第9章优化设计

1、2022-6-211MATLAB 7.0MATLAB 7.0从入从入门到精通门到精通哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学( (威海威海) )汽车工程学院汽车工程学院2022-6-212课程主要内容课程主要内容 第第1章章 MATLAB简介简介 第第2章章 数值运算数值运算 第第3章章 单元数组和结构单元数组和结构 第第4章章 字符串字符串 第第5章章 符号运算符号运算 第第6章章 MATLAB绘图基础绘图基础 第第7章章 程序设计程序设计 第第8章章 计算方法的计算方法的MATLAB实现实现 第第9章章 优化设计优化设计 第第10章章 SIMULINK仿真初探仿真初探2022-6-213第第9章章 优

2、化设计优化设计 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容：优化技术，它包含两个方面的内容： (1)建立数学模型，即用数学语言来描述最优建立数学模型，即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件；问题所要达到的目标和各种约束条件； (2)数学模型求解，数学模型建好以后，选择数学模型求解，数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。合理的最优化方法进行求解。2022-6-2149.1 单变量最小化单变量最小化 函数描述函数描述 功能：找到固定区

3、间内单变量函数的最小功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。值。 x=fminbnd(fun,x1,x2)返回区间返回区间x1,x2上使上使fun函数取得最小值时的函数取得最小值时的x。 x=fminbnd(fun,x1,x2,options)用用options参数参数指定的优化参数进行最小化。指定的优化参数进行最小化。 x,fval=fminbnd(fun,x1,x2)多输出一个最小多输出一个最小函数值函数值fval。 x,fval=fminbnd(fun,x1,x2,options)多输出多输出一个最小函数值一个最小函数值fval。2022-6-215程序实例程序实例 x=fminbnd(

4、dblzxh1,0,2*pi) x = 4.7124 x,fval=fminbnd(dblzxh2,0,5) x = 3 fval = -12022-6-216工程实例工程实例 问题描述：边长问题描述：边长3m正方形铁板，在四角剪正方形铁板，在四角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪能使水槽容积最大。如何剪能使水槽容积最大。 解题思想：假设剪掉边长解题思想：假设剪掉边长x，水槽容积模型，水槽容积模型为为 f(x)=(3-2x)2x 约束条件为约束条件为 2x x,fval=fminbnd(dblzxh3,0,1.5) x = 0.5000 fval

5、= -2.0000 结果分析：从结果中可以得知水槽容积在剪掉结果分析：从结果中可以得知水槽容积在剪掉0.5m时最大为时最大为2m3。2022-6-2189.2 线性规划线性规划 线性规划是处理线性规划是处理线性目标函数和线性目标函数和线性约束的一种线性约束的一种较为成熟的方法，较为成熟的方法，其数学模型为：其数学模型为：ubxlbbeqxAeqbxAxfTxmin2022-6-219 函数描述函数描述 x=linprog(f,A,b)求解求解minf*x，约束，约束A*x f=-5;-4;-6; A=1 -1 1;3 2 4;3 2 0; b=20;42;30; lb=zeros(3,1);

6、x,fval=linprog(f,A,b,lb) Optimization terminated. x = 0.0000 15.0000 3.0000 fval = -78.00002022-6-2112 求解下面问题求解下面问题6, 2 , 1, 0302050607060min655443322161654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzj2022-6-2113 求解程序求解程序2022-6-21142022-6-2115工程实例工程实例 问题描述：问题描述：某厂生产甲乙两种产品，已知某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用资源制成一吨产品甲需用资源A3吨，资源吨，资源

7、B4m3；制成一吨产品乙需用资源制成一吨产品乙需用资源A2吨，资源吨，资源B6m3，资源资源C7个单位。若一吨产品甲和乙的经济个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为价值分别为7万元和万元和5万元，三种资源的限万元，三种资源的限制量分别为制量分别为90吨、吨、200m3和和210个单位，试个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？造的总经济价值最高？2022-6-2116 建立模型：令生产产品甲的数量为建立模型：令生产产品甲的数量为x1，生产产品，生产产品乙的数量为乙的数量为x2。由题意建立如下数学模型。由题意建立如下数学模型。0,

8、0210720064902357max212212121xxxxxxxxxz2157minxxz 先把目标函数转化成求最小值。先把目标函数转化成求最小值。2022-6-21172022-6-21189.3 无约束非线性规划无约束非线性规划 函数描述函数描述 功能：求多变量无约束函数的最小值。功能：求多变量无约束函数的最小值。 x=fminunc(fun,x0)给定初值给定初值x0，求，求fun函数函数的局部极小点的局部极小点x。 x=fminunc(fun,x0,options)用用options参数中参数中指定的优化参数进行最小化。指定的优化参数进行最小化。 x,fval=fminunc(f

9、un,x0)将解将解x处目标函数处目标函数的值返回到的值返回到fval参数中。参数中。 x,fval=fminunc(fun,x0,options)将解将解x处目处目标函数的值返回到标函数的值返回到fval参数中。参数中。2022-6-2119程序实例程序实例 x,fval=fminunc(wuyueshu1,0 0) x = -1.0472 2.6180 fval = 2.40192022-6-2120 fminsearch函数描述函数描述 功能：求解多变量无约束函数的最小值，该函数功能：求解多变量无约束函数的最小值，该函数常用于无约束非线性最优化问题。常用于无约束非线性最优化问题。 x=f

10、minsearch(fun,x0)给定初值给定初值x0，求，求fun函数的局函数的局部极小点部极小点x。 x=fminsearch (fun,x0,options)用用options参数中指参数中指定的优化参数进行最小化。定的优化参数进行最小化。 x,fval=fminsearch (fun,x0)将解将解x处目标函数的值处目标函数的值返回到返回到fval参数中。参数中。 x,fval=fminsearch (fun,x0,options)将解将解x处目标处目标函数的值返回到函数的值返回到fval参数中。参数中。2022-6-2121程序实例程序实例 x,fval=fminsearch(wuy

11、ueshu1,0 0) x = -1.0472 2.6180 fval = 2.40192022-6-21229.4 二次规划二次规划 如果某非线性规划如果某非线性规划的目标函数为自变的目标函数为自变量的二次函数，约量的二次函数，约束条件全是线性函束条件全是线性函数，就称这种规划数，就称这种规划为二次规划。其数为二次规划。其数学模型为：学模型为：ubxlbbeqxAeqbxAxfHxxTT21min2022-6-2123 函数描述函数描述 x=quadprog(H,f,A,b)返回向量返回向量x，最小化上述函数。，最小化上述函数。 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)增加约束

12、增加约束Aeq*x=beq，若没有不等式约束，则若没有不等式约束，则A=，b=。 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lu,ub)增加约束增加约束x的的下界下界lb和上界和上界ub。若无等式约束，则。若无等式约束，则Aeq=，beq=。 x=quadprog(H,f,A,b, Aeq,beq,lu,ub,x0)设置初始设置初始值值x0。 x=quadprog(H,f,A,b, Aeq,beq,lu,ub,x0,options)用用options指定的优化参数进行最小化。指定的优化参数进行最小化。 x,fval=quadprog(.)多返回解多返回解x处的函数值。处的函数值。2

13、022-6-2124程序实例程序实例 求解下面的最优化问题求解下面的最优化问题 21212121212122210 ,0322226221xxxxxxxxxxxxxxxf2022-6-2125 求解程序求解程序 H=1 -1;-1 2; f=-2;-6; A=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;3; lb=zeros(2,1); x,fval=quadprog(H,f,A,b,lb) Optimization terminated. x = 0.6667 1.3333 fval = -8.22222022-6-21269.5 有约束最小化有约束最小化 求多变量有约束非线性函数的最小值，数求

14、多变量有约束非线性函数的最小值，数学模型为：学模型为： ubxlbbeqxAeqbxAxceqxcxfx00min2022-6-2127 函数描述函数描述 x=fmincon(fun,x0,A,b)返回向量返回向量x，最小化上述函，最小化上述函数。数。 x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)增加等式约束，若增加等式约束，若无不等式约束，则无不等式约束，则A=，b=。 x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lu,ub)增加约束增加约束x的的下界下界lb和上界和上界ub。若无等式约束，则。若无等式约束，则Aeq=，beq=。 x=fmincon(fun,x0

15、,A,b, Aeq,beq,lu,ub,nonlcon)其其中中nonlcon中提供非线性不等式中提供非线性不等式c(x)或等式约束或等式约束ceq(x)。 x,fval=fmincon(.)多返回解多返回解x处的函数值。处的函数值。2022-6-2128程序实例程序实例 求下面的最优化问题求下面的最优化问题 321xxxxf7222022321321xxxxxx 约束条件约束条件 目标函数目标函数2022-6-2129 求解程序求解程序 x0=10;10;10; A=-1 -2 -2;1 2 2; b=0;72; x,fval=fmincon(youyueshu11,x0,A,b) x =

16、24.0000 12.0000 12.0000 fval = -3.4560e+0032022-6-2130工程实例工程实例 问题描述：求侧面积为常数问题描述：求侧面积为常数150的体积最大的体积最大的长方体体积。的长方体体积。 解题思路：设长方体的三个边长分别为解题思路：设长方体的三个边长分别为x1、x2、x3，建立上面问题的数学模型，建立上面问题的数学模型000150222max321313221321xxxxxxxxxxxxV2022-6-2131 求解程序求解程序 x0=4;5;6; lb=zeros(3,1); x,fval=fmincon(youyueshu21,x0,lb,you

17、yueshu22) x = 5.0000 5.0000 5.0000 fval = -125.00002022-6-2132工程实例工程实例 问题描述：试设计一压缩圆柱螺旋弹簧，要问题描述：试设计一压缩圆柱螺旋弹簧，要求其质量最小。弹簧材料为求其质量最小。弹簧材料为65M，最大工作，最大工作载荷载荷Pmax=40N，最小工作载荷为，最小工作载荷为0，载荷，载荷变化频率变化频率ft=25Hz，弹簧寿命为，弹簧寿命为104h，弹簧，弹簧钢丝直径钢丝直径d的取值范围为的取值范围为14mm，中径，中径D2的的取值范围为取值范围为1030mm，工作圈数，工作圈数n不应小于不应小于4.5圈，弹簧旋绕比圈，

18、弹簧旋绕比C不应小于不应小于4，弹簧一端，弹簧一端固定，一端自由，工作温度固定，一端自由，工作温度50摄氏度，弹簧摄氏度，弹簧变形量不小于变形量不小于10mm。2022-6-21332022-6-21342022-6-2135 数学模型数学模型 经过上面经过上面的分析步的分析步骤，可以骤，可以把上面的把上面的问题抽象问题抽象到如下的到如下的数学模型数学模型 03001005005 . 4040104037510356. 001044. 05 . 17 . 3010104 . 00163350210192457. 0min3113102928171613523121643324121233332

19、412286. 0386. 21132124xXgxXgxXgxXgxXgxXgxxXgxxxXgxxxxxxXgxxxXgxxXgxxxMXf2022-6-2136 求解程序求解程序 A=-1 0 0;1 0 0;0 -1 0;0 1 0;0 0 -1;0 0 1; b=-1;4;-4.5;50;-10;30; x0=2.0;5.0;25.0; lb=zeros(3,1); warning off x,fval=fmincon(youyueshu31,x0,A,b,lb,youyueshu32)2022-6-2137 x = 1.6564 4.5000 16.1141 fval = 0.00

20、55 结果分析：考虑实际问题，可取钢丝直径结果分析：考虑实际问题，可取钢丝直径1.6，工作圈数，工作圈数5，中径，中径16，带入质量公式之，带入质量公式之后得到最小质量基本等于后得到最小质量基本等于0.0055kg。2022-6-2138 function f=youyueshu31(x) f=0.192457*1e-4*(x(2)+2)*x(1)2*x(3); function c,ceq=youyueshu32(x) c(1)=350-163*x(1)(-2.86)*x(3)0.86; c(2)=10-0.4*0.01*x(1)(-4)*x(2)*x(3)3; c(3)=(x(2)+1.5

21、)*x(1)+0.44*0.01*x(1)(-4)*x(2)*x(3)3-3.7*x(3); c(4)=375-0.356*1e6*x(1)*x(2)(-1)*x(3)(-2); c(5)=4-x(3)/x(1); ceq=;2022-6-21399.6 目标规划目标规划 前面介绍的最优化方前面介绍的最优化方法只有一个目标函数，法只有一个目标函数，是单目标最优化方法。是单目标最优化方法。但是，在许多实际工但是，在许多实际工程问题中，往往希望程问题中，往往希望多个指标都达到最优多个指标都达到最优值，所以它有多个目值，所以它有多个目标函数。这种问题成标函数。这种问题成为多目标最优化问题。为多目标最

22、优化问题。求解多目标达到问题，求解多目标达到问题，其数学模型为其数学模型为 ubxlbbeqxAeqbxAxceqxcxFx00goalweightmin,2022-6-2140 函数描述函数描述 x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)试图通过变化试图通过变化x来来使目标函数使目标函数fun达到达到goal指定的目标，指定的目标，x0为初始值，为初始值，weight参数指定权重。参数指定权重。 x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)增加线性不增加线性不等式约束等式约束A*x goal=20 12; weight=20 12; x0

23、=2 5; A=1 0;0 1;-1 -1; b=5 6 -7; lb=zeros(2,1); x，fval=fgoalattain(duomubiao1,x0,goal,weight,A,b,lb, )2022-6-2144 x = 2.9167 4.0833 fval = 26.2500 15.7500 结果分析：工程每月生产产品结果分析：工程每月生产产品A为为2.9167吨，吨，B为为4.0833吨。设备投资费和公害损失费的吨。设备投资费和公害损失费的目标值分别为目标值分别为26.250万元和万元和15.750万元。万元。2022-6-21459.7 最大最小化最大最小化 通常我们遇到的

24、都通常我们遇到的都是目标函数的最大是目标函数的最大化和最小化问题，化和最小化问题，但是在某些情况下，但是在某些情况下，则要求最大值的最则要求最大值的最小化才有意义。最小化才有意义。最大最小化问题的数大最小化问题的数学模型为：学模型为： ubxlbbeqxAeqbxAxceqxcxFiFxi00maxmin2022-6-2146 相关函数相关函数fminimax描述描述 功能：求解最大最小化问题。功能：求解最大最小化问题。 x=fminimax(fun,x0)以以x0为初始值求解函数的最大最为初始值求解函数的最大最小化解小化解x。 x=fminimax(fun,x0,A,b)求解时给出线性不等式

25、约束。求解时给出线性不等式约束。 x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)求解时给出线性不求解时给出线性不等式和等式约束。等式和等式约束。 x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)求解时给多出求解时给多出变量上下限。变量上下限。 x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)求解求解时多给出非线性约束条件函数文件。时多给出非线性约束条件函数文件。 x,fval=fminimax(fun,x0,)求解同时输出函数值。求解同时输出函数值。2022-6-2147程序实例程序实例 求解下列最优化问题，使下面各

26、目标函数求解下列最优化问题，使下面各目标函数中最大值最小中最大值最小： 8183330440482215214213222122122211xxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxf2022-6-2148 求解程序求解程序 x0=0.1 0.1; x,fval=fminimax(zdzx1,x0) x = 4.0000 4.0000 fval = 0.0000 -64.0000 -2.0000 -8.0000 -0.00002022-6-2149工程实例工程实例 问题描述：设某城市有某种物品的问题描述：设某城市有某种物品的10个需个需求点，第求点，第i个需求点个需求点pi的坐标为的坐标为(a

27、i,bi)，道路，道路网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设置在些条件的限制，该供应中心只能设置在x界界于于5,8，y界于界于5,8的范围内。问该中心建的范围内。问该中心建在何处为好。在何处为好。 pi点的坐标为点的坐标为 ai：1 4 3 5 9 12 6 20 17 8 bi：2 10 8 18 1 4 5 10 8 92022-6-2150 解题思路：设供应中心的位置为解题思路：设供应中心的位置为(x,y)，要求，要求它到最远需求点的距离尽可能小，并沿道

28、它到最远需求点的距离尽可能小，并沿道路行走，得到目标函数如下：路行走，得到目标函数如下：iiyxbyaxmaxmin, 约束条件为约束条件为8585yyxx2022-6-2151 求解程序求解程序 x0=6 6; A=-1 0;1 0;0 -1;0 1; b=-5;8;-5;8; x,fval=fminimax(zdzx21,x0,A,b) x = 8 8 fval = 13 6 5 13 8 8 5 14 9 1 结果分析：可见，在限制区域内的东北角设置供结果分析：可见，在限制区域内的东北角设置供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小。应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小。最小最大距离为最小最大距离为14个距离单位。个距离单位。2022-6-2152谢谢！谢谢！2022-6-2153dblzxh1.m function y=dblzxh1(x) y=sin(x);返回返回2022-6-2154dblzxh2.m function y=dblzxh2(x) y=(x-3).2-1;返回返回2022-6-2155dblzxh3.m function y=dblzxh3(x) y=-(3-2*x).2*x;返回返回2022-6-2156wuyueshu1.m function f=wuyueshu1(x) f=100*