半导体器件模拟

1、半导体器件模拟半导体器件模拟n一、器件模拟技术和概念与发展简况一、器件模拟技术和概念与发展简况 n二、与基本半导体方程组相关物理参数二、与基本半导体方程组相关物理参数n三、三、 半导体基本方程组的求解问题半导体基本方程组的求解问题 ( (一一) )、基本方程组因变量的选取、基本方程组因变量的选取 (二)、基本方程的归一化 （三）基本方程的定义域及边界条件（三）基本方程的定义域及边界条件 ( (四四) )、基本方程的离散化、基本方程的离散化半导体器件模拟 n一、器件模拟技术和概念与发展简况一、器件模拟技术和概念与发展简况 器件模拟是根据器件的杂质分布剖面结构器件模拟是根据器件的杂质分布剖面结构,

2、 ,利利用器件模型用器件模型, ,通过计算机模拟计算得到半导体通过计算机模拟计算得到半导体器件终端特性。器件终端特性。 器件模拟是一项模型的技术，器件的实际特性器件模拟是一项模型的技术，器件的实际特性能利用这种模型从理论上予以模拟，因此它是能利用这种模型从理论上予以模拟，因此它是一种可以在器件研制出来之前予示器件性能参一种可以在器件研制出来之前予示器件性能参数的重要技术。数的重要技术。半导体器件模拟 器件模拟有两种方法：一种是器件模拟有两种方法：一种是器件等效电路器件等效电路模拟法；另一种是模拟法；另一种是器件物理模拟法器件物理模拟法。 (1)(1)器件等效电路模拟法是依据半导体器件器件等效电

3、路模拟法是依据半导体器件的输入、输出特性建立模型分析它们在电路中的输入、输出特性建立模型分析它们在电路中的作用，而不关心器件内部的微观机理，在电的作用，而不关心器件内部的微观机理，在电路模拟中常用这种方法。路模拟中常用这种方法。 (2)(2)器件物理模拟法则从器件内部载流子的器件物理模拟法则从器件内部载流子的状态及运动出发，依据器件的几何结构及杂质状态及运动出发，依据器件的几何结构及杂质分布，建立严格的物理模型及数学模型，运算分布，建立严格的物理模型及数学模型，运算得到器件的性能参数，这种方法能深刻理解器得到器件的性能参数，这种方法能深刻理解器件内部的工作原理、能定量分析器件性能参数件内部的工

4、作原理、能定量分析器件性能参数与设计参数之间的关系与设计参数之间的关系. . 半导体器件模拟n器件物理模拟技术是器件物理模拟技术是7070年代以后发展起来的，年代以后发展起来的，多年来相继出现了多种具体方法，主要有三种：多年来相继出现了多种具体方法，主要有三种： 有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 Monte CarloMonte Carlo法法 前二种是离散数值模拟法，是目前模拟常前二种是离散数值模拟法，是目前模拟常规半导体器件的主要方法，其中有限差分法是规半导体器件的主要方法，其中有限差分法是最早发展起来的，方法比较简单，容易掌握，最早发展起来的，方法比较简单，容易掌握，但是几何边界复

5、杂的半导体器件，用多维有限但是几何边界复杂的半导体器件，用多维有限差分法碰到较大的困难差分法碰到较大的困难; ;有限元法与有限差分有限元法与有限差分法相比，对区间的离散方法比较自由，容易适法相比，对区间的离散方法比较自由，容易适应复杂的器件边界。应复杂的器件边界。半导体器件模拟 第三种第三种Monte CarloMonte Carlo法是统计模拟法，它以载法是统计模拟法，它以载流子在器件中运动时的散射过程为基础，逐个跟流子在器件中运动时的散射过程为基础，逐个跟踪每一载流子的运动。踪每一载流子的运动。Monte CarbMonte Carb法的优点是能法的优点是能对器件的物理过程作深入了解，同时

6、不受器件维对器件的物理过程作深入了解，同时不受器件维数的限制，是目前模拟小尺寸半导体器件的最有数的限制，是目前模拟小尺寸半导体器件的最有力工具。它的缺点是计算冗繁，需要很多机时。力工具。它的缺点是计算冗繁，需要很多机时。 半半经经典方法典方法: :由于器件尺寸的小型化，出现了一些效由于器件尺寸的小型化，出现了一些效应，这些效应用经典的方法处理已不可能，需要对传应，这些效应用经典的方法处理已不可能，需要对传统的经典理论作一些修正，所以称半统的经典理论作一些修正，所以称半经经典方法。典方法。 量子理论模拟法量子理论模拟法: : 当半导体器件的尺寸进一步缩小当半导体器件的尺寸进一步缩小到小于到小于0

7、.1m0.1m时，需要考虑量子效应，相应的模拟方时，需要考虑量子效应，相应的模拟方法称为量子理论模拟法。法称为量子理论模拟法。 半导体器件模拟n 在离散数值模拟中，已经给出了一个数学模型，它可在离散数值模拟中，已经给出了一个数学模型，它可以精确分析一个任意的半导体，构成这个数学模型的以精确分析一个任意的半导体，构成这个数学模型的方程称为方程称为基本半导体方程基本半导体方程，可以从，可以从Max-wellMax-well方程组和方程组和半导体物理知识推出，它们是半导体物理知识推出，它们是 （3.1-13.1-1） （3.1-23.1-2） （3.1-33.1-3） （3.1-43.1-4） （3

8、.1-53.1-5） UGJdivqtpp1UGJdivqtnn1pgradqgradpqDJpppngradqgradnqDJnnn)(npNNqdivgradad半导体器件模拟n其中（其中（3.1-13.1-1）（）（3.1-23.1-2）为半导体连续性方程；）为半导体连续性方程；（3.1-33.1-3）（）（3.1-43.1-4）为半导体电流传输方程；）为半导体电流传输方程； （3.1-53.1-5）为泊松方程。在一维情况上方程组可写为：）为泊松方程。在一维情况上方程组可写为： （3.1-63.1-6） （3.1-73.1-7） （3.1-83.1-8） （3.1-93.1-9） （3.

9、1-103.1-10） UGxJqtpp1UGxJqtnn1xpqxpqDJpppxnqxnqDJnpn)(22npNNqxad半导体器件模拟n如果是一维模拟软件，只需解上方程组即可，如果是一维模拟软件，只需解上方程组即可，如方程中不含如方程中不含t t，即为零，则为，即为零，则为稳态分析稳态分析，含，含时间时间t t的方程求解为的方程求解为瞬态分析瞬态分析。当然也能相应。当然也能相应地求解二、三维方程组。地求解二、三维方程组。 MEDICI 就是二维就是二维器件模拟软件器件模拟软件.随着器件尺寸的不断缩小，三维随着器件尺寸的不断缩小，三维效应也愈来愈突出，所以三维模拟软件也应运效应也愈来愈突

10、出，所以三维模拟软件也应运而生。本章涉及的器件模拟定义为而生。本章涉及的器件模拟定义为n 由工艺模拟得到或自定义的杂质浓度分布由工艺模拟得到或自定义的杂质浓度分布输入到器件模拟程序，从电子和空穴的输运方输入到器件模拟程序，从电子和空穴的输运方程、连续性方程、泊松方程出发，解出器件中程、连续性方程、泊松方程出发，解出器件中的电势分布和载流子分布，从而得到器件的电势分布和载流子分布，从而得到器件I IV V等电特性。等电特性。半导体器件模拟n为了设计分析功率器件，除了求解半导体基本为了设计分析功率器件，除了求解半导体基本方程组外，通常还要模拟热电现象的相互作用，方程组外，通常还要模拟热电现象的相互

11、作用，因为在器件内温度及其分布的变化会显著地影因为在器件内温度及其分布的变化会显著地影响器件的电特性为此还需解热流方程。响器件的电特性为此还需解热流方程。其中，其中，和和c c分别为材料的质量密度和比热，在考虑实际分别为材料的质量密度和比热，在考虑实际器件应用时，可假定器件应用时，可假定和和c c对温度的依赖关系小到可以忽对温度的依赖关系小到可以忽略；略；K K（T T）和）和H H表示热导和局部产生的热，这些参量需要表示热导和局部产生的热，这些参量需要通过物理模型确定。如果对热的瞬态不感兴趣，可以假通过物理模型确定。如果对热的瞬态不感兴趣，可以假定温度对时间的偏微分为零。定温度对时间的偏微分

12、为零。 gradTTdivKHtTc)(半导体器件模拟n 基本半导体方程组（包括连续性、泊松等基本半导体方程组（包括连续性、泊松等方程）的理论基础是方程）的理论基础是漂移扩散理论漂移扩散理论模型，这是模型，这是目前器件物理的主流，已在常规器件的模拟或目前器件物理的主流，已在常规器件的模拟或CADCAD设计中达到实用化，本模型的基本假设有：设计中达到实用化，本模型的基本假设有： 多次碰撞假设：多次碰撞假设：载流子在外电场的漂移用漂移迁移载流子在外电场的漂移用漂移迁移率表示，载流子运动平均行为偏离用扩散系数表示。率表示，载流子运动平均行为偏离用扩散系数表示。它们都是电场它们都是电场E E的函数。这

13、里的含义是：无论电场变化的函数。这里的含义是：无论电场变化多快，载流子都能在新的电场值上达到新的平衡态，多快，载流子都能在新的电场值上达到新的平衡态，从而具有新的平均漂移速度和扩散系数，这就只有通从而具有新的平均漂移速度和扩散系数，这就只有通过载流子经受多次碰撞才能实现。过载流子经受多次碰撞才能实现。半导体器件模拟n多次碰撞假设要求载流子在器件特征尺寸之内（如多次碰撞假设要求载流子在器件特征尺寸之内（如MOSMOS栅长，栅长，PNPN结耗尽层宽度等）经受多次随机的碰撞。目结耗尽层宽度等）经受多次随机的碰撞。目前的超大规模前的超大规模ICIC、超高速、超高速ICIC和微波技术发展，已把器和微波技

14、术发展，已把器件的特征尺寸推到深亚微米乃至纳米级，件的特征尺寸推到深亚微米乃至纳米级，电子渡越电子渡越MOSFETMOSFET栅下沟道的时间可与电子平均自由时间比拟，栅下沟道的时间可与电子平均自由时间比拟，这时电子经多次碰撞达到动态平衡的条件就不成立。这时电子经多次碰撞达到动态平衡的条件就不成立。n 低场条件：低场条件：在漂移扩散模型中，在漂移扩散模型中，J Jn n、J Jp p的表达式和的表达式和爱因斯坦关系实际上是玻尔兹曼方程在低场假设条件爱因斯坦关系实际上是玻尔兹曼方程在低场假设条件下采用微扰法所得的近似解。如果器件有很强的不均下采用微扰法所得的近似解。如果器件有很强的不均匀电场、时间

15、上快速的场强变化，就使之与低场假设匀电场、时间上快速的场强变化，就使之与低场假设不相容。不相容。 半导体器件模拟n单能谷假设：单能谷假设：在漂移扩散模型中，使用平均漂移在漂移扩散模型中，使用平均漂移和扩散的概念描述电荷输运，没有涉及多能谷半导和扩散的概念描述电荷输运，没有涉及多能谷半导体的考虑。对于象体的考虑。对于象GaAsGaAs之类器件，多能谷输运现象之类器件，多能谷输运现象往往对器件的工作特性起决定性作用，以此模型就往往对器件的工作特性起决定性作用，以此模型就很难处理。很难处理。n 鉴于上述的局限性，目前发展了更高级理论及鉴于上述的局限性，目前发展了更高级理论及相应的模型，例如相应的模型

16、，例如玻尔兹曼输运理论玻尔兹曼输运理论，基于此理论，基于此理论的器件模型已构成迄今所有较精确的器件模拟研究的器件模型已构成迄今所有较精确的器件模拟研究的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡罗模拟，动的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡罗模拟，动量能量守恒，动量能量平衡模型等。更严格地处理量能量守恒，动量能量平衡模型等。更严格地处理超小器件的量子输运理论，仍是当前器件物理工作超小器件的量子输运理论，仍是当前器件物理工作者探索研究的课题。者探索研究的课题。半导体器件模拟n二、与基本半导体方程组相关物理参二、与基本半导体方程组相关物理参数数n 为了模拟器件内部性能，我们必须求解为了模拟器件内部性能，我们必

17、须求解上述的半导体基本方程组，为此首先要考虑上述的半导体基本方程组，为此首先要考虑与基本方程组联系的几个附加参数，例如迁与基本方程组联系的几个附加参数，例如迁移率移率pp、nn，由于电流同迁移率有正比的，由于电流同迁移率有正比的依赖关系，为了进行模拟，需要通过建立物依赖关系，为了进行模拟，需要通过建立物理参数模型，定量确定适用的、精确的迁移理参数模型，定量确定适用的、精确的迁移率值。实际上，半导体器件任何定量的，甚率值。实际上，半导体器件任何定量的，甚至定性的模拟，都取决于这些参数可适用的至定性的模拟，都取决于这些参数可适用的模型。为此本节将讨论最重要的物理参数模模型。为此本节将讨论最重要的物

18、理参数模型问题。型问题。半导体器件模拟1 1、载流子迁移率模型、载流子迁移率模型n 我们知道，载流子的迁移率涉及到晶格我们知道，载流子的迁移率涉及到晶格的热振动，离化杂质、中性杂质、定位、填的热振动，离化杂质、中性杂质、定位、填隙原子、位错，表面以及电子和空穴自身引隙原子、位错，表面以及电子和空穴自身引起的散射等微观机理。由于它们的相互作用起的散射等微观机理。由于它们的相互作用是极其复杂的，因而给出精确的模型是困难是极其复杂的，因而给出精确的模型是困难的。从另一方面讲，为了模拟的目的也不必的。从另一方面讲，为了模拟的目的也不必基于更复杂理论模型的更精确的公式，这样基于更复杂理论模型的更精确的公

19、式，这样可能导致计算机时的大幅度膨胀，失去模拟可能导致计算机时的大幅度膨胀，失去模拟的经济价值。所以目前已发表的用唯象表示的经济价值。所以目前已发表的用唯象表示式作为各种各样实验上观察到的迁移率现象式作为各种各样实验上观察到的迁移率现象的模型可以使用。的模型可以使用。 半导体器件模拟n 当然应根据不同的器件结构和工作环境当然应根据不同的器件结构和工作环境有选择性的使用。甚至还可以在一定条件下有选择性的使用。甚至还可以在一定条件下进行进一步简化，这样可以在能基本反映器进行进一步简化，这样可以在能基本反映器件性能的前提下节省运算时间。下面我们介件性能的前提下节省运算时间。下面我们介绍一些常用的迁移

20、率模型公式。绍一些常用的迁移率模型公式。 （1 1）在纯晶体中，载流子散射的最基本过程）在纯晶体中，载流子散射的最基本过程是载流子同晶体中原子热振动之间的相互作是载流子同晶体中原子热振动之间的相互作用。这些晶格振动是温度的函数，由所谓用。这些晶格振动是温度的函数，由所谓“声畸变势晶格散射声畸变势晶格散射”引起的迁移率的理论引起的迁移率的理论结果为：结果为：半导体器件模拟n （3.2-1)n n (3.2-2)n其中：其中：C C1 1是半导体的平均纵向弹性常数；它的数值为是半导体的平均纵向弹性常数；它的数值为10105 5VAScmVAScm-3-3量级；量级；EacEac和和EavEav分别

21、是导带和价带的畸变势分别是导带和价带的畸变势常数，它们的数值是几个常数，它们的数值是几个evev。因为硅和锗有多谷带结。因为硅和锗有多谷带结构，所以在晶格散射中有光学声子参加（在砷化镓中构，所以在晶格散射中有光学声子参加（在砷化镓中这个效应甚至起支配作用），迁移率的性能不能由这个效应甚至起支配作用），迁移率的性能不能由（3.2-13.2-1）（）（3.2-23.2-2）式正确地描）式正确地描写写能能带结构和光学声带结构和光学声子引起附加的散射结构。这些效应的详细讨论已超出子引起附加的散射结构。这些效应的详细讨论已超出本讲义范围。本讲义范围。 2/322/5*14)()(322KTEmCqhac

22、nLn2/322/5*14)()(322KTEmCqhavpLP半导体器件模拟n 为了模拟目的，人们通常用一个简单乘方律，它为了模拟目的，人们通常用一个简单乘方律，它的系数由拟合实验迁移率值得到：的系数由拟合实验迁移率值得到：n (3.2-3)(3.2-3)n (3.2-4) (3.2-4)n已发表的（已发表的（3.2-33.2-3）、（）、（3.2-43.2-4）式中的常数数值）式中的常数数值 、n n、p p显示出若干分散，这些不同来源的系数汇编在显示出若干分散，这些不同来源的系数汇编在 S.S.赛尔勃赫奥编的赛尔勃赫奥编的Analysis and Simulation Analysis

23、and Simulation of Semiconductor Devicesof Semiconductor Devices的表的表4.1-14.1-1晶格迁移率常晶格迁移率常数中，使用时可查找，这些数据的评价和推荐是相当数中，使用时可查找，这些数据的评价和推荐是相当困难的。困难的。nKTnLn)300(0pKTpLp)300(00n0p半导体器件模拟nSahSah等人已经发表了一个不同的模型，据称该等人已经发表了一个不同的模型，据称该模型能可靠地估计在模型能可靠地估计在4.24.2到到600K600K温度范围内温度范围内SiSi的迁移率值：的迁移率值：n (3.2-5)(3.2-5) (3

24、.2-6)(3.2-6)这个模型用简单的这个模型用简单的MathiessenMathiessen规则，将由声学声子引起规则，将由声学声子引起的理论上晶格迁移率同由光学以及谷间声子引起的迁的理论上晶格迁移率同由光学以及谷间声子引起的迁移率分量结合起来。移率分量结合起来。13.325 .12)300(21531)300(419511KTVscmKTVscmLn25.325 .12)300(5911)300(250211KTVscmKTVscmLp半导体器件模拟(2)(2)作为迁移率模型，我们将考虑的下一个散射机构是离作为迁移率模型，我们将考虑的下一个散射机构是离化杂质散射。为此也提出了许多不同的模

25、型公式，值化杂质散射。为此也提出了许多不同的模型公式，值得一提的是得一提的是CaugheyCaughey和和ThomasThomas提出的描述结合晶格和提出的描述结合晶格和离化杂质迁移率的一个更实用的方法，他们用一个类离化杂质迁移率的一个更实用的方法，他们用一个类费米函数或双曲正切去拟合实验数据：费米函数或双曲正切去拟合实验数据： (3.2-7)(3.2-7)其中、其中、 、N Nrefn,prefn,p为迁移率参数，数值可在上提到的为迁移率参数，数值可在上提到的S.S.赛尔勃赫书中表赛尔勃赫书中表4.1-24.1-2，表，表4.1-34.1-3中查到，在不同资料中查到，在不同资料中，这些数据

26、依然存在着若干分散性。由（中，这些数据依然存在着若干分散性。由（3.2-73.2-7）式可）式可以看出，这时的迁移率与离化杂质浓度以看出，这时的迁移率与离化杂质浓度 N N 有关。有关。pnprefnpnLpnpnLIpnNNI,)(,min,min,min,pn半导体器件模拟AroraArora等已发表了一个同等已发表了一个同CangheyCanghey和和ThomasThomas表达式表达式 （3.2-3.2-5 5）、（）、（3.2-63.2-6）具有十分相似结构的公式。作为硅，）具有十分相似结构的公式。作为硅，这个公式具有同温度有关的系数。这个公式具有同温度有关的系数。 (3.2-8)

27、(3.2-8) (3.2-9) (3.2-9)这些公式在这些公式在250250，500500K K温度范围内以及在温度范围内以及在10101313，10102020cmcm-3-3离化杂质浓度范围内，最大误差不超过离化杂质浓度范围内，最大误差不超过13%13%。 546. 231733. 2257. 02)300(10432. 11)300(1252)300(88KTcmNKTVcmKTVscmsLIn546.231733.2257.02)300(1067.21)300(407)300(3 .54KTcmNKTVcmKTVscmsLIp半导体器件模拟(3)(3)在器件模型中，我们应该考虑的另一

28、种散射机构是载在器件模型中，我们应该考虑的另一种散射机构是载流子一载流子散射。特别是开态的功率器件中。这个流子一载流子散射。特别是开态的功率器件中。这个效应变得很显著，由于此时自由载流子浓度可增加到效应变得很显著，由于此时自由载流子浓度可增加到远大于掺杂浓度。远大于掺杂浓度。n AdlerAdler提出了一个简单的方法，他在提出了一个简单的方法，他在CangheyCanghey和和ThomasThomas公式，即（公式，即（3.2-73.2-7）分母上加一个附加项：）分母上加一个附加项：n (3.2-10)(3.2-10)pnpnprefnprefnpnLpnpnLICpnNnpNNI,)14

29、()(,min,min,半导体器件模拟在在AdlerAdler另一篇文章中又提出一个更为精确的处理方另一篇文章中又提出一个更为精确的处理方法，法，这里，由载流子一载流子散射引起的迁移率分量采用以这里，由载流子一载流子散射引起的迁移率分量采用以下模型公式：下模型公式： (3.2-11)(3.2-11)这个分量同（这个分量同（3.2-73.2-7）式用简单的）式用简单的MathiessenMathiessen规则相结合，规则相结合，即即: : (3.2-12)(3.2-12)(1054. 41ln(110428. 12121120pncmpncmVsccLIpnLICpn111,半导体器件模拟如果

30、考虑温度的因素，与（如果考虑温度的因素，与（3.2-113.2-11）等效的表达）等效的表达式为：式为： (3.2-13)(3.2-13)(3.2-13)(3.2-13)可与上述的可与上述的 由由MathiessenMathiessen规则合成。规则合成。)()300(1045. 71ln()300(11004.nKTcmpnKTcmVsCLIpn,半导体器件模拟(4)(4)作为迁移率模型，下一个效应将考虑高电场作为迁移率模型，下一个效应将考虑高电场下漂移速度的饱和。由载流子加热对漂移速度下漂移速度的饱和。由载流子加热对漂移速度因而对迁移率影响广泛使用的表示式为：因而

31、对迁移率影响广泛使用的表示式为： (3.2-14)(3.2-14)其中硅在其中硅在300K300K时的临界电场时的临界电场 以及指数以及指数n,pn,p可在有关文献中找到。详见可在有关文献中找到。详见S.S.塞塞尔勃赫书中尔勃赫书中表表4.1-44.1-4。pnpncritpnpnLICpnpnEE,/1,)(1(critpnE,半导体器件模拟更精确的公式为更精确的公式为 (3.2-15)(3.2-15)其中：其中： 表示电子和空穴的饱和速度值。对于电表示电子和空穴的饱和速度值。对于电子子n n=2=2，对于空穴对于空穴p p=1=1， 由下式可求得由下式可求得 (3.2-16)(3.2-16

32、) (3.2-17) (3.2-17) pnpnsatpnpnLICpnLICpnpnVE,/1,)(1(satpnV,satpnV,87.07)300(10KTscmVsatn52. 06)300(/1037. 8KTscmVsatp半导体器件模拟2 2、载流子产生一复合模型、载流子产生一复合模型q在基本方程组中的连续性方程里，我们看到了在基本方程组中的连续性方程里，我们看到了电子和空穴的产生率电子和空穴的产生率GnGn和和GpGp以及电子和空穴的以及电子和空穴的复合率复合率UnUn和和UpUp这四个物理参数，这样的参数需这四个物理参数，这样的参数需要用一定的模型公式来确定。要用一定的模型公

33、式来确定。q半导体电子和空穴的复合，大致分为直接复合半导体电子和空穴的复合，大致分为直接复合和间接复合。直接复合是电子在导带和价带间和间接复合。直接复合是电子在导带和价带间的直接跃迁。一般地说，带宽度小的材料直接的直接跃迁。一般地说，带宽度小的材料直接复合起主要作用。间接复合是非平衡载流子通复合起主要作用。间接复合是非平衡载流子通过复合中心的复合，称为过复合中心的复合，称为SRHSRH（Shockley-Shockley-Read-HallRead-Hall）复合。实验表明，硅、锗等半导）复合。实验表明，硅、锗等半导体材料间接复合起主要作用。体材料间接复合起主要作用。 半导体器件模拟q当材料中

34、只有一种复合中心能级时，其净复合当材料中只有一种复合中心能级时，其净复合率为：率为： (3.2-18)(3.2-18)其中：其中：r rn n、r rp p分别为杂质能级的电子俘获系数分别为杂质能级的电子俘获系数和空穴俘获系数，反映它们俘获电子、空穴的能和空穴俘获系数，反映它们俘获电子、空穴的能力。力。N Nt t是复合中心浓度，是复合中心浓度，n n1 1及及p p1 1为：为：n n1 1=n=ni iexpexpE Et t-E-Ei i/KT/KTp p1 1= n= ni iexpexpE Ei i-E-Et t/KT/KT其中其中E Et t是杂质能级。是杂质能级。)()()(11

35、2pprnnrnpnrrNUUUpnipntpnSRH半导体器件模拟q在小注入情况，在小注入情况，n n型材料少子寿命型材料少子寿命p p及及p p型材型材料中少子寿命料中少子寿命n n可分别近似为：可分别近似为：分别代入（分别代入（3.2-183.2-18）式可得小注入）式可得小注入SRHSRH复合率：复合率： (3.2-19)(3.2-19)一般来说一般来说, ,复合中心浓度复合中心浓度N Nt t与掺杂无关，所以与掺杂无关，所以与掺杂浓度无关。与掺杂浓度无关。 ptprN1ntnrN1)()(112ppnnnpnUnpiSRH半导体器件模拟q在高掺杂情况下，重掺杂会通过增生晶格产生在高掺

36、杂情况下，重掺杂会通过增生晶格产生新的复合中心。这时新的复合中心。这时与掺杂浓度有关。模拟与掺杂浓度有关。模拟时可采用以下公式：时可采用以下公式： (3.2-20)(3.2-20)其中参数其中参数 、 、 N Nn nrefref N Np prefref通过实验确定，也通过实验确定，也可在有关资料中查到。可在有关资料中查到。refnADnonNNN1refpADpopNNN1nopo半导体器件模拟q在重掺杂半导体材料中，还有一种重要的复合在重掺杂半导体材料中，还有一种重要的复合形式，称为俄歇（形式，称为俄歇（AugerAuger）复合。它对大功率）复合。它对大功率器件特性有重要的影响。这种复

37、合是电子和空器件特性有重要的影响。这种复合是电子和空穴的直接复合。在其复合过程中，将多余的能穴的直接复合。在其复合过程中，将多余的能量释放给另一载流子。俄歇复合率为：量释放给另一载流子。俄歇复合率为：式中，式中，EE是因为掺杂引起有效禁带宽度的窄缩是因为掺杂引起有效禁带宽度的窄缩量；量；n nieie是考虑了禁带变窄效应后的本征载流子是考虑了禁带变窄效应后的本征载流子浓度；浓度；C Cn n和和C Cp p称为俄歇俘获系数。它们的数值称为俄歇俘获系数。它们的数值在不同的文献中存在着明显的分散性在不同的文献中存在着明显的分散性. . )(2iepnAnnppCnCU)exp(22KTEnniie

38、半导体器件模拟q通常用在模拟程序中的是通常用在模拟程序中的是DziewiorDziewior以及以及SchmidSchmid的数据，这些数据综合在下表中的数据，这些数据综合在下表中温度温度K K CnCncmcm6 6S S-1-1 C CP Pcmcm6 6S S-1-177 2.877 2.81010-31-31 7.8 7.81010-32-32300 2.8300 2.81010-31-31 9.9 9.91010-32-32400 2.8400 2.81010-31-31 1.2 1.21010-31-31半导体器件模拟q影响连续性方程中载流子产生率的因素有多种。影响连续性方程中载流

39、子产生率的因素有多种。例如，高能光子注入产生的光激发，或强电场例如，高能光子注入产生的光激发，或强电场下产生的碰撞电离等外界因素。下产生的碰撞电离等外界因素。n 当强电场产生碰撞电离而引起雪崩倍增效应当强电场产生碰撞电离而引起雪崩倍增效应时，产生率的公式可表示为：时，产生率的公式可表示为：其中其中nn和和pp是电子和空穴的电离率，可表示为是电子和空穴的电离率，可表示为)(ppnnpnJJGGG)exp(,mpnEbA半导体器件模拟式中的式中的A A、b b、m m是电离率参数，对于是电离率参数，对于SiSi，它们的，它们的数值可由下表给出：数值可由下表给出： A A（cmcm-1-1） b b

40、（v/cmv/cm） m m电子电子 3.83.810106 6 1.75 1.7510106 6 1.0 1.0空穴空穴 2.252.2510107 7 3.26 3.2610106 6 1.0 1.0半导体器件模拟 三、三、 半导体基本方程组的求解问题半导体基本方程组的求解问题q 为了定量描述器件的物理过程，建立起适用为了定量描述器件的物理过程，建立起适用于一定区间，并有一定边界条件及初始条件的于一定区间，并有一定边界条件及初始条件的基本半导体方程组。它们的形式实际是常微分基本半导体方程组。它们的形式实际是常微分或偏微分方程。微分方程的建立仅仅确定了数或偏微分方程。微分方程的建立仅仅确定了

41、数学模型，实际应用中还需得到微分方程的解，学模型，实际应用中还需得到微分方程的解，从而才能反映器件的电特性。解的理想形式是从而才能反映器件的电特性。解的理想形式是解析式，但求微分方程的解析解通常是很困难解析式，但求微分方程的解析解通常是很困难的。的。半导体器件模拟q为了克服这一困难，数学上发展了数值形式解为了克服这一困难，数学上发展了数值形式解的方法的方法,求出区间上某点函数的近似值或相邻点求出区间上某点函数的近似值或相邻点之间的近似解。如果区间上的点取得很密，近之间的近似解。如果区间上的点取得很密，近似程度好，则其数值解同样能描述实际过程。似程度好，则其数值解同样能描述实际过程。因这种方法是

42、对函数所在区间分离成小区间后因这种方法是对函数所在区间分离成小区间后求值。故称求值。故称离散值解法离散值解法。离散数值解法的计算离散数值解法的计算工作量很大，尤其当函数在区间中变化急剧时，工作量很大，尤其当函数在区间中变化急剧时，离散点必须取得很密，其计算工作量往往非人离散点必须取得很密，其计算工作量往往非人力所能，借助于计算机，上述困难能够克服。力所能，借助于计算机，上述困难能够克服。这是数十年来，数值分析解法随着计算机的发这是数十年来，数值分析解法随着计算机的发展而迅速发展的原因。展而迅速发展的原因。半导体器件模拟n在讨论基本半导体方程组的数值解法前，首先考虑方在讨论基本半导体方程组的数值

43、解法前，首先考虑方程求解的稳定性和收剑速度问题程求解的稳定性和收剑速度问题. .那么在模拟中首先会那么在模拟中首先会遇到变量选取问题。也就是说，变量选取适当与否对遇到变量选取问题。也就是说，变量选取适当与否对方程求解的稳定性、收剑速度等都有很大的影响。方程求解的稳定性、收剑速度等都有很大的影响。n( (一一) )、基本方程组因变量的选取、基本方程组因变量的选取 几个常见的因变量选取的方法：几个常见的因变量选取的方法：1 1、选用（、选用（u u、v v、 ）的方法：）的方法： 其中：其中：U Ut t=KT/q,=KT/q,然后将上两式代入基本方程组进行变量然后将上两式代入基本方程组进行变量代

44、换。代换。)exp(tiUnnu)exp(tiUnpv半导体器件模拟q这种变量选取的好处可将电流连续性方程转变这种变量选取的好处可将电流连续性方程转变为为u u、v v的线性偏微分方程，而数学上这种方程的线性偏微分方程，而数学上这种方程的解法较成熟。也就是说从解析研究的角度来的解法较成熟。也就是说从解析研究的角度来看很多情况下选（看很多情况下选（u u、v v、 ）优于其它变量。）优于其它变量。这种选法的弱点可从上两式看出，当温度为这种选法的弱点可从上两式看出，当温度为300K300K时，时，Ut0.026vUt0.026v，这时两式的指数项，当，这时两式的指数项，当-1-1，1 1V V变化

45、时，将变化剧烈约为变化时，将变化剧烈约为3232个数量个数量级以上，所以采用（级以上，所以采用（u u、v v、 ）进行计算只限）进行计算只限于低压情况，如果在高压的功率器件的模拟中于低压情况，如果在高压的功率器件的模拟中容易引起计算的上溢，很不实用容易引起计算的上溢，很不实用。半导体器件模拟2 2、选用（、选用（ 、 、 ）的方法：）的方法：这里这里 、 是半导体的准费米势，它们与是半导体的准费米势，它们与n n、p p的的关系为：关系为：这种变量选取方法的优点：使变量这种变量选取方法的优点：使变量 、 、 具有具有相同的数量级，从而缓和了变量数值动态变化范相同的数量级，从而缓和了变量数值动

46、态变化范围太大的矛盾。这种方法的缺点是变量代换后使围太大的矛盾。这种方法的缺点是变量代换后使电流的关系式，连续性方程电流的关系式，连续性方程与与 n n、 p p呈指数非线呈指数非线性形式，方程的形式变复杂了。性形式，方程的形式变复杂了。npnp)exp(tniUnn)exp(tpiUnpnp半导体器件模拟3 3、选用（、选用（ 、n n、p p）的方法：）的方法： 这时基本方程组没有什么变形，但是变量这时基本方程组没有什么变形，但是变量 、n n、p p各自数值的数量级有较大的悬殊，在半导体各自数值的数量级有较大的悬殊，在半导体结附近的层区和中性的缓区。它们会表现出极结附近的层区和中性的缓区

47、。它们会表现出极大的行为差别。大的行为差别。半导体器件模拟 (二)、基本方程的归一化n由于基本方程中因变量（由于基本方程中因变量（ 、n n、p p）的数量级）的数量级差别很大，而且在小的和大的空间电荷区，其差别很大，而且在小的和大的空间电荷区，其特性也不相同，对于基本方程结构分析的第一特性也不相同，对于基本方程结构分析的第一步应适当的定标（即归一化），从计算的观点步应适当的定标（即归一化），从计算的观点看，归一化后的方程是很有吸引力的。也就是看，归一化后的方程是很有吸引力的。也就是在求值中不涉及常数运算。可有效地降低运算在求值中不涉及常数运算。可有效地降低运算量。若未归一化的方程组写为以下形

48、式：量。若未归一化的方程组写为以下形式：半导体器件模拟其中：其中：C= NC= Nd d N NA A为净杂质浓度；为净杂质浓度；R=G-UR=G-U为净产生为净产生/ /复复合率合率 0)(CpnqdivgradtnpnRngradgradnDdivnn),()(tppnRpgradgradpDdivpp),()(ngradqgradnqDJnnnpgradqugradpqDJppp半导体器件模拟De MariDe Mari给出了定标的标准方法，定标因子综合在下表中：给出了定标的标准方法，定标因子综合在下表中： 量量 符号符号 值值 x x0 0 KT/q KT/q n,p,c c n,p,

49、c c0 0 n ni i Dn,Dp D Dn,Dp D0 0 1cm 1cm2 2s s-1-1 n,p D n,p D0 0/ / 0 0 R D R D0 0CC0 0/x/x0 02 2 t x t x0 02 2/D/D0 0 表中表中x x表示独立空间变量。表示独立空间变量。 )/(2inqTKX0半导体器件模拟定标（归一化）后的基本方程就写为：定标（归一化）后的基本方程就写为： (1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5)0)(cpndivgradtnpnRgradngradnDdivnn),()(tppnRgradpgradpDdivpp),(

50、)(gradnDgradpnJnnngradpDgradpJppp半导体器件模拟这时方程中所用的微分算子是关于定标后的独立这时方程中所用的微分算子是关于定标后的独立变量的，为了简明起见，一个明确的指标（即变量的，为了简明起见，一个明确的指标（即下标）已被省去。还应注意方程中已倍乘了定下标）已被省去。还应注意方程中已倍乘了定标因子的组合。标因子的组合。即：对于方程（即：对于方程（1 1）乘了）乘了 对于方程（对于方程（2 2）和（）和（3 3）乘了）乘了 对于方程（对于方程（4 4）和（）和（5 5）乘了）乘了020 x0020CDx0020CDqx半导体器件模拟n定标或者说归一化因子也不是唯一

51、的，下面介绍一种定标或者说归一化因子也不是唯一的，下面介绍一种从数学观点看更为严格的定标，定标因子如下表：从数学观点看更为严格的定标，定标因子如下表： 量量 符号符号 值值 x x0 0 max(x-y),x max(x-y),x、y Dy D KT/q KT/q n n、p p、c cc c0 0 D Dn n、D Dp p D D0 0 n n、 p p D D0 0/ / R D R D0 0C C0 0/x/x0 02 2 t x t x0 02 2/D/D0 0X0Dxxc,)(maxDxxDxDpn),(),(max(0半导体器件模拟用这种定标，基本方程变为：用这种定标，基本方程变

52、为： (6)(6) (7) (7) (8) (8) (9) (9)定标后的电流方程形式与（定标后的电流方程形式与（4 4）、（）、（5 5）式相同，类似地，）式相同，类似地，定标后的连续性方程形式也与（定标后的连续性方程形式也与（2 2）、（）、（3 3）式一样，然）式一样，然而有些定标因子的数量级不一样。而有些定标因子的数量级不一样。0)(2cpndivgradtnpnRgradngradnDdivnn),()(tppnRgradpgradpDdivpp),()(02002Cqx半导体器件模拟方程（方程（6 6）至（）至（8 8）以及电流关系式也已倍乘定标）以及电流关系式也已倍乘定标因子的组

53、合，即：因子的组合，即：n对于（对于（6 6）乘了）乘了n对于（对于（7 7）和）和(8)(8)乘了乘了n对于电流表达式乘了对于电流表达式乘了0Cq 002CDx000CDqx半导体器件模拟n（三）基本方程的定义域及边界条件（三）基本方程的定义域及边界条件q半导体基本方程适用于表征器件几何图形的半导体基本方程适用于表征器件几何图形的一个受限制的定义域一个受限制的定义域DDR Rn n(n=1,2,3)(n=1,2,3)内。原内。原则上，所有半导体器件均为三维结构。然而则上，所有半导体器件均为三维结构。然而在许多情况下，被考虑的器件本质坐标是二在许多情况下，被考虑的器件本质坐标是二维甚至是一维的

54、，于是可以假设参数的偏导维甚至是一维的，于是可以假设参数的偏导数以及基本方程中垂直于平面数以及基本方程中垂直于平面( (线线) )的因变量的因变量之偏导数为零。由此，问题就变为一之偏导数为零。由此，问题就变为一( (二二) )维维空间的，从而大大地简化了数值解。空间的，从而大大地简化了数值解。半导体器件模拟n对于二维或三维问题，对于二维或三维问题，D D的边界的边界D D是分段光是分段光滑的滑的; ;对于一维问题，常以两点来表示。原对于一维问题，常以两点来表示。原则上，边界可以分离为两部分：则上，边界可以分离为两部分： D DP P表示对应于真实的表示对应于真实的“物理物理”边界的部分，边界的

55、部分，就象就象接触以及与绝缘材料的界面。接触以及与绝缘材料的界面。 D DA A由由必须引入的人为边界组成，例如在集成电路必须引入的人为边界组成，例如在集成电路中为分离相邻器件而引入的边界。因此，第中为分离相邻器件而引入的边界。因此，第二类边界并不对应于物理意义的边界。二类边界并不对应于物理意义的边界。n半导体器件模拟q为了描述这种分类可参考图为了描述这种分类可参考图5.1-15.1-1，该图表示了平面，该图表示了平面MOSMOS晶体管理想化二维模拟几何图形。总的模拟定义域晶体管理想化二维模拟几何图形。总的模拟定义域以多边形以多边形A-B-C-D-E-F-G-H-AA-B-C-D-E-F-G-

56、H-A为界。要注意的是，基本为界。要注意的是，基本方程方程(6)(6)(8)(8)仅仅在子域人仅仅在子域人A-B-C-D-E-F-G-H-AA-B-C-D-E-F-G-H-A上形成。上形成。对于绝缘层对于绝缘层( (由由B-C-D-E-BB-C-D-E-B为界的为界的 子域子域) )，通常用静电势的，通常用静电势的LaplaceLaplace 方程表示特性，此处忽略了任何方程表示特性，此处忽略了任何 可动载流子的存在。可动载流子的存在。 应该明白，用应该明白，用(5.1-2)(5.1-2)及及(5.1-3)(5.1-3) 式不能计算栅极电流，而且还忽式不能计算栅极电流，而且还忽 略了氧化层电容

57、的影响。物理的略了氧化层电容的影响。物理的 考虑已超出我们讨论的范围。考虑已超出我们讨论的范围。半导体器件模拟q边界边界A-B,E-F,C-DA-B,E-F,C-D以及以及B-EB-E可以分别看作表示三个理可以分别看作表示三个理想想 接触以及半导体与绝缘层之间界面的物理边界。这接触以及半导体与绝缘层之间界面的物理边界。这些边界形成些边界形成D DP P。qA-HA-H，B-CB-C，D-ED-E，F-GF-G以及以及G-HG-H可以认为是人为边界。可以认为是人为边界。这些边界在实际器件中并不存在，只是为了模拟而这些边界在实际器件中并不存在，只是为了模拟而引入。显然，这些边界的引入并非完全是任意

58、的。引入。显然，这些边界的引入并非完全是任意的。q人为边界引入法则：人为边界引入法则：1 1）根据根据器件功能的信息，定器件功能的信息，定义某些自然边界，这些边界可将结构完整的器件从义某些自然边界，这些边界可将结构完整的器件从其周围分离出来。其周围分离出来。2 2）人为边界的引入有时也是为）人为边界的引入有时也是为了简化基本方程的数值解。了简化基本方程的数值解。 半导体器件模拟 边界边界G-HG-H就代表了这种边界段。当考虑班就代表了这种边界段。当考虑班MOSMOS晶体管晶体管的实际尺寸时，我们知道界面的实际尺寸时，我们知道界面B-EB-E的长度为的长度为lmlm的量的量级，而晶片的厚度，即界

59、面与基体之间的距离约为级，而晶片的厚度，即界面与基体之间的距离约为500m500m。于是，实际的几何图形是一个长的小条形，。于是，实际的几何图形是一个长的小条形，对于基本方程的许多经典数值解方法；这会带来灾对于基本方程的许多经典数值解方法；这会带来灾难性的影响。根据对于班难性的影响。根据对于班MOSMOS晶体管工作的理解，晶体管工作的理解，我们可以推论，从距离界面我们可以推论，从距离界面G-HG-H较远处切割后的模较远处切割后的模拟几何图形，在拟几何图形，在M0SM0S晶体管的大多数工作条件下仅晶体管的大多数工作条件下仅引入很小的误差，特别是引入很小的误差，特别是G-HG-H与基体接触之间的电

60、与基体接触之间的电压降以及沿压降以及沿G-HG-H的势能分布确使人为边界的势能分布确使人为边界G-HG-H是一个是一个可接受的简化。可接受的简化。半导体器件模拟D DO O由物理意义形成的边界可以大致分为三类：由物理意义形成的边界可以大致分为三类：D DO O表示对应于欧姆接触的边界部分；表示对应于欧姆接触的边界部分； D DS S是表征是表征SckottySckotty接触的边界部分；而接触的边界部分；而D DI I是与绝缘材料是与绝缘材料的界面。的界面。半导体器件模拟q欧姆接触对于静电势的边界条件欧姆接触对于静电势的边界条件: :通常有一个通常有一个静电势与总电流密度之间的函数关系。此关系