宋冬辉古典概型的特征和概率计算公式1

1、21古典概型的特征和概率计算公式古典概型的特征和概率计算公式 口袋内装有口袋内装有2 2红红2 2白除颜色外完全相同的白除颜色外完全相同的4 4球球, 4, 4人按序人按序摸球摸球, ,摸到红球为中奖摸到红球为中奖, , 如何计算各人中奖的概率如何计算各人中奖的概率? ?问题引入：问题引入：我们通过我们通过大量的重复试验大量的重复试验发现：先抓的人和后抓发现：先抓的人和后抓的人的中奖率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖的人的中奖率是一样，即摸奖的顺序不影响中奖率，先抓还是后抓对每个人来说是公平。率，先抓还是后抓对每个人来说是公平。大量的重复试验大量的重复试验费时，费力费时，费力对于一些特殊的随机试

2、验，我们可以根据试验结对于一些特殊的随机试验，我们可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发现的概率果的对称性来确定随机事件发现的概率1 1、投掷一枚均匀的硬币、投掷一枚均匀的硬币, ,出现出现“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上” 的机会相等吗？的机会相等吗？2 2、抛掷一枚均匀的骰子、抛掷一枚均匀的骰子, ,出现数字出现数字 “1 1”、 “2 2”、“3 3”、“4 4”、“5 5”、“6 6” 的机会均等吗？的机会均等吗？3 3、转动一个十等分、转动一个十等分( (分别标上数字分别标上数字0 0、1 1、9)9)的转盘的转盘, ,箭头指向每个数字的机会一样吗？箭头指向每个数字的机会

3、一样吗？探究：这些试验有什么共同特点?(1).试验的所有可能结果只有有限个,且 每次试验只出现其中的一个结果；(2).每一个试验结果出现的可能性相同。古典概型抽象概括把具有上述两个特征的随机试验的数学模型称为(古典的概率模型)每个可能结果称为基本事件 1古典概型的定义古典概型的定义 如果一个试验满足：如果一个试验满足： (1)试验的所有可能结果只有试验的所有可能结果只有 个，每次试验个，每次试验只出现其中的只出现其中的 个结果；个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性每一个试验结果出现的可能性 我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型型称

4、为古典概型(古典的概率模型古典的概率模型) 有限有限一一相同相同 （1 1）向一个圆面内随机地投一个点，如）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为是古典模型吗？为什么？你认为是古典模型吗？为什么？试验的所有可能结果是试验的所有可能结果是无限无限的，故不是的，故不是古典模型古典模型思考交流（2）射击运动员向一靶心进行射击，这一试验）射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中的结果只有有限个：命中10环、命中环、命中9环、环、命中命中1环和命中环和命中0环（即不命中），你认为这是古环（即不命中），你认为这是古典概

5、率模型吗？为什么？典概率模型吗？为什么？所有可能结果有所有可能结果有11个，但命中个，但命中10环、环、9环、环、.0环环的的出现不是等可能的出现不是等可能的，故不是古典概率，故不是古典概率. 例例1下列概率模型是古典概型吗？为什么？下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间从区间1,10内任意取出一个实数，求取到实数内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从从1,2,3，100这这100个整数中任意取出一个整数，求取个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率到偶数的概率

6、思路点拨思路点拨根据直观印象判断两个试验的基本事件数根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可 精讲详析精讲详析(1)不是古典概型，因为区间不是古典概型，因为区间1,10中有无中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中型定义中“所有可能结果只有有限个所有可能结果只有有限个”矛盾矛盾 (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上正面向上”与与“反面向上反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中的概率不相等，与古典概型定

7、义中“每一个试每一个试验结果出现的可能性相同验结果出现的可能性相同”矛盾矛盾 (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等 一点通一点通只有同时满足有限性和等可能性这两个只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型就不是古典概型1下列随机事件：下列随机事件：某射手射击一次，可能命中某射手射击一次，可能命中0环，环，1环，环，2环，环，10环；环；一个小组有男生一个小组有男

8、生5人，女生人，女生3人，从中任选人，从中任选1人进行活动人进行活动汇报；汇报；一只使用中的灯泡寿命长短；一只使用中的灯泡寿命长短；抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；情况；中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评量，给该品牌月饼评“优优”或或“差差”这些事件中，属于古典概型的有这些事件中，属于古典概型的有_解析：解析：题号题号 判断判断原因分析原因分析不属于不属于命中命中0环，环，1环，环，2环，环，10环的概率不一环的概率不一定相同定相同属于属于任选任选1

9、人与学生的性别无关，仍是等可能的人与学生的性别无关，仍是等可能的不属于不属于灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能种可能属于属于该试验结果只有该试验结果只有“正正”“”“反反”两种，且机会两种，且机会均等均等不属于不属于该品牌月饼评该品牌月饼评“优优”与与“差差”的概率不一定的概率不一定相同相同答案：答案：2(1)在数轴上在数轴上03之间任取一点，求此点的坐标小于之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率此试验是否为古典概型？为什么？的概率此试验是否为古典概型？为什么？(2)从从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之四个数中任意取出两个数，求

10、所取两数之一是一是2的概率此试验是古典概型吗？试说明理由的概率此试验是古典概型吗？试说明理由解：解：(1)在数轴上在数轴上03之间任取一点，此点可以在之间任取一点，此点可以在03之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性但试验结果有无限多个，不满足的，具备等可能性但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性因此不属于古典概型古典概型试验结果的有限性因此不属于古典概型(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,

11、4)，(3,4)，且每个事，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型件的出现是等可能的，因此属于古典概型.练习：练习：1.一个口袋内装有大小相等的一个口袋内装有大小相等的1个白球和个白球和已编有号码的已编有号码的3个黑球，从中摸出个黑球，从中摸出2个球个球(1)共有多少种不同的结果共有多少种不同的结果(基本事件基本事件)?(2)摸出摸出2个黑球有多少种不同结果？个黑球有多少种不同结果？(1)共有共有6种不同结果，分别为种不同结果，分别为黑黑1，黑，黑2、黑黑1，黑，黑3、黑黑2，黑，黑3、白，黑白，黑1、白，黑白，黑2、白，黑白，黑3(2)从上面所有结果可看出摸出从上面所有结果可看出摸出2

12、个黑球个黑球的结果有的结果有3种种2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球次，每次摸取一个球(1)写出该试验的基本事件及基本事件总数；写出该试验的基本事件及基本事件总数；(2)写出写出“取出的三球是二红一黑取出的三球是二红一黑”这一事件包含这一事件包含的基本事件的基本事件解析解析(1)由题意所有可能的基本事件有：由题意所有可能的基本事件有：(红、红、红红、红、红)、(红、红、红、黑红、黑)、(红、黑、红红、黑、红)、(红、黑、黑红、黑、黑)、(黑、红、红黑、红、红)、(黑、红、黑、红、黑

13、黑)、(黑、黑、红黑、黑、红)、(黑、黑、黑黑、黑、黑)共有共有8个基本事件个基本事件(2)“取出的三球是二红一黑取出的三球是二红一黑”这一事件包括这一事件包括(红、红、黑红、红、黑)、(红、红、黑、红黑、红)、(黑、红、红黑、红、红)共共3个基本事件个基本事件.nmAAP基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件的的个个数数 )(古典概型的概率公式注意：计算事件A概率的关键（1）计算试验的所有可能结果数n；（2）计算事件A包含的可能结果数m.对于古典概型，任何事件的概率计算公式为：对于古典概型，任何事件的概率计算公式为：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：在使用古典概型的概率

14、公式时，应该注意：（1 1）要判断该概率模型是不是古典概型；）要判断该概率模型是不是古典概型；（2 2）要找出随机事件）要找出随机事件A A包含的基本事件的个数和试验中基包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数本事件的总数. .所包含的基本事件的个数（）基本事件的总数AA.P把一枚骰子抛把一枚骰子抛1次，设正面出现的点数为次，设正面出现的点数为x.(1)求出求出x的可能取值情况的可能取值情况(即全体基本事件即全体基本事件)；(2)下列事件由哪些基本事件组成下列事件由哪些基本事件组成(用用x的取值回答的取值回答)：x的取值为的取值为2的倍数的倍数(记为事件记为事件A)；x的取值大于的取值大于3

15、(记为事件记为事件B)；x的取值不超过的取值不超过2(记为事件记为事件C)；x的取值是质数的取值是质数(记为事件记为事件D)(3)判断判断(2)中事件是否为古典概型，并求其概率中事件是否为古典概型，并求其概率同时掷同时掷两粒两粒均匀的骰子均匀的骰子, ,落地时向上的点数之和有落地时向上的点数之和有几种可能？并求（几种可能？并求（1 1）点数之和为）点数之和为7 7的概率的概率 (2)点数点数之和为之和为5的倍数的概率；的倍数的概率；(3)点数之和大于点数之和大于3且小于且小于8的概率；的概率；123456123456723456783456789456789105678910116789101

16、112列表法先后抛掷两枚骰子先后抛掷两枚骰子至少有一个至少有一个4点或点或5点的概率点的概率 甲、乙两校各有甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校名教师报名支教，其中甲校2男男1女，乙校女，乙校1男男2女女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，名，写出所有可能的结果，并求选出的写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性名教师性别相同的概率；别相同的概率；(2)若从报名的若从报名的6名教师中任选名教师中任选2名，写出所有名，写出所有可能的结果，并求选出的可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学名教师来自同一学校的概率校的概率(1)若从甲校和乙校报名的教师中各

17、任选若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有名，写出所有可能的结果，并求选出的可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；名教师性别相同的概率；(2)若从报名的若从报名的6名教师中任选名教师中任选2名，写出所有可能的结果，名，写出所有可能的结果，并求选出的并求选出的2名教师来自同一学校的概率名教师来自同一学校的概率1.1.古典概型古典概型(1)(1)有限性有限性; (2); (2)等可能性等可能性. .2.2.古典概率古典概率公式公式3.3.古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤: :求出总的基本事件的个数；求出总的基本事件的个数；求出事件求出事件A A所包含的基本事件的个数；所包含的基

18、本事件的个数；然后利用公式求解然后利用公式求解. .包含的基本事件的个数.基本事件的总数Am( )nP A 甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次两个转盘各一次(1)若两次数字之差的绝对值为若两次数字之差的绝对值为0,1或或2，则甲胜，则甲胜，否则乙胜；否则乙胜；(2)若两次数字之和是若两次数字之和是2的倍数，则甲胜，而若两次的倍数，则甲胜，而若两次数字之和是数字之和是3的倍数或的倍数或5的倍数，则乙胜分别求的倍数，则乙胜分别求出两个游戏中甲、乙获胜的概率出两个游戏中甲、乙获胜的概率(1)若两次数字之差的绝对值为若两次数字之差的绝对值

19、为0,1或或2，则甲胜，则甲胜，否则乙胜；否则乙胜；解析解析(1)用列表的方法可用列表的方法可以看出所有可能的结果为：以看出所有可能的结果为：从表可以看出两个数字之差从表可以看出两个数字之差的绝对值为的绝对值为0的有的有4种可能结种可能结果，为果，为1的有的有7种可能结果，种可能结果，为为2的有的有6种可能结果，所以种可能结果，所以甲胜的概率为甲胜的概率为17/30，而乙胜，而乙胜的概率为的概率为13/30.(2)若两次数字之和是若两次数字之和是2的倍数，则甲胜，而若两次的倍数，则甲胜，而若两次数字之和是数字之和是3的倍数或的倍数或5的倍数，则乙胜的倍数，则乙胜出现的两个数字之和是出现的两个数

20、字之和是2的倍数的有的倍数的有15种，出现的种，出现的两个数字之和是两个数字之和是3的倍数的有的倍数的有10种，种，5的倍数的有的倍数的有7种，所以甲胜的概率为种，所以甲胜的概率为1/2，而乙胜的概率为，而乙胜的概率为17/30.甲、乙两同学下棋，胜一盘得甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得分，和一盘各得1分，负一盘得分，负一盘得0分连下三盘，得分多者为胜，分连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率求甲获胜的概率 甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为别为2和和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为们的

21、标号分别为4和和5，丙口袋中装有三个相同，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为的小球，它们的标号分别为3,8,9.从这从这3个口袋个口袋中各随机地取出中各随机地取出1个小球个小球 (1)求取出的求取出的3个小球的标号全是奇数的概率；个小球的标号全是奇数的概率； (2)以取出的三个小球的标号分别表示三条线以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率段的长度，求这些线段能构成三角形的概率(1)求取出的求取出的3个小球的标号全是奇数的概率；个小球的标号全是奇数的概率；(2)以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这

22、些线段能构成三角形的概率长度，求这些线段能构成三角形的概率1.有有4个号码：个号码：1号、号、2号、号、3号、号、4号装入一袋中，从中号装入一袋中，从中任取任取2个，一个等于个，一个等于3号，一个小于号，一个小于3号，问取一次就能号，问取一次就能达到要求的概率是多少？达到要求的概率是多少？ 2盒子中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次盒子中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，次，每次摸取一个球，(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；的结果；(2)若摸到红球时得若摸到红球

23、时得2分，摸到黑球时得分，摸到黑球时得1分，求分，求3次摸次摸球所得总分为球所得总分为5的概率的概率解：解：(1)一共有一共有8种不同的结果，列举如下：种不同的结果，列举如下：(红，红，红红，红，红)、(红，红，黑红，红，黑)、(红，黑，红红，黑，红)、(黑，黑，红，红红，红)、(红，黑，黑红，黑，黑)、(黑，红，黑黑，红，黑)、(黑，黑，黑，黑，红红)、(黑，黑，黑黑，黑，黑)(2)若摸到红球时得若摸到红球时得2分，摸到黑球时得分，摸到黑球时得1分，求分，求3次次摸球所得总分为摸球所得总分为5的概率的概率(红，红，红红，红，红)、(红，红，黑红，红，黑)、(红，黑，红红，黑，红)、(黑，红，

24、红黑，红，红)(红，黑，黑红，黑，黑)、(黑，红，黑黑，红，黑)、(黑，黑，红黑，黑，红)、(黑，黑，黑黑，黑，黑)3.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到到5根手指根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢(1)若以若以A表示事件表示事件“和为和为6”，求，求P(A)；(2)若以若以B表示事件表示事件“和大于和大于4而小于而小于9”，求，求P(B)；(3)这种游戏公平吗？试说明理由这种游戏公平吗？试说明理由 思路点拨思路点拨一个基本事件应该包括一个基本事件应该包括“甲出的手指头甲出的手指头数和乙出的手指头数数和乙出的手指头数

25、”，可用一个有序实数对来表示，将，可用一个有序实数对来表示，将所有基本事件列出后，分析所求事件包括的基本事件数所有基本事件列出后，分析所求事件包括的基本事件数即可求解即可求解 精解详析精解详析将所有可能情况列表如下：将所有可能情况列表如下：甲乙甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5) 由上表可知，该试验共包括由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的个等可能发生的基本事件，属于古典概型基本事件，属于古典概型4从从4名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选3人参加演讲比赛人参加演讲