数学直线与平面垂直判定与性质实用教案

1、 【高考链接】 1以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合 2以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间(kngjin)想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力 3能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间(kngjin)中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题第1页/共32页第一页，共32页。 【要点】 1垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，是高考(o ko)的热点，是复习的重点纵观历年来的高考(o ko)题，立体几何中没有难度过大的题，复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力 2

2、要重视和研究数学思想、数学方法在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口第2页/共32页第二页，共32页。 1直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理：如果(rgu)一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 推论：如果(rgu)在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 (2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一直线的两平面平行知识(zh shi)梳理第3页/共32页第三页，共32页。

3、 2斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角 3平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理：如果一个(y )平面过另一个(y )平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个(y )平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个(y )平面第4页/共32页第四页，共32页。 三类证法 (1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几 何中证明线线垂直的方法； 线面垂直的性质(xngzh)：a，bab；线面垂直的性质(xngzh)：a，bab. (2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定

4、义：a与内任何直线都垂直a；判定定理1：l； 判定定理2：ab，ab；面面平行的性质(xngzh)：，aa； 面面垂直的性质(xngzh)：，l，a，ala. (3)证明面面垂直的方法 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.第5页/共32页第五页，共32页。题型一 直线与平面(pngmin)(pngmin)垂直的判定与性质 如图所示, ,已知PAPA矩形ABCDABCD所在平面(pngmin),(pngmin), M M，N N分别是ABAB，PCPC的中点. . (1) (1)求证：MNCDMNCD； (2) (2)若PDA=45PDA=45. . 求证：MNMN

5、平面(pngmin)PCD.(pngmin)PCD. (1) (1)因M M为ABAB中点, ,只要证ANB ANB 为等 腰三角形, ,则利用等腰三角形的性质可得MNAB.MNAB. (2) (2)已知MNCDMNCD，只需再证MNPC,MNPC,易看出 PMCPMC为等腰三角形，利用N N为PCPC的中点，可 得MNPC.MNPC.题型分类题型分类(fn li) (fn li) 深度深度剖析剖析第6页/共32页第六页，共32页。证明证明 （1 1）连接）连接ACAC，ANAN，BNBN，PAPA平面平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，PAACPAAC，在在RtRtPACP

6、AC中，中，N N为为PCPC中点，中点，PAPA平面平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，PABCPABC，又，又BCABBCAB，PAAB=APAAB=A，BCBC平面平面(pngmin)PAB(pngmin)PAB，BCPBBCPB，从而在从而在RtRtPBCPBC中，中，BNBN为斜边为斜边PCPC上的中线，上的中线， AN=BN AN=BN，ABNABN为等腰三角形，为等腰三角形，又又M M为底边为底边ABAB的中点，的中点，MNABMNAB，又又ABCDABCD，MNCD.MNCD.21PCAN .21PCBN 第7页/共32页第七页，共32页。(2)(2)连接PM

7、PM、CM,PDA=45CM,PDA=45,PAAD,PAAD,AP=AD.AP=AD.四边形ABCDABCD为矩形，AD=BCAD=BC，PA=BC.PA=BC.又MM为ABAB的中点，AM=BM.AM=BM.而PAM=CBM=90PAM=CBM=90,PM=CM.,PM=CM.又N N为PCPC的中点，MNPC.MNPC.由（1 1）知，MNCDMNCD，PCCD=C,PCCD=C,MNMN平面PCD.PCD. 垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往(wngwng)(wngwng)需

8、要将分析与综合的思路结合起来. .第8页/共32页第八页，共32页。知能迁移1 Rt1 RtABCABC所在平面外一点(y din)S,(y din)S,且SA=SB=SA=SB= SC SC，D D为斜边ACAC中点. . （1 1）求证：SDSD面ABCABC； （2 2）若AB=BCAB=BC，求证：BDBD面SAC.SAC. 证明 （1 1）如图所示，取ABAB中点E E， 连结SESE，DEDE， 在RtRtABCABC中，D D、E E分别为ACAC、 AB AB的中点，故DEBCDEBC，且DEAB,DEAB, SA=SB SA=SB， SABSAB为等腰三角形，SEAB.SEA

9、B. SEAB SEAB，DEABDEAB，SEDE=ESEDE=E， AB AB面SDE.SDE.而SDSD面SDESDE，ABSD.ABSD.第9页/共32页第九页，共32页。在SACSAC中，SA=SCSA=SC，D D为ACAC中点(zhn din)(zhn din)，SDAC.SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SDSDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC.ABC.（2 2）若AB=BCAB=BC，则BDACBDAC，由（1 1）可知，SDSD面ABCABC，而BDBD面ABCABC，SDBDSDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BDSDBD,BDAC,SDAC=

10、D,BD面SAC.SAC.第10页/共32页第十页，共32页。题型二 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥PABCDPABCD 中，平面PADPAD平面ABCDABCD，ABDCABDC， PADPAD是等边三角形, ,已知BD=2AD=8BD=2AD=8， AB=2DC=4 . AB=2DC=4 . (1) (1)设M M是PCPC上的一点， 证明：平面MBDMBD平面PADPAD； (2) (2)求四棱锥PABCDPABCD的体积. . (1) (1)因为两平面垂直与M M点位置(wi zhi)(wi zhi)无 关，所以在平面MBDMBD内一定有一条直线垂直于 平面PADPAD，考虑

11、证明BDBD平面PAD.PAD. (2) (2)四棱锥底面为一梯形, ,高为P P到面ABCDABCD的距离. .5第11页/共32页第十一页，共32页。(1)(1)证明(zhngmng) (zhngmng) 在ABDABD中,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD2+BD2=AB2.ADBD.AD2+BD2=AB2.ADBD.又面PADPAD面ABCDABCD，面PADPAD面ABCD=ADABCD=AD，BDBD面ABCDABCD，BDBD面PAD.PAD.又BDBD面BDMBDM，面MBDMBD面PAD.PAD.(2)(2)解 过P P作POADPOAD，面

12、PADPAD面ABCDABCD，POPO面ABCDABCD，即POPO为四棱锥PABCDPABCD的高. .又PADPAD是边长为4 4的等边三角形，PO=PO=. 325第12页/共32页第十二页，共32页。在底面四边形ABCDABCD中，ABDCABDC，AB=2DCAB=2DC，四边形ABCDABCD为梯形. .在RtRtADBADB中，斜边ABAB边上(bin shn)(bin shn)的高为此即为梯形的高. . 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线. .把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等. .,5585484.

13、 316322431.2455825452ABCDPABCDVS四边形第13页/共32页第十三页，共32页。知能迁移(qiny)2 (qiny)2 在斜三棱柱A1B1C1ABCA1B1C1ABC中，底面是等腰 三角形，AB=ACAB=AC，侧面BB1C1CBB1C1C底面ABC.ABC. (1) (1)若D D是BCBC的中点，求证：ADCC1ADCC1； (2) (2)过侧面BB1C1CBB1C1C的对角线BC1BC1的平面交侧棱于 M, M,若AM=MA1,AM=MA1,求证：截面MBC1MBC1侧面BB1C1C.BB1C1C. 证明 (1)AB=AC,D (1)AB=AC,D是BCBC的

14、中点,ADBC.,ADBC. 底面ABCABC平面BB1C1CBB1C1C， 面ABCABC面BB1C1C=BCBB1C1C=BC， AD AD侧面BB1C1C.BB1C1C. CC1 CC1面BB1C1CBB1C1C，ADCC1.ADCC1.第14页/共32页第十四页，共32页。（2 2）延长(ynchng)B1A1(ynchng)B1A1与BMBM交于N N，连结C1N.C1N.AM=MA1AM=MA1，NA1=A1B1.NA1=A1B1.A1B1=A1C1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.C1NC1B1.截面NB1C1NB1C1侧

15、面BB1C1CBB1C1C，面NB1C1NB1C1面BB1C1C=C1B1BB1C1C=C1B1，C1NC1N侧面BB1C1C.C1NBB1C1C.C1N面C1NBC1NB，截面C1NBC1NB侧面BB1C1C.BB1C1C.即截面MBC1MBC1侧面BB1C1C.BB1C1C.第15页/共32页第十五页，共32页。题型三 线面角的求法 （1212分）如图所示，在四棱锥(lngzhu)P(lngzhu)P ABCD ABCD中，底面为直角梯形，ADBCADBC， BAD=90 BAD=90，PAPA底面ABCD,ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M PA=AD=AB=2BC,M、N N分

16、别为PCPC、PBPB的中点. . （1 1）求证：PBDMPBDM； （2 2）求BDBD与平面ADMNADMN所成的角. . （1 1）易证PBPB平面ADMN.ADMN. （2 2）构造直线和平面所成的角，解三角形. . （1 1）证明 N N是PBPB的中点，PA=ABPA=AB， ANPB.BAD=90 ANPB.BAD=90，ADAB.ADAB. PA PA平面ABCDABCD，PAAD.PAAD.第16页/共32页第十六页，共32页。PAAB=APAAB=A，ADAD平面(pngmin)PAB(pngmin)PAB，ADPB.4ADPB.4分又ADAN=AADAN=A，PBPB平

17、面(pngmin)ADMN.(pngmin)ADMN. 平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，PBDM. 6PBDM. 6分（2 2）解 连接DNDN，PBPB平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，BDNBDN是BDBD与平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角，8 8分在RtRtBDNBDN中， 10 10分BDN=30BDN=30, ,即BDBD与平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角为3030. 12. 12分,212221sinABABBDBNBDNDM第17页/共32页第十七页，共32页。 求直线和平面所成的角

18、，关键是利用定义作出直线和平面所成的角. .必要时，可利用平行线与同一(tngy)(tngy)平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影. .知能迁移3 3 如图所示，四面体ABCSABCS中， SA SA、SBSB、SCSC两两垂直，SBA=45SBA=45， SBC=60 SBC=60，M M为ABAB的中点. .求： （1 1）BCBC与平面SABSAB所成的角； （2 2）SCSC与平面ABCABC所成的角的正切值. .第18页/共32页第十八页，共32页。解解 （1 1）SCSBSCSB，SCSASCSA，SBSA=SSBSA=S，SCSC平面平面(pngmin)S

19、AB(pngmin)SAB，BCBC在平面在平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB上的射影为上的射影为SB.SB.SBCSBC为为BCBC与平面与平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB所成的角所成的角. .又又SBC=60SBC=60, ,故故BCBC与平面与平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB所成的角为所成的角为6060. .（2 2）连结）连结MCMC，在，在RtRtASBASB中，中，SBA=45SBA=45，ASBASB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，SMABSMAB，由（由（1 1）知）知ABSCABSC，ABSM=MABSM=M，ABAB平面平面

20、(pngmin)SMC(pngmin)SMC，第19页/共32页第十九页，共32页。 平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC平面(pngmin)SMC(pngmin)SMC平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.过点S S作SOMCSOMC于点O O，SOSO平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.SCMSCM为SCSC与平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角. .由（1 1）知SCSC平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，又 平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，SCSMSCSM，SMCSMC为直角三角形. .设SB

21、=aSB=a，即SCSC与平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角的正切值为 . .,360tan,22aSBSCaSM则.66tanSCSMSCM66ABSM第20页/共32页第二十页，共32页。题型四 二面角的求法 如图所示，三棱锥PABCPABC中， D D是ACAC的中点，PA=PB=PC= PA=PB=PC= ， AC=2 AC=2 ，AB= AB= ，BC= .BC= . （1 1）求证：PDPD平面ABCABC； （2 2）求二面角PABCPABC的正切(zhngqi)(zhngqi)值大小. . （1 1）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直.

22、 . （2 2）关键是找出二面角的平面角，由AP=PBAP=PB， 可考虑取ABAB的中点E.E.2526第21页/共32页第二十一页，共32页。（1 1）证明(zhngmng) (zhngmng) 连结BDBD，DD是ACAC的中点，PA=PC= PA=PC= ，PDAC.PDAC.AC= AC= ，AB= AB= ，BC= BC= ，AB2+BC2=AC2.AB2+BC2=AC2.ABC=90ABC=90，即ABBC.ABBC.PD2=PA2-AD2=3PD2=PA2-AD2=3，PB= PB= ，PD2+BD2=PB2.PDBD.PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=DACBD=D

23、，PDPD平面ABC.ABC.52226.221ADACBD5第22页/共32页第二十二页，共32页。（2 2）解 取ABAB的中点E E，连结DEDE、PEPE，由E E为ABAB的中点知DEBCDEBC，ABBCABBC，ABDE.ABDE.PDPD平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC，PDAB.PDAB.又ABDEABDE，DEPD=DDEPD=D，ABAB平面(pngmin)PDE(pngmin)PDE，PEAB.PEAB.PEDPED是二面角PABCPABC的平面(pngmin)(pngmin)角. .在PEDPED中， PDE=90 PDE=90, ,二面角PABCPA

24、BC的正切值为 . ., 3,2621PDBCDE. 2tanDEPDPED2第23页/共32页第二十三页，共32页。 找二面角的平面角常用的方法有: :(1)(1)定义法：作棱的垂面，得平面角. .(2)(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质, ,取中线. .知能迁移(qiny)4 (qiny)4 如图所示，四棱锥PP ABCD ABCD的底面ABCDABCD是直角梯形， PA PA平面ABCDABCD，且ADBCADBC， ADDC, ADDC,ADCADC和ABCABC均为等腰直角三角形, , 设PA=AD=DC=aPA=AD=DC=a，点E E为侧棱PBPB上一点， 且BE=2EP.B

25、E=2EP. （1 1）求证：平面PCDPCD平面PADPAD； （2 2）求证：直线PDPD平面EACEAC； （3 3）求二面角BACEBACE的余弦值. .第24页/共32页第二十四页，共32页。（1 1）证明 PA PA平面ABCDABCD，DCDC平面ABCDABCD，DCPA.DCPA.又ADDCADDC，且PAPA与ADAD是平面PADPAD内两相交(xingjio)(xingjio)直线，DCDC平面PAD.PAD.又DCDC平面PCDPCD，平面PCDPCD平面PAD.PAD.（2 2）证明 连结BDBD，设BDBD与ACAC相交(xingjio)(xingjio)于点F F

26、，连结EFEF，在等腰直角ADCADC中，ADDCADDC，.4ACDDAC第25页/共32页第二十五页，共32页。又ADBCADBC，ACB=DAC=ACB=DAC=又ABCABC为等腰直角三角形，且底面ABCDABCD是直角梯形， （若BB为直角，则与底面ABCDABCD是直角梯形相矛盾）. .由AD=DC=aAD=DC=a，易知AB=AC= aAB=AC= a，BC=2aBC=2a，BCADBCAD且BC=2ADBC=2AD，BF=2FD.BF=2FD.又BE=2EPBE=2EP，PDEF.PDEF.又EFEF平面(pngmin)EAC(pngmin)EAC，PDPD平面(pngmin)

27、EAC(pngmin)EAC，直线PDPD平面(pngmin)EAC.(pngmin)EAC.42BAC2第26页/共32页第二十六页，共32页。（3 3）解 过点E E作EHPAEHPA交ABAB于H H点，则EHEH平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，又ABACABAC，EAAC.EAAC.EAHEAH为二面角BACEBACE的平面(pngmin)(pngmin)角. .BE=2EPBE=2EP，即二面角BACEBACE的余弦值为 . .3231aABAH, 2tan,3232AHEHEAHaPAEH又,33cosEAH33第27页/共32页第二十七页，共32页。方法与技巧1.1.证明线面垂直的方法 （1 1）线面垂直的定义：a a与