相等。66构造债券组合n构造债券组合n例：已有5种债券，如何构造最优债券组合？价格现金流量买入价卖出价123A94.3292.81100B91.4189.97100C87.6585.14100D109.02106.0788108E113.70111.

22、9012112要求现金流量5020016067构造债券组合n构造债券组合n最优债券组合的构造0,160)(108)(100200)(112)(8)(10050)(12)(8)(100.)9 .11107.10614.8597.8981.92()7 .11302.10965.8741.9132.94(.EbEaDbDaCbCaBbBaAbAaDbDaCbCaEbEaDbDaBbBaEbEaDbDaAbAaEbDbCbBbAbEaDaCaBaAaNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNstNNNNNNNNNNZMin68构造债券组合n构造债券组合n计算结果：0.48. 1;88. 1;

23、38. 0;48.369其余为DaBaAaNNNZ69套利机会n套利机会的寻找n例：假定到期收益率曲线向下倾斜，有效的年收益率如下：y1=9.9%,y2=9.3%,y3=9.1%。已知三年期，票面利率为11%的债券的价格为102。问：n是否存在套利机会？n如何得到这一机会？70套利机会n套利机会的寻找n提示：需计算债券的相对价格；需要构造债券组合。71套利机会n套利机会的寻找n答案：n1、三年期债券的相对价格为：n因此，存在套利机会。PPP10269.104%)1 . 91 (111%)3 . 91 (11%)9 . 91 (113272套利机会n套利机会的寻找n答案：n2、构造组合，买低卖高

24、，获取无风险收益： 卖空三个零息债券组合，该组零息债券组合的现金流量与所购买的低估债券的现金流量一致。得到104.69元； 购买被低估的债券，支付102元； 无风险收益为2.69元。73套利机会n套利机会的寻找n例：有无风险债券A，B和C，现金流量如下表所示。问：n是否存在套利机会？n如何获得2元的无风险收益？0123A-2.24111B-1.6101C-0.7401074套利机会n套利机会的寻找n1、该题的方法有多种，最简便的一种是构造一个债券组合A-B：n显然存在套利机会。0123A-2.24111B-1.6101A-B-0.64010C-0.7401075套利机会n套利机会的寻找n2、2

25、元无风险收益的获取：购买一个债券组合A-B，卖空一张C债券，就可以获得0.1元的无风险收益。把该交易放大20倍，即可得到2元无风险收益：0123A-B-0.64010C-0.7401076套利机会n套利机会的寻找n例：有四个无违约风险的债券，其价格和现金流量如下表所示。问：是否存在套利机会?如果存在，如何实现无风险收益？0123A-100.21010110B-93100C-92.855105D-110151511577套利机会n套利机会的寻找n解答：n首先需要给债券进行相对定价； 思考：根据已知条件，可用哪种方法来进行相对定价？78套利机会n套利机会的寻找n解答：n利用折线方程：93. 01009311ddPB79套利机会n套利机会的寻找n解答：n利用折线方程：84. 0105585.92221dddPC80套利机会n套利机会的寻找n解答：n利用折线方程：75. 0110101002.1003321ddddPA81套利机会n套利机会的寻找n解答：n利用折线方程：n存在套利机会。DDDPPdddP1108 .112115151532182套利机会n套利机会的寻找