高等数学极限存在准则

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nx

2、xn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,Nn 时, 有,00 xxn于是当Nn 时.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明. (略).)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N“ ”“ ”0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2

3、找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)

4、(x)(x且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目录 上页 下页 返回 结束 当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanl

5、im0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnRcossinlim2Rn例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束 2.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令机动 目录 上页 下

7、页 返回 结束 例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin1的不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_