隐函数与参量函数微分法08806PPT学习教案

1、会计学1)(0),(xyyyxF 确定了一元隐函数确定了一元隐函数设设得得代入代入将将0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu则则两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时)(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 记记xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(第1页/共33页将求出的这些导数代入0 dxdu得到关于dxdy的代数方程，即即为为所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隐函数求二阶导数，与上同理求导求导两边再对两边再对在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再将再将),(yxgdxdy 第2页/共33页例1.,00 xyxd

2、xdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解,求求导导方方程程两两边边对对x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第3页/共33页例2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解,求导求导方程两边对方程两边对 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx

3、即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点.第4页/共33页例3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代代入入得得4110 yxy.16110 yxy第5页/共33页补证反函数的求导法则为其反函数为其反函数为直接函数，为直接函数，设设)()(xfyyx 隐隐函函数数确确定定的的一一个个可可视视为为由由方方程程0)()( yxxfy

4、 由隐函数的微分法则求导得求导得两边对两边对方程方程xyx)( dxdyy )(1 )(1ydxdy 第6页/共33页例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求设设 解求导得求导得方程两边对方程两边对x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 第7页/共33页 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例5 求证抛物线ayx 上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a第8页/共33页证求导得求

5、导得两边对两边对方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲线上任一点),(00yx处切线的斜率为0 xxdxdyk 00 xy 切线方程为)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 第9页/共33页000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在两坐标轴上的截距之和为)(0000yxayaxa a 二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦第10页/共33页观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.目的是

6、利用对数的性质简化求导运算。-对数求导法适用范围:.)()(的情形的情形开方和幂指函数开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、多个函数相乘、乘方、xvxu例6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设解等式两边取对数得第11页/共33页xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx例7 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy解这函数的定义域 1, 32, 4 xxx第12页/共33页4 x若若两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln

7、 xxxxy两边对 x 求导得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 第13页/共33页两边对 x 求导得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理32 x若若313121112 xxxxyy例8dxdyyxxy求求设设 解两边取对数得第14页/共33页yxxylnln 两边对 x 求导得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例9dxdyaxaxaxynanaa求求设设)()()(2121 解两边

8、取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 两边对 x 求导得第15页/共33页nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例10.),0(sinyxxyx 求求设设解等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第16页/共33页一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()

9、(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 第17页/共33页三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如 ,22tytx2xt 消去参数22)2(xty 42x xy21 问题: 消参困难或无法消参如何求导?第18页/共33页,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy 参量函数, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得d

10、xdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第19页/共33页,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第20页/共33页例11处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.方程方程解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 第21页/共33页.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线

11、方程为)12( axay)22( axy即即例123222,11ydxydyxdxdytytx 证明证明设设证dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx 第22页/共33页)(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例13设曲线由极坐标方程r=r()所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点处的切线的直角坐标方程 er )2,(2 e第23页/共33页解由极坐标和直角坐标的变换关系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 时时当当 e

12、r sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy时时当当2 切线斜率为12 dxdyk第24页/共33页), 0()2,(22 eeer所对应的直角坐标为所对应的直角坐标为上点上点而而 故切线的直角坐标方程为)0(2 xey 2 eyx 即即例14.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv 第25页/共33页解.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反

13、映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 第26页/共33页00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这

14、样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 第27页/共33页相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例15?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以解0604000m则则水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对 tdtdhhdtdV 38000第28页/共33页,/288003小时小时米米 dtdV,20米时米时当当 h小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率第29页/共33页五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求