数学命题实用教案

1、（1 1）必须有断定。凡判断不是(b shi)(b shi)肯定某种事物的情况，就是否定某种情况。不作肯定或否定的不是(b shi)(b shi)判断。如三角形ABCABC是等腰三角形吗？雪是白色的吗？都不是(b shi)(b shi)判断。（2 2）必须有真假。如果一个判断符合客观现实情况，那么这个判断是真实的；否则就是假的。例如，“1 1是质数”就是一个假判断。第1页/共33页第一页，共33页。2 2判断的种类 判断可按不同标准进行分类(fn (fn li)li)，首先按判断本身是否还包括其它判断，把一切判断分为简单判断和复合判断。 简单判断是本身不再含有其它判断的判断，在简单判断中，可按

2、其判断内容分为性质判断和关系判断 第2页/共33页第二页，共33页。 复合判断是本身还包含其它判断的判断，在复合判断中，按照组成复合判断的各简单判断之间的结合情况如何，将其区分为负判断、联言判断、选言判断(xun yn pn dun)(xun yn pn dun)、假言判断等，我们这里不一一介绍。第3页/共33页第三页，共33页。3 3命题及其基本(jbn)(jbn)运算（1 1）命题的意义 表达判断的陈述语句叫命题。在数学中，每一个数学判断的陈述语句，都称为数学命题。数学命题往往用特有的数学语言组合起来进行陈述。如： 3 32 2； ABC ABC是直角三角形。命题的基本(jbn)(jbn)

3、特征是：要么是真，要么是假，不能又真又假。如：x+2=5x+2=5和x x5 5不能判断真假，所以它们不是命题。第4页/共33页第四页，共33页。当命题是真命题时，我们(w men)称这个命题的值为1，当命题为假时，我们(w men)称命题的值为0。这就给命题赋予了真值。命题可用字母A、B、C或p、q、r等表示。第5页/共33页第五页，共33页。（2 2）命题的基本运算所谓命题的基本运算，就是将命题用逻辑联词联结起来，构建新的命题。命题的基本运算包括以下几种情况：10 10 否定（非）给定(i dn)(i dn)命题p p，在其前面加上“并非”两字，就构成新命题“并非p p”，叫做命题p p的

4、否定，记作p p，读作“非p p”。第6页/共33页第六页，共33页。显然然p真真时时，p一一定定假假，它它们们的的真真值值完完全全相相反反，所所以以有有下下列列真真值值表表： 值值得得注注意意的的是是： “命命题题的的否否定定”与与肯肯定定判判断断 p p 换换成成否否定定判判断断是是不不同同的的， 例例如如 “一一切切s是是p” 换换 1 0 成成否否定定判判断断：“一一切切s不不是是p” ， 而而否否定定则则是是 “并并 0 1 非非一一切切s 是是p” （这这里里并并不不排排除除有有些些s 是是p） 。 第7页/共33页第七页，共33页。20 合取（与、并且）合取（与、并且） 给定命题

5、给定命题 p、q，用逻辑联词“，用逻辑联词“与与”联结起来得到的新命题“”联结起来得到的新命题“p与与 q”称为命题”称为命题 p、q 的的合取式合取式，记作“，记作“pq” ，” ，pq 的真值是当的真值是当且仅当且仅当 p、q 都真时，都真时，pq 为真，其余为假为真，其余为假，其真值表如下：，其真值表如下： 在数学中合取式可以简写，如在数学中合取式可以简写，如 （14）（）（15 可可简记为：简记为： 1415。 又如（又如（5 是质数）（是质数）（7 是质数）是质数） p q pq 简单叙述为：简单叙述为：5 和和 7 都是质数。都是质数。 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

6、0 第8页/共33页第八页，共33页。 p q pq 30 析取（或）析取（或） 1 1 1 给定命题给定命题 p、q，用逻辑联词“，用逻辑联词“或或” 1 0 1 联结起来得到新命题“联结起来得到新命题“p 或或 q”称为命”称为命 0 1 1 题题 p、q 的的析取式析取式，记作，记作，pq。 0 0 0 pq 的真值是当的真值是当 p、q 中至少有一个为真中至少有一个为真 时，时，pq 为真，否则是假的。真值表如下：为真，否则是假的。真值表如下： 第9页/共33页第九页，共33页。 “或”是“可兼可兼”的意思，相当于日常用语中的“或” ，如“两条直线平行或相交” 就是把“两条直线平行”与

7、“两条直线相交” 用 “或” 联结而成的。 第10页/共33页第十页，共33页。40 蕴涵蕴涵（如果，那么）（如果，那么） 给定命题给定命题 p、q，用逻辑联词“，用逻辑联词“如果，如果， 那么那么”联结起来，得到新的命题“”联结起来，得到新的命题“如果如果 p，那么那么 q” ，就称为命题” ，就称为命题 p、q 的的蕴涵式蕴涵式，记作“，记作“pq” ，其中” ，其中 p 叫做蕴涵式的前件（条件） ，叫做蕴涵式的前件（条件） ，q 叫后件叫后件（或结论） 。（或结论） 。 蕴涵式的真值是蕴涵式的真值是只有当只有当 p 真真 q 假时，假时，pq 才是才是假的，其余都是真假的，其余都是真，即

8、，即 pqpq。真值表如下：。真值表如下： p q pp q pq q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1第11页/共33页第十一页，共33页。50 等价（当且仅当）等价（当且仅当） 给定命题给定命题 p、q，用逻辑联结词“，用逻辑联结词“当当 且仅当且仅当”联结起来得到的新命题“”联结起来得到的新命题“p 当且仅当当且仅当 q”称为等价式，记作”称为等价式，记作 “pq”只有当”只有当 p、q 同真或同同真或同 假时，假时，p q 才为真，其余情况为假才为真，其余情况为假。 其真值表如下：其真值表如下： p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 第12页

9、/共33页第十二页，共33页。 注注意意，等等价价式式与与逻逻辑辑等等价价不不一一样样， 等等价价式式是是由由p、q构构成成的的一一个个新新命命题题， 而而逻逻辑辑等等价价是是指指两两个个命命题题具具有有真真值值 完完全全相相同同的的关关系系，即即 pq。 第13页/共33页第十三页，共33页。二、命题运算应用举例二、命题运算应用举例 运用以上的五种逻辑运用以上的五种逻辑(lu j)联词及真值联词及真值表，可以进行命题的多种复合运算。在表，可以进行命题的多种复合运算。在运算的过程中，还要应用逻辑运算的过程中，还要应用逻辑(lu j)运运算律，这里不做介绍（可参阅有关的逻算律，这里不做介绍（可参

10、阅有关的逻辑辑(lu j)学文献）。这里介绍中学数学学文献）。这里介绍中学数学中关于命题运算的应用。中关于命题运算的应用。第14页/共33页第十四页，共33页。1命题的四种关系命题的四种关系 首先我们来研究蕴涵式命题的四种首先我们来研究蕴涵式命题的四种形式。形式。 给出一个数学命题给出一个数学命题 若若 p 则则 q，可，可以得到如下四种形式：以得到如下四种形式： 原命题原命题 pq 逆命题逆命题 qp 否命题否命题 逆否命题逆否命题 它们的真值表如下：它们的真值表如下： 第15页/共33页第十五页，共33页。p q pq qp 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0

11、0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 从真值表中得出：pq ， qp 第16页/共33页第十六页，共33页。即原命题与逆否命题逻辑等价； 逆命即原命题与逆否命题逻辑等价； 逆命题与否命题逻辑等价。题与否命题逻辑等价。 如果用命题运算律也可证明上面的如果用命题运算律也可证明上面的等值式：等值式： pq qq ， qp pp q 第17页/共33页第十七页，共33页。将上面的证明结果概括如下：互为逆否关系将上面的证明结果概括如下：互为逆否关系的两个命题是等价的。的两个命题是等价的。 pq 互 逆 qp 互 互 互否 逆 互否 否 否 互 逆 第18页/共33页第十八页，共

12、33页。2 2合并命题(mng t)(mng t) 中学数学教材中是把平行线的两个性质定理分开来叙述的：“若两直线平行，则同位角相等”；“若两直线平行，则内错角相等”，为了简化叙述，可以把这两个定理合并成一个，合并方法如下：设p p：两直线平行；q1q1：同位角相等；q2q2：内错角相等。第19页/共33页第十九页，共33页。两个性质定理的合取式是：两个性质定理的合取式是： （pq1）（）（pq2）（）（p q1）（）（p q2） p （q1q2） p（q1q2） 这就是“若两条直线平行则同位角相等且内错角相这就是“若两条直线平行则同位角相等且内错角相等” 。等” 。 第20页/共33页第二十

13、页，共33页。同样对平行线的两个判定定理： “若同位角相等两直线同样对平行线的两个判定定理： “若同位角相等两直线平行” ； “若内错角相等则两直线平行”的合并如下进行：平行” ； “若内错角相等则两直线平行”的合并如下进行： （q1p）（）（q2p）（）（q1p）（）（q2p） （q1q2）p q1q2 p （q1q2）p 这两个判定定理的合取式是： “两直线被第三条直线所这两个判定定理的合取式是： “两直线被第三条直线所截，若同位角或内错角相等，则两直线平行” 。截，若同位角或内错角相等，则两直线平行” 。 第21页/共33页第二十一页，共33页。3 3逆命题(mng t)(mng t)的

14、制作逆命题(mng t)(mng t)是相对于原命题(mng t)(mng t)而言的一种命题(mng t)(mng t)形式，交换原命题(mng t)(mng t)的题设和结论后即得逆命题(mng t)(mng t)。而当命题(mng t)(mng t)的条件和结论都是合取式时，对等交换条件和结论分支命题(mng t)(mng t)所得的新命题(mng t)(mng t)就不能称作逆命题(mng t)(mng t)，而应称为偏逆命题(mng t)(mng t)。第22页/共33页第二十二页，共33页。 例如：讨论“等腰三角形顶角平分线也是例如：讨论“等腰三角形顶角平分线也是底边的底边的中线和

15、高线”的逆命题和偏逆命题。中线和高线”的逆命题和偏逆命题。 解：如图，将原命题可写为下面的形式：解：如图，将原命题可写为下面的形式： （AB=AC）（AD 平分A） A （AD 平分 BC）（ADBC） B D C 第23页/共33页第二十三页，共33页。其其逆逆命命题题是是： 其其偏偏逆逆命命题题是是： 第24页/共33页第二十四页，共33页。43 43 数学推理 一、推理的意义数学中的推理是由一个或几个命题得到一个新命题的思维(swi)(swi)形式。例 如 ： 等 腰 三 角 形 的 两 底 角 相 等 ， 因 为 A B C A B C 是 等 腰 三 角 形 ， 所 以 A B C

16、A B C 两 底 角 相 等 。 这是一个推理，是由、得出一个新命题的推理。第25页/共33页第二十五页，共33页。又如：（1）矩形的对角线相等， （2）正方形是矩形， 所以（3）正方形对角线相等。也是一个推理。从以上的推理可看出，推理的结构是由前提、结论和推理形式三部分组成(z chn)。作为推理出发点的命题，称为前提，如以上两个推理“所以”前面的已知命题都是前提。由前提派生得到的新命题，称为结论。第26页/共33页第二十六页，共33页。以上推理(tul)中，“所以”后面的命题是结论。由前提派生结论的方式，即前提与结论之间的联系关系，称为推理(tul)形式。推理(tul)形式是舍去具体的推

17、理(tul)内容，由特定形式的命题排列而成的，如上面两个例题中具有共同的推理(tul)形式：pq，spsq第27页/共33页第二十七页，共33页。按推理中表现的思维进程看，有以下三种情况的推理，从一般到特殊的推理、从特殊到一般的推理、从特殊到特殊的推理。由此可将推理分为演绎推理、归纳推理(u n tu l)和类比推理。第28页/共33页第二十八页，共33页。二、推理规则二、推理规则 正确的推理形式称为推理规则，中学数学中常用的正确的推理形式称为推理规则，中学数学中常用的推理规则有：推理规则有： 规则规则 1 1 若若 p pq q 真，且真，且 p p 真，则真，则 q q 真。即：真。即：

18、（p pq q）p pq q。 规则规则 2 2 若若 p pq q 真，且真，且 q qr r 真，则真，则 p pr r 真。即：真。即： （p pq q）（）（q qr r）p pr r 。 规则规则 3 3 若若 p pq q 真，则真，则 p p 真；若真；若 p pq q 真，则真，则 q q 真。真。即：即： （p pq q）p p； （p pq q）q q。 规则规则 4 4 若（若（p pq q）真，且）真，且 p p 真，则真，则 q q 真。即：真。即： （ppq q） ） p pq q。 同样有：（。 同样有：（p pq q） ） q q p p。 第29页/共33页第二十九页，共33页。规则规则 5 5 若若 p pq q 真，且真，且 q q 真，则真，则 p p 真。即：真。即： （p pq q） q q p p。 规则规则 6 6 若集合若集合 A A 中的每一个元素中的每一个元素 x x，都具有属性，都具有属性 P P，则，则集合集合 A A 中的任一非空子集中的任一非空子集 B B 中的每一个元素中的每一个元素 y y 也具有属性也具有属性P P。 即：即： x