导数的几何意义张学习教案

1、会计学1导数的几何意义导数的几何意义(yy)张张第一页，共23页。xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy 附近的变化情况。反映了函数在处的瞬时变化率，在表示函数000 x0 xxxxxfxylimxf2 一、复习一、复习(fx)导数导数(do sh)的定的定义义其中其中(qzhng)： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的表示曲线上两点连线（就是曲线的割线割线）的斜率。）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？第1页/共23页第二页，共23页。P1P2P3P4PTTTTPP xfy x

2、fy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 第2页/共23页第三页，共23页。PQoxyy=f(x)割割线线(gxin)切线切线(qixin)T一、曲线上一点的切线一、曲线上一点的切线(qixin)的的定义定义结论结论: :当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时, ,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线PT.PT.点点P处的割线与切线存在什么关系？处的割线与切线存在什么关系？

3、新授新授第3页/共23页第四页，共23页。xoyy=f(x) 设曲线设曲线(qxin)C是函数是函数y=f(x)的的图象，图象，在曲线在曲线(qxin)C上取一上取一点点P(x0,y0)及邻近及邻近(ln jn)一一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线，当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时, 如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT, 那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？此处切线定义与以前的定义有何不同？第4

4、页/共23页第五页，共23页。NoImage 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线(gxin)趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 2l1lxyABC第5页/共23页第六页，共23页。xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线割线(gxin)与切线的斜率有何关系呢？与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的斜率的斜率(xil)的极限，就是曲线的极限，就是曲线在点在点P处的切线的斜率处的切线的斜率(xil)，xxfxxfxyxx)()(

5、k0000limlim所以：第6页/共23页第七页，共23页。当点当点Q沿着曲线无限沿着曲线无限(wxin)接近点接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个有一个极限位置极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的切线处的切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线(gxin)PQ的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切线切线 这个概念这个概念:提供了求曲线提供了求曲线(qxin)上某点切线的斜率的一种上某点切线的斜率的一种方法方法;切线斜率的

6、本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点则在此点有切线有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至甚至可以无穷多个可以无穷多个.第7页/共23页第八页，共23页。 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意

7、义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义(yy)第8页/共23页第九页，共23页。例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点(1,3)处的导数处的导数(do sh).22103(1)3 1|limxxxyx 解：2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy

8、即：（2）求曲线）求曲线(qxin)y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.题型：导数的几何意义题型：导数的几何意义(yy)的应用的应用2036limxxxx 0lim 3(2)xx 6202lim2xxxx 第9页/共23页第十页，共23页。练习练习(linx):如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即点即点P处的切线的斜率处的切线的斜率(xil)等等于于4

9、. (2)在点在点P处的切线处的切线(qixin)方程是方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx 第10页/共23页第十一页，共23页。例例2求抛物线求抛物线y=x2过点过点( ，6)的切线的切线(qixin)方程。方程。52解：点解：点( ，6)不在抛物线上，设此切线不在抛物线上，设此切线(qixin)过抛物线上的点过抛物线上的点(x0，x02)，因为，因为5222000000()()()limlimxxf xxf xxxxxx

10、20002()lim2xxxxxx 第11页/共23页第十二页，共23页。 又因为又因为(yn wi)此切线过点此切线过点( ，6)和点和点(x0，x02), 52所以所以(suy)此切线方程的斜率为此切线方程的斜率为2x0，所以所以(suy) 20006252xxx即即x025x0+6=0，解得解得x0=2，或，或x0=3，所以切线方程为所以切线方程为y=4x4或或 y=6x9. 第12页/共23页第十三页，共23页。二、函数二、函数(hnsh)的的导数：导数： )()(xfxyyxf需指明自变量时记作或记作：）的导函数（简称为导数我们称它为,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxf

11、xyyxf即： 的函数，便是一个变化时，这样，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个时，当到：的导数的过程中可以看从求函数xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x确定的值；32f2x157xxxf002第13页/共23页第十四页，共23页。函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之间的区之间的区别与联系。别与联系。1）函数在一点）函数在一点(y din) 处的导数处的导数 ，就是在该点的，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常

12、数，不是变数。常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，而言的， 就是就是函数函数f(x)的导函数的导函数 3）函数在点）函数在点 处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在 处的函数值，这也是处的函数值，这也是 求函数在点求函数在点 处的导数的方法之处的导数的方法之一。一。0 x0()fx( )fx0 xx0 x0()fx( )f x0 x0()fx0 x( )fx第14页/共23页第十五页，共23页。课堂练习课堂练习:如图（见课本如图（见课本P10.A6）已知函数的图像，试画）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。出其导函数图

13、像的大致形状。P11.B2：根据下面的文字：根据下面的文字(wnz)叙述，画出相叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。应的路程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；第15页/共23页第十六页，共23页。课堂课堂(ktng)小结小结)(0 xfk)()(000 xxxfxfy 、导数的几何意义、导数的几何意义(yy)第16页/共23页第十七页，共23页。练习题练习题1曲线曲线(qxin)

14、y=x2在在x=0处的（处的（ ） A切线斜率为切线斜率为1 B切线方程为切线方程为y=2x C没有切线没有切线 D切线方程为切线方程为y=0D第17页/共23页第十八页，共23页。2已知曲线已知曲线y=2x2上的一点上的一点(y din)A(2，8)，则点，则点A处的切线斜率为（处的切线斜率为（ ） A4 B16 C8 D2C第18页/共23页第十九页，共23页。3函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数f (x0)的的几何意义是（几何意义是（ ） A在点在点x=x0处的函数值处的函数值 B在点在点(x0，f(x0)处的切线与处的切线与x轴所夹轴所夹锐角的正切锐角的正切(zhngqi)值值 C曲线曲线y=f(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线处的切线的斜率的斜率 D点点(x0，f(x0)与点与点(0，0)连线的斜率连线的斜率C第19页/共23页第二十页，共23页。4已知曲线已知曲线y=x3上过点上过点(2，8)的切线方程的切线方程(fngchng)为为12xay16=0，则实数，则实数a的值的值为（为（ ） A1 B1 C2 D