第3章一元函数积分学3-2(第一换元积分法与第二换元积分法(1)) - 副本

1、高等数学A第3章 一元函数积分学3.1.4 3.1.4 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法 中南大学开放式课堂教学3.1 3.1 不定积分不定积分3.1.4 换元积分法换元积分法 第二换元积分法第二换元积分法第一换元积分法第一换元积分法 第二换元积分法应用习例第二换元积分法应用习例18-20第一换元积分法应用习例第一换元积分法应用习例1-17 常见的一些凑微分形式常见的一些凑微分形式基本积分表基本积分表2小结与思考题小结与思考题 换元积分法换元积分法3.1.4 不定积分的换元法不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数不少函数的

2、原函数, 但实际上遇到的积分凭但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法积分方法 不定积分换元法不定积分换元法. 它是在积分它是在积分运算过程中进行适当的变量代换运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的将原来的积分化为对新的变量的积分积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分而后者的积分是比较容易积出的是比较容易积出的. :公式首先看复合函数的导数 )( ),( 上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 则可微的复合函数xFy 它的微分形式为xxxFxFd)()

3、()(d( ),()( 则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?一、第一换元积分法一、第一换元积分法 积分形式不变性积分形式不变性引理引理.)(,)()(,)()(可微可微其中其中则则若若xuCuFduufCxFdxxf 例如例如 xdx2cos,2sinCx 原式变形为原式变形为 xdx2cos211cossin22uxuduuC令.2sin21Cx ( ( )( )dfxxx第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法)定理定理1设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf )(

4、xu 可可导导，则则有有换换元元公公式式.)(CxF 注意注意: .)()1(来凑微分来凑微分选取选取第一换元法关键是适当第一换元法关键是适当xu (2)第一换元法的过程是第一换元法的过程是:dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 实际解题时实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号常常省略上述过程中的第三与第四等号.二、常见的一些凑微分形式二、常见的一些凑微分形式xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑

5、幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常见的一些凑微分形式常见的一些凑微分形式:21(8)(cot )(cot ) (cot )sinfxdxfx dxx 21(9)(arcsin )(arcsin ) (arcsin )1fxdxfx dxx21(10)(arctan )(arctan ) (arctan )1fxdxfx dxx(11)()()xxxxf ee dxf e de21(7)(tan )(tan ) (tan )cosfxdxfx dxx1(6)(ln )(ln ) (ln )fxdxfx dxx例

6、例1 .sin dxxx 计算计算例例2 计算计算.231dxx 例例3 计算计算.)ln21(1dxxx 例例4 计算计算.)1(3dxxx 例例5 计算计算.122dxxa 例例6 计算计算221.dxax例例7 计算计算.122dxax 例例8 计算计算.11dxex 例例9 计算计算.)11(12dxexxx 例例10 计算计算三、第一换元积分法习例三、第一换元积分法习例.dtanxx例例11 计算计算 .cos11 dxx例例12 计算计算.cossin52 xdxx例例13 计算计算.2cos3cos xdxx例例14 计算计算.csc xdx例例15 计算计算 .2arcsin4

7、12dxxx 例例17 ).(,cos)(sin22xfxxf求求设设 例例16 计算计算 101.(1)dxxx例例1.sin dxxx 计算计算解解dxxxdxxx)(sin2sin xdx sin2duuux sin2Cu cos2.cos2 Cxux 例例2 计算计算.231dxx 解解dxx 231dxxx)23(23121 duuux 12123Cu ln21.23ln21Cx )23(23121xdx 例例3 计算计算.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21

8、ln21Cx 例例4 计算计算.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例5 计算计算.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 作为公式作为公式想到公式21duuCu arctan练习题练习题 .25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx )4(3)4(122 xdx练习题练习题 .25812dxxx 例例6 计算计算).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解2)(1daxax)

9、(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例7 计算计算.122dxax 解解dxax 221dxaxaxa)11(21 )(1)(121 axdaxaxdaxaCaxaxa lnln21.ln21Caxaxa 例例8 计算计算.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例9 计算计算.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例10 计算计算tan.xdx解解xxxd

10、cossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似类似 例例11 计算计算解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2sincos1 dxxxdxx22sincossin1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例12 计算解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin3

11、1753Cxxx 注意注意:当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.例例13 计算计算解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx )5(5cos51cos21 xxdxdx例例14 计算计算解解(1) dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22tan2sec2xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcscln

12、Cxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解(2) dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx )(cos1cos12xdx.1cos1cosln21Cxx 同理可得同理可得.tanseclnsec Cxxxdx例例15 计算计算 解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 例例16 101.(1)dxxx解（解（1） 用万能凑幂法用万能凑幂法 ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx10d x1011d10

13、(1)uu u11d10(1)uuuuu1111dln(1)10110uduulu uCuu10101ln101xCx解解(2)xxxd) 1(110 ) 1(d10 xxx10)x10(x解解(3) ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10dx101解解例例17).(,cos)(sin22xfxxf求求设设 xu2sin 令令,1cos2ux ,1)(uuf duuduufuf 1)()(,212Cuu .21)(2Cxxxf 另解另解 )(sin)(sin)(sin222xdxfxf )(sincos22xxd )(sin)sin1 (22xdx.)(sin21sin22

14、2Cxx 问题问题)0( ?22 adxxa方法方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.taxsin 令令,costdtadx dxxa22tdtataacossin222 tdta22cos （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）四、第二换元积分法四、第二换元积分法定理定理 2其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证 设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数

15、，具有原函数，,)()(CxCt 左边左边令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf )(1t CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,注意注意:dtttfdxxftx )()()()1()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (2)一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax (3)以上三种代换称为三角代换以上三种代换称为三角代

16、换.通常通过三角代换去根号通常通过三角代换去根号.,)4(22222222dxxaxaxaxxa 如如也也可可凑凑微微分分用用三三角角代代换换的的积积分分都都并并不不是是所所有有含含.1)5(及及其其他他换换外外还还有有倒倒代代换换第第二二换换元元法法除除了了三三角角代代tx 五、第二换元积分法习例五、第二换元积分法习例例例19 计算计算).0(122 adxax例例20 计算计算).0(122 adxax例例18 计算计算22(0).ax dxa. )0(d22axxa解解 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcos

17、ttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例18 计算计算例例19 计算计算).0(122 adxax解解 令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1tanseclnCtt tax22ax 122lnCaxaax 2,2t.)ln(22Caxx )ln(1aCC例例20 计算计算).0(122 adxax解解 令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1tansecl

18、nCtt tax22ax 122lnCaaxax .ln22Caxx 注意：注意：以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是消去根式是消去根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax tax22ax tax22xa tax22ax 基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 基本积分表基本积分表2公式公式16-24;ln211