第一章14角平分线的性质

1、角平分线的性质角平分线的性质复习提问复习提问1、角平分线的概念、角平分线的概念 2、点到直线距离的意义点到直线距离的意义。从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的长度的长度， 叫做叫做点到直线的距离点到直线的距离。下列两图中，能表示直线下列两图中，能表示直线l1上一点上一点P到直线到直线l2的距的距离的是（离的是（ ）图1图2Pl1l2BPAl1l2PA下列两图中，能表示角的平分线上的一点下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角到角的边上的距离的是（的边上的距离的是（ ）APMAPNPM 如右图如右图, ,是一个平分角的是一个平分角的仪器仪器, ,其中其中AB=AD,B

2、C=DC.AB=AD,BC=DC.将将点点A A放在角的顶点放在角的顶点,AB,AB和和ADAD沿着角的两边放下沿着角的两边放下, ,沿沿ACAC画画一条射线一条射线AE,AEAE,AE就是角平分就是角平分线线. .你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗? ?ACDBEO仔细观察步骤仔细观察步骤尺规作角的平分线尺规作角的平分线ABOAOEBCPD 将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一

3、折已知：如图，已知：如图，OCOC是的是的AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别是，垂足分别是D D，E E。求证：求证：PD=PEPD=PEOPDEC证明：证明： PDOA PDOA，PEOBPEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDOPDO和和PEOPEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）问题探究问题探究ABODEPC角平分线的性质角平分线的性质1：BADOP

4、EC性质应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。性质的作用：性质的作用： 证明线段相等。证明线段相等。性质的书写格式性质的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。1. 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相

5、等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）2. 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）3. AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等4.ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少的距离是多少？ABCDE5.如图所示， ABC中，中，

6、AB=AC，M为为BC中点，中点，MDAB于于D，MEAC于于E。求证：求证：MD=ME。EDMCBA 如图，由如图，由 于点于点 D ， 于点于点 E，PD= PE ， 可以得到什么可以得到什么结论结论 ？ OBPE PD OA 已知：如图，已知：如图， ， ，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。AOBOAPD OBPE BADOPE 已知：如图，已知：如图， ， ， 垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。AOB OAPD OBPE 证明： 90PEOPDO作射线OP 点

7、点P在在 角的平分线上角的平分线上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边公共边）PD = PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt BADOPEOAPD OBPE 性质性质 2的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）DEOP ABBADOPECPD = PEOP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分线的平分线AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：证线段相等用途

8、：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(2). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等ANBCPM知识应用知识应用 1.如图，如图，ABCABC的角的平分线的角的平分线BMBM，CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB，BCBC，CACA的距离相等的距离相等. .想一想，点想一想，点P P在在AA的平分线上的平分线上吗？这说明三角吗？这说明三角形的三条角平分形的三条角平分线有什么关系？线有什么关系？2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路,现要建现要建一个货物中转站一个货物中转站,要求它到三条