复合函数求偏导61768学习教案

1、会计学1复合复合(fh)函数求偏导函数求偏导61768第一页，共29页。一、复合(fh)函数的链式法则 设z=f(u,v)是变量(binling)u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，即 ，如果能构成z是x ,y的二元复合函数如何求出函数(hnsh)z对自变量x，y的偏导数呢？第1页/共28页第二页，共29页。定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏导数(do sh)，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数(do sh)，则复合函数 在点(x,y)处的偏导数(do sh) 存在，且有下面的链式法则：),(),(yxvyxu复合(fh)函数的结构图是第2页/共28页第三页，共29

2、页。公式(gngsh)(1)给出z对x的偏导数是 公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即xz (1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是 ，第二条是 ，所以公式(*)由两项组成.zvxzux 第3页/共28页第四页，共29页。 (2)公式(*)每项偏导数乘积(chngj)因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 ,有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数 与 的乘积(chngj). 复合函数

3、结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接(zhji)写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.第4页/共28页第五页，共29页。下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏导数(do sh)公式.1、设z=f(u,v,w)有连续(linx)偏导数，而 都有偏导数，求复合函数的偏导数 .第5页/共28页第六页，共29页。 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应(xingyng)自变量的偏导数乘积，即同理可得到，(3

4、) .ywwzyvvzyuuzyz第6页/共28页第七页，共29页。2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数(do sh)，而 都有偏导数(do sh)，求复合函数的偏导数(do sh) .第7页/共28页第八页，共29页。借助于结构图，可得第8页/共28页第九页，共29页。3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数(do sh)，而 可导，则复合函数只是自变量x的函数，求z对x的导数(do sh) .可得(5) .ddddddxvvzxuuzxz第9页/共28页第十页，共29页。 在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为(chngwi)x的一元复合函数.因此，z对x的导数 又称为z对x的

5、全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数应写成 ，而不能写成 .xzdd 公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成.dddddd xuuzxz这正是一元复合函数的求导公式.第10页/共28页第十一页，共29页。4.设函数(hnsh)z=f(x,v)有连续偏导数， 有偏导数，求复合函数(hnsh) 的偏导数 . 自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条，于

6、是 的偏导数公式应是：yzxz, (6) . yvvfyzxvvfxfxz，第11页/共28页第十二页，共29页。 注意： 这里(zhl)的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为 .xfxz 第12页/共28页第十三页，共29页。., yzxz例1 设 求,sineyxvxyuvzu解法(ji f)1 得第13页/共28页第十四页，共29页。解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间(zhngjin)变量u，v，用x，y代入

7、，则得到 ，z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得)sin(eyxzxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy第14页/共28页第十五页，共29页。例2 设 ，其中(qzhng)f(u,v)为可微函数，求解 令 ，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.vzuz,第15页/共28页第十六页，共29页。例3 设 ，其中(qzhng)f(u,v,w)为可微函数，求解 令 可得.,2xyztxyvxu第16页/共28页第十七页，共29页

8、。例4 设 求解 可得在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的.xfxz 显然不等于 .xz 第17页/共28页第十八页，共29页。例5 设 求tyyztxxztzdddddd解 得第18页/共28页第十九页，共29页。例6 设z=f(x,xcosy)，其中(qzhng)f(u,v)为可微函数，求解 令v=xcosy，得 求复合函数的二阶偏导数，不需要新的方法(fngf)和新的公式，只需把一阶偏导数看作一个新的函数，应用链式法则对它再求偏导数即可.第19页/共28页第二十页，共29页。222,1zyxuuw例7 设 ，求证：证22221dd zyxxuxuuwxw第20页/共28页第二十一页，

9、共29页。由于x，y，z在函数中的地位(dwi)是相同的，所以同样有. 033 )(33 3352223222222uuuzyxuzwywxw因此有第21页/共28页第二十二页，共29页。二、全微分形式不变性 与一元函数的微分形式不变性类似，多元函数全微分也有形式不变性.也就是说不论(bln)u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式是一样的.即这个性质称为(chn wi)全微分的形式不变性. 事实上，设z=f(u,v)有连续(linx)偏导数，当u，v是自变量时，显然(7)式成立.第22页/共28页第二十三页，共29页。 如果u，v是中间(zhngjin)变量，即 ，且这

10、两个函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxvyxu的全微分为,dddyyzxxzz其中. , yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyzxz, 将 代入上式，得第23页/共28页第二十四页，共29页。即，当u，v是中间变量(binling)时，(7)式也成立.这就证明了全微分形式不变性.第24页/共28页第二十五页，共29页。例如，.ddd)(d)()(dvuuvvvuvuuuvvu利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公式(gngsh)，求函数的全微分会更简便些.利用全微分形式不变性，比较容易(rngy)地得出全微分的四则运算公式，第25页/共28页第二十六页，共29页。例8 求 的全微分(wi fn)及偏导数.解222222222)(dd)(dzyxzyxxxzyxu第26页/共28页第二十七页，共29页。例9 设 ，其中f(u,v)有连续(linx)偏导数，求 及解 设xvxyxu22sin, 第27页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结会