数学建模统计模型学习教案

1、会计学1数学建模统计数学建模统计(tngj)模型模型第一页，共65页。2销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)价差(元)销售量(百万支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26第2页/共65页第二页，共65页。32. 基本(jbn)模型011yx201222yxx 55.566.577.577.588.599.510 x2y-0.677.588.599.510 x1yv y 公司牙膏销售量v x1其它(qt)厂家与本公司价格

2、差v x2公司广告费用解释变量(binling)(回归变量(binling), 自变量(binling) 被解释变量（因变量） v 多元回归模型22322110 xxxy第3页/共65页第三页，共65页。4b , bint , r , rint , stats = regress( y , X , alpha )statistics toolbox01 122nnyxxx解释变量(binling)：矩阵显著性水平(shupng)：0.05 系数估计值 置信区间 残差向量y-xb 置信区间 被解释变量：列检验统计量：R2,F,p 随机误差：正态分布均值为零回归系数x=1 2221xxx3. 模型

3、求解由数据 y,x1,x2估计x=ones(size(x1),x1,x2,x2.2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)程序第4页/共65页第四页，共65页。54. 结果(ji gu)分析参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 012320112232yxxx , 故x22项显著(xinzh) 但可将x2保留(boli)在模型中 v 即：2122

4、17.32 1.313.700.35yxxxy的90.54%可由模型确定、 F远超过F检验的临界值、 p远小于=0.05v 显著性 ：整体显著v x2 ：2 置信区间包含零点, 但右端点距零点很近 x2 对因变量 y 的影响不太显著；v 3 显著第5页/共65页第五页，共65页。6v 控制价格(jig)差 x1=0.2元，投入广告费 x2=6.5 百万元销售量预测(yc)区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作库存(kcn)管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 v 若估计 x3=3.9，设定 x4=3.7201122328.2933yxxx (百万支)销售量预测223221

5、10 xxxy价差x1=它厂价x3-公司价x4估计x3，调整x4控制x1预测yv 得 则可以 95%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万 元）以上第6页/共65页第六页，共65页。75. 模型(mxng)改进x1和x2对y的影响(yngxing)独立 20112232yxxx 20112232412yxxxx x 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311 -3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.04260123

6、参数参数估计值置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906 -7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887 -1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p0.0001 s2=0.049030124x1和x2对y的影响有交互作用比较(bjio)：置信区间, R2第7页/共65页第七页，共65页。8比较: 两模型(mxng)销售量预测v 控制价格(jig)差 x1=0.2 元，投入广告费 x2=6.5 百万元21422322110 xxxxxy22322110 xxx

7、y2933.8 y(百万支)区间(q jin) 7.8230，8.7636区间 7.8953，8.7592 3272.8 y(百万支)预测区间长度更短 略有增加 y 第8页/共65页第八页，共65页。9x2=6.5x1=0.2 -0.67.588.59x1y -0.67.588.59x1y 56787.588.599.510 x2y 567888.599.51010.5x2y 20112232 yxxx 20112232412 yxxxx x 6. 比较:两模型(mxng) 与x1, x2的关系y 第9页/共65页第九页，共65页。102221 . 06

8、712. 07558. 72267.301xxyx2223 . 06712. 00513. 84535.321xxyx21422322110 xxxxxy5357. 72x广告(gunggo)投入y （ x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大 56787.588.599.51010.5x1=0.1x1=0.3x2y 1 . 03 . 011xxyy价格优势y 价格差较小广告作用大x1x22122214777. 16712. 06080. 71342.11133.29xxxxxy第10页/共65页第十页，共65页。11多元(du yun)二项式回归命令(mng lng)：rstool（x，

9、y，model, alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量第11页/共65页第十一页，共65页。12完全(wnqun)二次多项式模型 22521421322110 xxxxxxyMATLAB中有命令rstool直接(zhji)求解y ),(543210从输出(shch) Export 可得鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1, x2, 左边窗口显示预测值 及预测区间y Rstool(x,y,model,alpha,xname,yname)第12页/共65页第十二页，共65页。13牙膏(ygo)的销售量 建立统计回归模型(mxng)的基本步骤 根据已知数据从常识(chn

10、gsh)和经验分析, 辅之以作图, 决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式). 用软件(如MATLAB统计工具箱)求解. 对结果作统计分析: R2,F, p, s2是对模型整体评价, 回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性. 模型改进, 如增添二次项、交互项等. 对因变量进行预测.第13页/共65页第十三页，共65页。14非线性回归实例(shl)选讲酶促反应 问题(wnt)研究(ynji)酶促反应（酶催化反应）中嘌呤霉素(处理与否)对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响. 酶促反应由酶作为催化剂催化进行的化学反应生物体内的化学反应绝大多数属于酶促反应酶促反应中酶作为高效催化剂使

11、得反应以极快的速度（1031017倍）或在一般情况下无法反应的条件下进行酶是生物体内进行各种化学反应最重要的因素第14页/共65页第十四页，共65页。15建立(jinl)数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系设计了两个实验酶经过嘌呤霉素处理酶未经嘌呤霉素处理实验数据:底物浓度底物浓度(ppm)(ppm)0.020.060.11反应速反应速度度处理处理764797107123139未处理未处理6751848698115底物浓度底物浓度(ppm)(ppm)0.220.561.10反应速反应速度度处理处处理未处理1311241

12、44158160/第15页/共65页第十五页，共65页。1600.511.5050100150200250经嘌呤霉素处理xy00.511.5050100150200250未经嘌呤霉素处理xyxy011/222 (半速度点)分析(fnx)Michaelis-Menten模型xxxfy21),(待定系数 =(1 , 2)基本模型 酶促反应的速度底物浓度v 酶促反应(fnyng)的基本性质v 底物浓度较小时，反应(fnyng)速度大致与浓度成正比；v 底物浓度很大、渐进饱和时，反应(fnyng)速度趋于固定值数据分析第16页/共65页第十六页，共65页。17解决方案一：线性化模型(mxng) v经嘌

13、呤霉素处理后实验数据(shj)的估计结果 参数参数参数估计值（参数估计值（10-3）置信区间（置信区间（10-3） 15.1073.539 6.676 20.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 pk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1v从状态3不会(b hu)转移到其它状态。n012350a1(n)10.80.7570.72850.12930a2(n)00.180.1890.18350.03260a3(n)00.020.0540.08800.83811第51页/共65页第五十一页，共65页。521,2,(0,1,)nXkn1)(1nakiiki

14、ppkjijij, 2 , 1, 1, 01()ijk kPpPnana)() 1(kipnanakjjiji, 2 , 1,)() 1(1v 基本(jbn)方程12( )( ),( ),( )ka na n a na nnPana)0()(马氏链的基本方程1(), ,1,2,0,1,ijnnpP Xj Xii jn( )(),1,2,0,1,ina nP Xiinv 状态概率v 转移概率第52页/共65页第五十二页，共65页。53Pnana)() 1(wPwv任一状态(zhungti)出发经有限次转移以正概率到达另外任一状态(zhungti),0NN P ,( )()w a nw n 0.8

15、 0.20.7 0.3P) 9/2 , 9/7 (w2211213 . 02 . 07 . 08 . 0wwwwww11kiiw121ww217 . 02 . 0ww w 稳态概率v例1：特征向量定义 对于马氏链，若存在一正整 数N，使其转移矩阵 的N次幂MN0（每一分量均大 于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。第53页/共65页第五十三页，共65页。54QRIPrr0有非零元素(yun s)01)(ssQQIMTe) 1 , 1 , 1 (Meyyyyrk),(21yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数Pnana)() 1(v转移矩阵：n-r个非吸

16、收状态有r个吸收状态第54页/共65页第五十四页，共65页。55背景(bijng)与问题第55页/共65页第五十五页，共65页。56动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求(xqi)超过库存）的概率不同. 第56页/共65页第五十六页，共65页。57Dn第n周需求量：泊松分布(fnb) 1()(0,1,2)!neP Dkkk状态变量：Sn第n周初库存量nnnnnnnSDSDDSS, 3,13 , 2 , 1nS均值为1v 需求量需求量进货量Pnana)() 1(v状态转移矩阵333231232221131211pppppppppP3 , 2 , 1nS第57页/共65页第五十七页，共65页

17、。58368. 0)0() 11(111nnnDPSSPp0) 12(112nnSSPp0.368 00.6320.368 0.368 0.2640.184 0.368 0.448p448. 0) 3()0() 33(133nnnnDPDPSSPp计算(j sun)632. 0) 1() 13(113nnnDPSSPpDn第n周需求量，均值(jn zh)为1的泊松分布 1()/ ! (0,1,2,)enP DkkkDn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019Sn第n周初库存量(状态变量 )状态(zhungti)转移规律 nnnnnnnSDSDDSS,

18、3,13 , 2 , 1nS第58页/共65页第五十八页，共65页。593 , 2 , 1),()(iiSPnani123(,)(0.285,0.263,0.452)ww w w已知初始状态：可预测(yc)第n周初库存量Sn=i 的概率20P n, 状态概率 )452. 0 ,263. 0 ,285. 0()(naPnana)() 1(已知0.368 00.6320.368 0.368 0.2640.184 0.368 0.448p,0NN P正则链正则链稳态概率分布 w 满足 wP=w模型建立 第59页/共65页第五十九页，共65页。60)(nnSDPn充分(chngfn)大时 iw105. 0452. 0019. 0263. 0080. 0285. 0264. 031() ()nnniP Di Si P Si321) 3() 2() 1(wDPwDPwDP(0.285,0.263,0.452)稳态概率分布1()(0,1,2)!neP Dkkk需求 库存从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019第60页/共65页第六十页，共65页。61311(,)(,)innnnnijRjP Dj S