现代控制理论鲁棒控制

1、鲁棒控制理论初步鲁棒控制理论初步一、反馈控制系统的基本结构一、反馈控制系统的基本结构做如下变换做如下变换()()dssdclsclHyeR Hru HyRu HrHrHyue DRu Hr DHr 结构图化成 若不考虑传感器动态时，则 为常数，可选择 ，上结构图就变成单位负反馈的结构。HyHrHy定义：R：参考输入W：外扰动输入（常值或随机信号，对飞行器 为高斯白噪声或有色噪声）V：噪声输入（随机信号、有色噪声）Y: 系统输出二、控制系统的性能指标描述(1)系统对常值扰动信号所允许的稳态误差，或 对随机扰动信号的滤波能力或误差(2)对多项式参考输入信号，如斜坡和阶跃信号 所允许的稳态跟踪误差(

2、3)系统动态性能对模型参数变化的灵敏度(4)系统在阶跃参考输入或扰动输入时的动态 性能，如上升时间、超调量、调节时间等(5)闭环系统的稳定性重点要研究的是（1）和（3）三、例子：滚转速度控制系统飞机理想滚转时，则微分方程模型为：其中， 为滚转角速度， 是副翼偏角， 外扰动（外扰动一般等效为滚转力矩，在此方程中 ， 为转动惯量）。aa=LpDpLpL paDLx=JDL外扰力矩xJ飞机滚转模型为：aaaaa11( )( )( )( )( )DDpppLLp ssLssLssLsLsLL开环控制系统为设Hr=1，并且选择比例控制， 则ololDKaaa11( )() ()ololDDpppLKLp

3、 sKRLRLLsLsLsL 设：R和 的稳态值分别为R=a， =b 则： 的稳态解为 定义： 从R到 的传递函数为 开环增益 设： 则DLDLpa01|sssolppLppKabLL paa( )olololppLLTsHr DKsLsLaololpLTKLapLALololTKA闭环控制系统aaaa( )1clclpclpclyclypLDDLsLpTsHrHrLRsLDLHDHsL其中 为开环传函或称回路传函设：Hr =Hy =1， ，则回路增益为aclpDLHysLDKclclaa( )()clpclKLp sRsLKLaclpKLL，而在W的作用下（设R=0，V=0）而在V的作用下（

4、设R=0，W=0）aa( )()clpclKLp sVsLKL a1( )()pclp sWsLKL用迭加原理，可得设V的稳态值为c稳态解为aaaaa1( )()()()clclpclpclpclKLKLp sRWVsLKLsLKLsLKLaaaaaaaaaa11111clclsspclpclpclclclpppclclclpppKLKLpabcLKLLKLLKLLLKKLLLabLLLKKKLLLc 1. 结论 a.若在常值扰动作用下，闭环系统的误差比 开环系统小 倍，其中 是s=0时的回路增益 b.若在常值噪声作用下，闭环系统是无法克服 的，并且常值噪声几乎对输出的影响与输入 的影响是相当

5、的 a1(/)clpKLLa(/)clpKLL因此： （1）对传感器来说必须增加信噪比 （2）Hy应设计动态环节来抑制噪声计算实例若设 、 、a=1 、b=0.17 、 开环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或a27.276L1.7pL 0.06olK27.2760.0610.961.7assolpLpKaL a10.170.961.061.7ssolppLpKabLL| 0.1olsssspp 0.1100%10.42%0.96olssP闭环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或故闭环系统比开环系统的抗干扰能力提高了100倍以上。 aa(/)16010.991(/)1 160pssclclpLLp

6、KaKLL a(1/)(1/1.7)0.990.170.99061(/)1 160pssssclpLppbKLL | 0.0006clsssspp 0.0006100%0.06%0.99clssP四、系统增益对参数不确定性的灵敏度1. 开环系统： 系统增益即开环增益 （s=0的值） 参数的不确定性可表达为：飞机飞行时由初始状态A变化为 ,这样开环增益则从 变化为 a( )olololpLTsKKALAAolTololTT 则 考虑开环增益的相对变化误差定义为()olololololololTTKAAKAKATKA ololTKAololololTKAATKAA 且定义 为关于参数A从输入R到输

7、出 的系统增益的灵敏度函数，开环系统的系统增益灵敏度为：2. 闭环系统：系统的增益为(/)/(/)olololTASTTA A p1olTAS0(/)|1(/)1aaclpclclsclpclKLLKApTRKLLKA当 时，为求则考虑到 ： （ ） 故 ： （一个好的系统的灵敏度应足够的小）AAAclclclTTT()1 ()clclclclAAKTTAAKclclTTclcldTTAdA( )clclTTA()clclclclTdTAATTdAA从而闭环系统的系统增益的灵敏度的定义为 与开环系统相比：在反馈子系统中，系统传函的增益（s=0）对受控对象参数的灵敏度是开环系统的 倍。2(1)(

8、1)()1(1)1olTclclclclclclAclclclcldTKAKKAKA KASTdAKKAKA1/(1)clKA计算实例：闭环系统表明若 变换10%，即 则系统增益 此时 仅取为10而开环系统因此 ： 则a110.00621(/)1 10 16olTAclpSKLLa(/)pLL10%AA0.062%clclTTclK1clTAS10%AA10%ololTT 所以闭环系统的灵敏度仅为开环系统的0.0062倍，能极大地抑制参数的不确定性。五、抗噪声问题建立误差方程 则仿照灵敏度的定义EpR aaaaaa1()111clppclclclpppLLKsLsLWERVLLLLKKKsLs

9、LsL定义灵敏度函数补充灵敏度函数则误差方程( )( )11( )( )D sG sTD sG s aWERTVG WWL a111( )( )1clpLD sG sKsL 若设计D(s)，使 ，意味着（1） （2）（1）可以做到（2）不可能，如何解决0E 0 0T 假定：（1）R和W并不是在所有频率范围内都有很大的 值，即R和W的变化是不一致的，变化的范 围也不同（2）可以设计Hy，使得V经过Hy后在低频段保持 有较小的值，即传感器只在对象变化时有 输出，类似高通滤波器。（3）设计D，使得 在R和W主频范围内很小，也可以使得T在高频范围内的分量很小，这样就可以获得。六、根据灵敏度函数定义的性

10、能指数1.到目前为止，还是通过系统对简单的阶跃或斜 坡输入信号的瞬态响应来描述系统的动态性能 （如二阶系统）。2.对于实际的输入信号，更为精确的描述是将信 号看成是有一定功率谱密度的随机过程。3.设u(t)是单变量随机过程。一般而言，随机过 程的统计特性（平均值、均方差、相关函数和 频谱函数等）也是随时间变化的，这种过程称 为非平稳随机过程，但非平稳随机过程的处理 方法还没有成熟的方法。目前的应用中，往往 限于研究平稳随机过程，即该过程的统计特性 不随时间变化，因此功率谱密度只研究平稳随 机过程的特性。4.平稳随机过程u(t)的统计特性平均值定义为平稳随机过程 u(t)的平均值 或称高斯随机过

11、程01lim( )2TuTtu t dtT0uu(t)的均方差定义为U(t)的相关函数 在物理意义上， 反映了随机过程u(t)在时间坐标轴上的先后相关程度。2201lim( )2TuTtu t dtT01( )lim( )()2TuTtRu tu tdtT( )uR（1）若 则 （2） 为偶函数（3） 表明若间隔 无限增大，u(t) 失去了先后相关性（4） 为u(t)的特征时间02(0)uuR()( )RRlim( )0R201( )tuTRd 相关函数 的Fourier变换即是相关函数的频谱函数其中： 是时间频率， 由于 ，则( )uR1( )( )2juuRed ()( )uuRR()(

12、)uu 相关函数是频谱函数的Fourie逆变换因此 可见频谱曲线 与 轴范围的面积分就等于u(t)的方差 。 ( )( )juuRed 20(0)2( )( )uuuuRdd ( )u 2u 而均方差 则表征了随机过程的功率或能量的大小。因此频谱函数 表征了随机过程的功率按频率 的分布。（频率 （ ）内功率的大小），故称 为功率谱密度。u( )u 0( )u 在飞行环境中，一般大气紊流均采用功率谱密度的形式来表示，只是采用空间频率作为自变量，空间频率 和时间频率 之间的变换如下 （ 为飞行器的速度）xV xV两种大气紊流模型 GJB185-86 (1)德莱顿模型，解析函数，适合数学仿真 (2)

13、冯卡门模型，适合设计两种模型在高频段略有差异 为了简化分析，但又不失一般性，可以认为这些信号是由某特定范围内的正弦信号合成的。 比如经常描述的参考输入信号，它是一组具有不同频率的正弦信号的和，而各种频率的正弦信号的幅值|R|可由下图描述从图中可以看出：(1)由正弦信号分量组成的信号，一直到大于 后，幅值才极小可忽略。于是可以这样描 述性能指标： 对于任何驱动频率 ， 幅值为的正弦信号,系统误差的幅值应小于 。 100100|()|R jbe考虑单位反馈系统，则误差的频率响应为 （1）1()()1E jRs jRDG其中，s为灵敏度函数 （2） 灵敏度函数也正是 的乃奎斯特图上的曲线 到（-1，

14、0）点距离的倒数，因此 越大，表示 曲线到（-1，0）点的距离越小，曲线 越接近（-1，0）点。 11()11()S jDGDG j( )DG s()DG j|()|S j()DG j()DG j根据式（1），频域内的误差指标可表示为 （3）bE js jR js jR je 为了使问题规范化，以及不必每次定义幅值R和误差限度 。定义频率的实数方程： 则此（3）式可以写为 （4） be1()bRWe1|1SW若 ，则 ，带入(4） 得到 （5）|() |1DGj1()()SjDGj1|() |DGjW 这个约束条件可以看作是稳态误差指标的延伸，只不过信号频率由 的一点变成了上述性能指数是动态性

15、能指数的延伸而已。0010七、鲁棒性指标 除了保证系统有良好的动态性能，还应考虑系统的鲁棒性，即在可预期的不确定性因素的影响下，受控对象的传函发生变化时，针对各个传函所做的设计仍是稳定的。为了描述这种不确定性，需首先定义不确定性。不确定性：主要是指对象的不确定性。理由：没有任何一个物理系统可以用准确的 数学模型代表。由于这一原因，我们 必须了解建模误差对控制系统性能的 影响。 1.对象的不确定性 不确定对象的建模的基本方法是用一个集合来代表对象模型，这个集合可以是结构化的或者非结构化的。 结构化：系统中存在有限个不确定参数minmax21:1Maaasas非结构化：系统在每个频率下其频率响应位

16、于复 平面的一个集合内 一般来说，非结构化更为重要，因为它可以导出简单而实用的设计理论。()()iiiiG jMP j具体来说，考虑这样的不确定问题，即其中： 是标称对象的传递函数的频率响应 是由于参数的不确定性或摄动造成 的实际对象模型 是一固定的、稳定的传递函数 是一可变的、稳定的传递函数，且 0202()()(1)()()(1)G jGjWP jP jW0()P j2W()P j|1其中： ，称为 的 范数。也代 表了 在Bode图上的峰值，也写为 ，称为 的上确界或 者最小上界。 进一步假定在构成 中没有消掉 的任何不稳定的极点，即 和 有相同的不稳定极点。这样的摄动 称为可容许的。|

17、max |()|j|()|j|sup|()|j|()|jPPPP由 及 得 与则： 的模型的含义是 是偏离1的标准化的 对象摄动，或不确定性只能引起偏离1的标 准化的对象摄动。从而：因 ，则2(1)GW G2(1)PW P21PWP 21GWG P2W|1 可见 给出了不确定的范围。这个不等式在复平面描绘了一个圆，在每一个频率 ， 都位于以1为圆心，以 为半径的圆内。这种不确定性也称为圆不确定性（或乘积圆状不确定性），是一种非结构性摄动的集合。2222()1()()()()()()()P jWjP jjWjjWjWj 2()Wj/P P2W 一般情况下， 是 的增函数，不确定性随频率的增加而增

18、加。 的主要目的是为了考虑相位不确定性，同时也可作为摄动幅值的尺度因子， 在（0，1）内变化。2|()|Wj|例题：寻找设标准对象 ，实际传函通过将 代到集合 中并使用延迟因子 作为乘积摄动的表征这样对 带入各式后得2W21( )P ss21( )sP ses00.1P21:1WPse2()|1| |()|()P jWjP j2|1| |()|jeWj 在Bode幅频特性上，就可以找到 幅频特性的上确界 ，满足 （1） 是稳定的 （2）在 内， 是最小上确界 （显然只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 时确定，1je 2()Wj2()Wj00.12()Wj0.1|1|je 2()Wj0.

19、120.21( )0.11sW ss 乘积摄动模型，并不适合所有情况，作为圆的不确定性集合，有时是一种太粗糙的近似，在这种情况下，依据乘积不确定性模型设计的控制器相对原有的不确定性模型（非圆）有可能太保守。 其它一些不确定性模型的形式， ， 在采用每一种模型时都要对 和 作适当的假设。2/(1)PWP2PW2/(1)PW2W八、鲁棒稳定性1.引入 范数后的性能指标表达 动态性能指标 ， 显然对于 而言，要满足 则上述动态性能指标可写为 |:|1| ()()| 1s jWj1| ()()| 1s jWj1()()1s jWj2.鲁棒稳定性鲁棒概念可做如下描述： 假定对象传递函数属于一个集合M，考察反馈系统的某些特性，如内稳定，给定一个控制器，如