微分方程与差分方程稳定性理论学习教案

1、微分方程与差分微分方程与差分(ch fn)方程稳定性理论方程稳定性理论第一页，共16页。稳定性判别稳定性判别(pnbi)方法方法由于由于),)()(00 xxxfxf在讨论方程在讨论方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx来代替来代替.稳定性时，可用稳定性时，可用 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡点的平衡点. (4-2)的通解的通解为为,e)(0)(0 xCtxtxf关于关于x0是否稳定是否稳定(wndng)有以下有以下结论：结论： 若若, 0)(0 xf则则x0是稳定的；是稳定的； 若若则则x0是不稳定的是不稳定的. ., 0)(0 xf这个结论对这个结论对于于(d

2、uy)(4-1)也是成立也是成立的的.第1页/共16页第二页，共16页。 关于关于(guny)(guny)常微分方程组的平衡点及其常微分方程组的平衡点及其稳定性稳定性, , 设设)34().,(dd),(ddyxgtyyxftx代数方程组代数方程组. 0),(, 0),(yxgyxf的实根的实根x = x0, y = y0称为方程称为方程(4-3)的的平衡平衡点点, 记作记作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.第2页/共16页第三页，共16页。如果如果(rgu),)(lim,)(lim00ytyxtxtt则称平衡点则称平衡点P0P0是稳定是稳定(wndng)(wn

3、dng)的的. . 下面给出判别下面给出判别(pnbi)(pnbi)平衡点平衡点P0P0是否稳定是否稳定的判别的判别(pnbi)(pnbi)准则准则. . 设设,)()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(0000 则当则当p0且且q0时时, 平衡点平衡点P0是稳定的；是稳定的；当当p0或或q0时时, 平衡点平衡点P0是不稳定的是不稳定的.第3页/共16页第四页，共16页。第4页/共16页第五页，共16页。 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科在各个学科(xuk)领域已成为必不可少的数学工具，领域已成为必不可少的数学工具

4、，也是数学建模的必备基础理论也是数学建模的必备基础理论.一一. 微分方程定性理论的基本任务微分方程定性理论的基本任务(rn wu)和和主要研究方法主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函数极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解的积分表示微分方程的解. 求微分方程的数值解求微分方程的数值解解决方法解决方法对微分方程进行定性分析对微分方程进行定性分析第5页/共16页第六页，共16页。 一般提法：不去积分给定的微分方程一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根而根 据据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域个区域(qy)内

5、的分布状态内的分布状态.微分方程微分方程(wi fn fn chn)定性分析定性分析 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状，或研究当时间或研究当时间(shjin)无限增大时无限增大时, 积分曲线的性积分曲线的性态态. 研究对象研究对象：驻定系统：驻定系统12( ,),1,2,iindxf x xxindt其右端的函数不显含自变量其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶，称为一阶n维驻定维驻定系统系统(自治系统、动力系统自治系统、动力系统). 若微分方程组若微分方程组第6页/共16页第七页，共16页。例例5.2.1 单一单一(dny)质点非受迫直线运动

6、满足质点非受迫直线运动满足下方程下方程2122( )( )0d xdxa xa xdtdt,dxvdt令得一个二维驻定系统得一个二维驻定系统(xtng)12,( )( ).dxvdtdvax vaxdt 第7页/共16页第八页，共16页。一般一般(ybn)二维驻定系统形式为二维驻定系统形式为 (,),(2 )(,).d xPxyd td yQxyd t在以在以t,x,y为坐标的空间中一条为坐标的空间中一条(y tio)曲线，这条曲线，这条曲线称为积分曲线。曲线称为积分曲线。 000000( , ,)( )3( )( , ,)xx t txyxx tyy tyy t txy或者它的解（ ） 基本

7、思想基本思想(sxing) 将积分曲线投影到平面上进行分析将积分曲线投影到平面上进行分析. 第8页/共16页第九页，共16页。xytot0(x,y,t)解曲线解曲线(qxin)投影投影(tuyng)曲线曲线 定义：称平面定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线为相平面，称解曲线在相平面上的投影在相平面上的投影(tuyng)为相轨线，相轨线族称为为相轨线，相轨线族称为相位图相位图.第9页/共16页第十页，共16页。如何得到相轨线？方法：把时间t当作(dn zu)参数，只要P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程(,),(2 )(,).d xPxyd td yQxyd t方程方程(4)

8、的积分的积分(jfn)曲线就可以看成是方程曲线就可以看成是方程（2）在在相平面上的轨线。）在在相平面上的轨线。(4)dyQ(x,y)dxP(x,y)=或者=dxP(x,y)dxQ(x,y)就可以变为第10页/共16页第十一页，共16页。对于对于k k阶差分阶差分(ch fn)(ch fn)方程方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6)若有若有xn = x (n), 满足满足(mnz)F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称则称xn = x (n)是差分方程是差分方程(4-6)的的解解, 包含包含k k个任意常个任意常数的解称

9、为数的解称为(4-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为已知时称为为(4-6)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为件确定后的解称为(4-6)的的特解特解.k 若若x0, x1, , xk-1已知已知, 则形如则形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.第11页/共16页第十二页，共16页。 若有常数若有常数(chngsh)a(chngsh)a是差分方程是差分方程(4-6)(4-6)的解的解, , 即即F (n; a, a, ,

10、a ) = 0,则称则称 a是差分方程是差分方程(4-6)的平衡点的平衡点. 又对差分方程又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有都有xna (n), 则称这个平衡点则称这个平衡点a是稳定的是稳定的. 一阶常系数一阶常系数(xsh)线性差分方程线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b为常数为常数, 且且a 0)的通解为的通解为xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点, 由上式知由上式知, 当且仅当当且仅当|a|1时时, b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. 第1

11、2页/共16页第十三页，共16页。 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程(fngchng)(fngchng)xn+2 + axn+1 + bxn = r,xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, ra, b, r为常数为常数. . 当当r = 0r = 0时时, , 它有一特解它有一特解x x* * = 0 = 0； 当当r 0, r 0, 且且a + b + 1 0a + b + 1 0时时, , 它有一特解它有一特解x x* *=r/( a + b +1).=r/( a + b +1). 不管不管(bgun)(bgun)是哪种情形是哪种情形, x, x* *

12、是其平衡点是其平衡点. . 设其特设其特征方程征方程2 + a2 + a + b = 0 + b = 0的两个根分别为的两个根分别为 = =1, 1, = =2. 2. 第13页/共16页第十四页，共16页。 当当1, 1, 2 2是两个不同实根时是两个不同实根时, ,二阶常系二阶常系数线性差分方程数线性差分方程(fngchng)(fngchng)的通解为的通解为xn= xxn= x* *+ C1(+ C1(1)n + C2(1)n + C2(2)n ;2)n ; 当当1, 2=1, 2=是两个相同实根时是两个相同实根时, ,二阶常二阶常系数线性差分方程系数线性差分方程(fngchng)(fn

13、gchng)的通解为的通解为xn= xxn= x* * + (C1 + C2 n) + (C1 + C2 n)n;n; 当当1, 2= 1, 2= (cos (cos + i sin + i sin ) ) 是是一对共轭复根时一对共轭复根时, ,二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程(fngchng)(fngchng)的通解为的通解为xn = xxn = x* *+ + n (C1cosn n (C1cosn + C2sinn + C2sinn ). ). 易知易知, ,当且仅当特征方程当且仅当特征方程(fngchng)(fngchng)的任一的任一特征根特征根 | |i |i |1 1时时, , 平衡点平衡点x x* *是稳定的是稳定的. . 则则第14页/共16页第十五页，共16页。对于一阶非线性差分对于一阶非线性差分(ch fn)方程方程xn+1 = f (xn )其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程(fngchng)x = f (x)解给出解给出. 为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性, 将上述差分方程将上述差分方程(fngc