数学方向导数与梯实用教案

1、一、方向(fngxing)导数讨论讨论(toln)函数沿某个方向的函数沿某个方向的变化率变化率第1页/共41页第一页，共41页。( , ),zf x y 000(,)MxyoyxlMxy0Mcos ,cosl 00(cos ,cos)M xy0lM M cos ,cosxy 第2页/共41页第二页，共41页。第3页/共41页第三页，共41页。0000(cos ,cos)(,)zf xyf xy l 沿沿方方向向的的增增量量z l 沿方向 的平均变化率000( , )(,)zf x yMxy函数在点(cos ,cos)l沿方向的方向导数：0000000(,)(cos ,cos)(,)limxyf

2、 xyf xyfl第4页/共41页第四页，共41页。函数(hnsh)( , )zf x y在点 沿方向(fngxing)000(,)Mxy(cos ,cos)l的方向(fngxing)导数：00000(cos ,cos)(,)limf xyf xyflzl是函数 z=f(x,y) 在点 M0(x0,y0)沿方向(cos ,cos)l对的变化率。或者说它是曲面 z=f(x,y) 在点 M0(x0,y0)沿方向l 倾斜程度（坡度）。第5页/共41页第五页，共41页。第6页/共41页第六页，共41页。方向方向(fngxing)导数与偏导导数与偏导数数若偏导数 存在， 则,ffxyffxl其中(qzh

3、ng)(1,0)liX轴正向(zhn xin)ffyl其中(0,1)ljY轴正向00000(cos ,cos)(,)limf xyf xyfl00000(,)(,)limff xx yf xyxx第7页/共41页第七页，共41页。方向(fngxing)导数是单向导数（因为0）(类似(li s)于一元函数的单侧导数)偏导数(do sh)是双向导数(do sh)（因为x 可正负）因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，并不能保证该点的偏导数存在。第8页/共41页第八页，共41页。例 求函数 在原点沿任何方向(fngxing)的方向(fngxing)导数。22zxy解： 设方向(fngxing

4、)向量为cos ,cos l0( cos ,cos)(0,0)limzffl 220( cos )( cos)0lim0lim1即函数 （圆锥面）在原点沿任何方向的方向导数都为1.22zxy第9页/共41页第九页，共41页。即函数 （圆锥面）在原点沿任何方向的方向导数都为1.22zxytan14zl但是函数 在原点的偏导数不存在。22zxy第10页/共41页第十页，共41页。 是上半圆(bnyun)锥面22zxy圆锥面在顶点(dngdin)无切平面。第11页/共41页第十一页，共41页。证明证明(zhngmng)由于函数由于函数(hnsh)可微，则增量可表可微，则增量可表示为示为)(),(),

5、( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到(d do)利用偏导数计算方向导数的公式第12页/共41页第十二页，共41页。coscos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向故有方向(fngxing)导导数数 ),(),(lim0yxfyyxxf coscos .ffxy lf第13页/共41页第十三页，共41页。解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz1112 ()22 lz.22 第14页/共41页第十四页，共41页。解解(1,1)(1,1)cos(1,1)cosxyfffl由方向由方向(fngxi

6、ng)导数的计算公导数的计算公式知式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 2第15页/共41页第十五页，共41页。),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，（2）当当45 时时，（3）当）当43 和和47 时，时，(1,1)(1,1)cos(1,1)cosxyfffl第16页/共41页第十六页，共41页。0000000000(,)(cos ,cos ,cos )( ,)lim,x y zf xyzf x y zfl推广可得三元推广可得三元(sn yun)函数方向导数的定函数方向导数的定义义.coscoscos zfyfxflf 第

7、17页/共41页第十七页，共41页。例例3. 设设是曲面(qmin)n在点 P(1, 1, 1 )处指向(zh xin)外侧的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14Puz Pnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn第18页/共41页第十八页，共41页。二、梯度二、梯度(t d):?P问问题题 函函数数在在点点沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快其中(qzhng),xy 称为向量微

8、分(wi fn)算子或 Nabla算子.第19页/共41页第十九页，共41页。cossinffflxy, cos ,sin ffxy( , )gradf x yl,cos| ),(| yxgradf 因此梯度向量 是使函数在一点的方向导数 达到最大值的方向,ffxy第20页/共41页第二十页，共41页。cossinffflxy,cos| ),(| yxgradf 00(,)|( , )|xyfgradf x yl 00(,)|( , )|cos0 xyfgradf x yl00(,)|( , )|xyfgradf x yl第21页/共41页第二十一页，共41页。梯度是一个向量最大方向导数的方向

9、处取得在点它是函数),(),(yxyxfz :最大方向导数为第22页/共41页第二十二页，共41页。),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得所得(su d)曲线在曲线在xoy面上投影如图面上投影如图2梯度的几何梯度的几何(j h)解释解释第23页/共41页第二十三页，共41页。所得曲线所得曲线(qxin)在在xoy面上投影为平面上投影为平面曲线面曲线(qxin)( , ).f x yc称为称为(chn wi)函数函数 的的等值线等值线( , )zf x y方程方程(fngchng)两边微分：两边微分：( , )

10、( )df x yd c0,ffdxdyxy, ,0ffdx dyxy, ( , ) dx dyf x yC向量是等值线的切向量,ffxy梯度向量与等值线垂直。或者说：或者说： 梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。第24页/共41页第二十四页，共41页。oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值线等值线),(yxgradf梯度梯度(t d)为等值线上的为等值线上的法向量法向量P第25页/共41页第二十五页，共41页。.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数类似于二元函数(hnsh)，此梯度也是一，此梯度也是一个向量，其方向

11、与取得最大方向导数的方向一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值致，其模为方向导数的最大值.梯度梯度(t d)的概念可以推广到三元函数的概念可以推广到三元函数第26页/共41页第二十六页，共41页。三元函数梯度三元函数梯度(t d)的几何解释：的几何解释：三元三元(sn yun)函数函数 的等值的等值面：面：( , , )uf x y z:( , , )f x y zc由切平面由切平面(pngmin)的讨论，知梯度的讨论，知梯度grad,ffffxyz是等值面是等值面在点在点(x,y,z)处的法向量。处的法向量。故梯度向量故梯度向量grad,ffffxyz在任何点都

12、垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。面指向函数值较大的等值面。第27页/共41页第二十七页，共41页。梯度的运算梯度的运算(yn sun)律律类似于导数的运算类似于导数的运算(yn sun)律律P108，题，题90,c ()uvuv ()cuc u ()uvv uu v ( ( )( )f uf uu2( )uu vv uvv 其中其中(qzhng)C为为常数。常数。第28页/共41页第二十八页，共41页。解解由梯度由梯度(t d)计算公式得计算公式得grad ( , , )uuuu x y zijkxyz,6

13、)24()32(kzjyix 故故grad (1,1,2)5212 .uijk在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.第29页/共41页第二十九页，共41页。例例5. 设函设函数数(hnsh)解解: (1) 点点P处切平面处切平面(pngmin)的法向的法向量为量为0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在点在点 P(1,1,1) 处的切平面处的切平面(pngmin)方程方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2) 求函数求函数 f 在点在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数沿增加最快方向的方向导数.(1) 求等值面求等值面 2),(zyxf)0, 1,

14、 2(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多)(Pf第30页/共41页第三十页，共41页。向量场 Vector Fields第31页/共41页第三十一页，共41页。）数量场（fieldScalar ) 1 (3),(RGzyxRGf:),(),( :zyxfzyxf上的数量场确定一个上的一个三元函数GzyxfG),(),(:zyxTT 温度场),(zyx密度场：第32页/共41页第三十二页，共41

15、页。) ()2(fieldVector向量场3),(RGzyxM3:RGF)()(),(),(:MFMRMQMPMFkMRjMQiMPMF)()()()(上的向量场确定一个上的三个三元函数GzyxRzyxQzyxPG),(),(),()(),(),()(MRMQMPMF力场：)(),(),()(MRMQMPMF磁场：)(),(),()(MRMQMPMv速度场：第33页/共41页第三十三页，共41页。）梯度场（fieldvectorGradient ) 3(上的三元函数是设3),(RGzyxf),(),(zyxfzyx：向量场)(),(),(MfMfMfzyx的梯度场称为f的梯度场：例如：函数3

16、2),(yyxyxf,),(yxffyxf3,222yxxy第34页/共41页第三十四页，共41页。) ()4(fieldveConservati保守场梯度场：是某一个函数的是保守场，如果一个向量场FF使得即 f,),(zfyfxfzyxfF的势函数。称为数保守场也称为势场，函Ff第35页/共41页第三十五页，共41页。1、方向、方向(fngxing)导导数的概念数的概念（注意方向导数（注意方向导数(do sh)与一般所说偏导数与一般所说偏导数(do sh)的区别）的区别）三、小结三、小结(xioji) 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为cosco

17、scoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin第36页/共41页第三十六页，共41页。2、梯度、梯度(t d)的概念的概念（注意（注意(zh y)梯度是一个向量）梯度是一个向量） 三元(sn yun)函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点第37页/共41页第三十七页，共41页。3、方向、方向(fngxing)导数与梯度的关系导数与梯度的关系f(x,y)数这点长梯度的方向就是函在增最快的方向.方向(fngxing)导数存在偏导数(do s