理论力学平面任意力系

1、1第三章第三章 平面任意力系平面任意力系231 31 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系向作用面内一点的简化32 32 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程33 33 物体系统的平衡物体系统的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题34 34 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算目录3 定理：可以把作用在刚体上点A的力F F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F F对新作用点B的矩。力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。3.1 平面任意力系向作用面内一点简化ABMABFFFFABF3.1.1 力线平移

2、定理4(b)FFF(a)(b)MF5OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF612nR FFFF平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化平面汇交力系的合成为平面力偶系的合成为12OnMMMM12ni FFFFOxyijMOFR平面汇交力系力，F FR(主矢，作用在简化中心)平面力偶系 力偶，MO (主矩，作用在该平面上)12()()()()OOOnOiMMMM FFFF7 平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。R

3、RRxyxyFF FF+ Fij22()()RxyFFF cos(, )cos(, )xRRyRRFFFFFiFj8 原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。11()()nniOOiyiixiiiMMx Fy F F 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。9AAA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。3.1.3 平面固定端约束AMAFAyFAxFAMA

4、103.1.4 平面任意力系简化结果分析平面任意力系简化结果分析(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。()OOMM FF4F1F2F3ABCD四个力是否平衡？ FR0，MO011(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理 则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF FR 0，MO 0 FR 0，MO 012()ORROMF dMF()OOiMM F结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力

5、系的合力矩定理。F FRdOO从图中可以看出所以由主矩的定义知：()()OROiMM FF13F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：解：取坐标系取坐标系OxyOxy。1 1、求向求向O O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢F FR R ：xx234FF cos60FF cos300.598RF 14Rcos F 0.614

6、RxRFxF、220.794RRxRyFFF , 52 6RFx R R O OA AB BC C x xy y124sin60sin30311 230.76822RyyFFFFF F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m3030606015 求主矩：（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R相同。其作用线与O点的垂直距离为：F FR R / /O OA AB BC C x xy yM Mo oF FR Rd dF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m303

7、06060 OioMMmF5 . 030sin3260cos2432FFFm51. 0MRdo1600ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.2.1 平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一力系的主矢和对任一点的主矩都等于零点的主矩都等于零。即。即1722()() ,()RxyOOiFFFMM F3.2. 2 平衡方程平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零0

8、0()0 xiyiOiFFMF由于所以18解题参考解题参考v1 取研究对象，画受力图。取研究对象，画受力图。v 注意：注意：1）二力杆件）二力杆件 2）平面固定端）平面固定端 v2 建立坐标系，列平衡方程。建立坐标系，列平衡方程。 注意：注意：1）代数量）代数量 2）避免解联立方程）避免解联立方程v3 求解求解 注意：注意：负值的力学含义。负值的力学含义。19例例2 2求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin

9、()BmPabFasinAymPbFa ABCP PabqmABCP PqmF FBF FAyF FAx20解：1、取梁AB为研究对象。2、受力分析如图，其中Q=q.AB=1003=300N；作用在AB的中点C 。B BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx xB BA AD D1m1mq q2m2mM M例题 3-3 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固定铰支A 的反力。213 3、列平衡方程：、列平衡方程：4 4、联立求解：、联立求

10、解： F FD D= 475 N= 475 N F FAxAx= 0= 0 F FAyAy= -175 N= -175 NB BA AD DQ QF FAyAyF FAxAxF FD DC CM My yx x:0 xF0AxF:0yF0AyDFQF :0FmA3202DQFM22分布载荷的合力分布载荷的合力q(x)AB合力大小：合力大小：由合力之矩定理：由合力之矩定理：hxdxlx23 两个特例两个特例(a) 均布均布载荷载荷Ph(b) 三角形分布载荷三角形分布载荷Phlq0qlxx24(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。3.2.3 平衡

11、方程的其它形式25(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三点不能在同一条直线上。26ABCDEFPM例题例题27例悬臂吊车如图所示。横梁例悬臂吊车如图所示。横梁ABAB长长l l2.5 m2.5 m，重量，重量P P1.2 kN1.2 kN，拉杆拉杆CBCB的倾角的倾角a a3030，质量不计，载荷，质量不计，载荷Q Q7.5 kN7.5 kN。求图示位。求图示位置置a a2 m2 m时拉杆的拉力和铰链时拉杆的拉力和铰链A A的约束反力。的约束反力。28解：取横梁AB为研究对象。ABEHP PQ QF FF FAyF FAxaa0 xFsin0(2)AyBCFPFQ(

12、)0AMFcos0(1)AxBCFF0yFsin0(3)2BCFllPQa 从(3)式解出1()13.2 kNsin2BClFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxBCFF代入(2)式解出sin2.1kNAyBCFQPF29CABEHP PQ QF FTF FAyF FAxaasin0(2)AyBCFPFQcos0(1)AxBCFFsin0(3)2BCFllPQa ()0BMF如果再分别取B列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程组合是： 1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,530 Ox

13、y平面平行力系的平衡方程为：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB连线不能与各力的作用线平行。3.2.4 3.2.4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程F F2F F1F F3F Fn31例例 已知：塔式起重机已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量最大起重量)，尺寸如图。求：尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 320)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWF 0AF kN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起重首先考虑

14、满载时，起重机不向右翻倒的机不向右翻倒的Q：空载时，空载时，W=0 由0)(FmA(62)2(22)0BQPF 限制条件为：限制条件为：0BF 解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :333.3 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题平面汇交力系：平面汇交力系：0 xF 0yF 0im力偶系：力偶系：平面平面任意力系任意力系当：独立方程数目独立方程数目= =未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问

15、题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）一、物体系统的平衡一、物体系统的平衡二、静定与静不定问题的概念二、静定与静不定问题的概念我们学过：我们学过：0)(iOFm0yF 0 xF 34 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移谐调条件来求解谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）35PPPPFPFPF36v物体系统平衡问题处理方式物体系统平衡问题处理方式1）首先判断物体系统的静定性。）首先判断物体系统的静定性。2）依题意取两次（以上）的研究对象）依题意取两次（以上）的

16、研究对象3）画出受力图。）画出受力图。4）列方程求解）列方程求解注意注意: :研究对象的选取问题研究对象的选取问题列平衡方程问题列平衡方程问题受力图的问题受力图的问题负值的问题负值的问题37例1求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD38例例2求求A和和B的约束力的约束力ACBD6030MFqllll39例例3

17、 求图示结构固定端的约束反力求图示结构固定端的约束反力。解：先以解：先以BC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为研究对象，受力如图。0:xF0:yF( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx0AxBFFF0AyFqa40例 4 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxDFFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2

18、AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy41130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy451DFF再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq12342例例5 求求A和和B的约束力的约束力AGBCD2134543例7 求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFB

19、xFBy1142AyFqaF44再以AC为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF45ADBCEHFaaaa求支座的约束力求支座的约束力46例例9 图示结构，各杆在图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰处均为铰接，接，B处为光滑接触。在处为光滑接触。在C、D两处分别作用两处分别作用力力P1和和P2，且，且P1P2500 N，各杆自重不计，各杆自重不计，求求F处的约束反力。处的约束反力。2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2解：以DF为研究对象，受力如图。2()0:220E

20、FyMPFF解得：2500 NFyFP P2DEFFEyFFyFFxFEx47最后以杆BG为研究对象，受力如图。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF FGyFBFGBFGxFFyFFx再以整体为研究对象，受力如图。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF P1P2ADEFGBCFAxFAyFB48例 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23B

21、FPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB49EPD2l/3CB下面用不同的方法求铰链 E 的受力。方法1：先以DC为研究对象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC为研究对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy50方法2：分别以ACD和AC为研究对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF联立求解以上两方程即得同样

22、结果。类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF51方法3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示的约束反力和用FEx、FEy表示的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF52ABEDax1234EACBD例例 编号为编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，的四根杆件组成平面结

23、构，其中其中A、C、E为光滑铰链，为光滑铰链，B、D为光滑接触，为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅上作用一铅垂向下的力垂向下的力 F，试证明无论力，试证明无论力 F 的位置的位置 x 如何改如何改变，其竖杆变，其竖杆 1 总是受到大小等于总是受到大小等于F 的压力的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。FNB

24、53ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆2为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。FFNDFCyFCx54F2F1ABCD4.54.53422习题332 构架尺寸如图所示(尺寸单位为m)，不计各杆件自重，载荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及AD两杆所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中A、C处应带有销钉：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF

25、 43145.83kNCDF CD杆受压力。（教材参考答案是87.5 kN)55F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意在C处应带有销钉。()0:BMF122444.5990:5124CDCAFFF 179.19 kNCAF56平面汇交力系：平面汇交力系：0 xF 0yF 0im力偶系：力偶系：平面任意力系：平面任意力系：知识回顾：知识回顾：0)(iOFm0yF 0 xF 受力分析和受力图受力分析和受力图57v物体系统平衡问题处理方式物体系统平衡问题处理方式1）首先判断物体系统的静定性。）首先判断物体系统的静定性。2）依题意取两次（以上）的研究

26、对象）依题意取两次（以上）的研究对象3）画出受力图。）画出受力图。4）列方程求解）列方程求解注意注意: :研究对象的选取问题研究对象的选取问题列平衡方程问题列平衡方程问题受力图的问题受力图的问题负值的问题负值的问题58由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架 3-7 3-7 平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。59工程中的桁架结构工程中的桁架结构60工程中的桁架结构工程中的桁架结构6162桁架桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。63桁架的优点：轻，

27、充分发挥材料性能。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；杆端铰接； 外力作用在节点上。外力作用在节点上。 力学中的桁架模型力学中的桁架模型 ( 三角形有稳定性三角形有稳定性64工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型65说明说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力先把杆都设为拉力,计算结果为负时计算结果为负时,说明是说明是压力压力,与所设方向相反。与所设方向相反。 66

28、 例例14 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中处受一集中荷载荷载F = 10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解解 先以整体为研究对象，受力如图。先以整体为研究对象，受力如图。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF3.4.1 节点法节点法2mF2mABCD3013425AB30134DC5 kNByF5 kNAyFFFByFAyFAx67(2)再分别以节点再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FAyFAxF1F2AF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF节点节点A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF节点节点C1210 kN,8.66 kNFF 3410 kN,10 kNFF 25AB30134DCFFByFAyFAx2m2m68FF3F2F5D520,0 xFFF节点节点D解得解得58.66 kNF