大学物理8-6磁场对载流导线的作用

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出安培力：载流导线安培力：载流导线在磁场中受到的磁场力在磁场中受到的磁场力BlIF ddsinddlBIF dF方向判断方向判断 右手螺旋右手螺旋LLBlIFFdd一段任意形状载流导线受到的安培力一段任意形状载流导线受到的安培力大小大小 是电流元与磁感应强度的夹角。是电流元与磁感应强度的夹角。 安培定律安培定律矢量式矢量式上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大量载流子受到洛伦兹力的结果。简单证明如

2、下：量载流子受到洛伦兹力的结果。简单证明如下：在载流导线上任取一电流元在载流导线上任取一电流元lId其中电荷其中电荷d dq q沿导线速度为沿导线速度为v电流元长电流元长tvldd则则tIqdd 在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的，在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的，按照按照洛洛伦伦兹力公式，可得电流元所受磁场力兹力公式，可得电流元所受磁场力BvqF ddBtltIdddBlI d这就是电流元在磁场中受到的安培力。这就是电流元在磁场中受到的安培力。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出载流长直导线在均匀磁场中所受安培力载流长直导线在均匀

3、磁场中所受安培力sinddlBIF 取电流元取电流元lId受力大小受力大小方向：垂直纸面向里方向：垂直纸面向里积分积分LBIllBIFsinsindsinBlIF IBFdlId所以，安培力的大小为所以，安培力的大小为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出如果载流导线所处为非均匀磁场，可取电流元，每如果载流导线所处为非均匀磁场，可取电流元，每段受力段受力 可分解为可分解为FddxFdyFdzFdxxFFdyyFFdzzFF然后，求出合力即可。然后，求出合力即可。例题例题8-68-6 在磁感强度为在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一的均匀磁场中，通过一半径为半

4、径为R的半圆导线中的的半圆导线中的电流为电流为I。若导线所在平。若导线所在平面与面与B垂直，求该导线所垂直，求该导线所受的安培力。受的安培力。I I上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出各电流元受力可分解为各电流元受力可分解为x方向和方向和y方向，由电流分方向，由电流分布的对称性，电流元各段布的对称性，电流元各段在在x方向分力的总和为零，方向分力的总和为零，只有只有y方向分力对合力有方向分力对合力有贡献。贡献。解：解：坐标坐标Oxy 如图所示如图所示各段电流元受到的安培力数值上都等于各段电流元受到的安培力数值上都等于lBIFdd方向沿各自半径离开圆心向外，

5、整个半圆导线受安方向沿各自半径离开圆心向外，整个半圆导线受安培力为培力为FFdI IxyxFd FdxFdyFdFdyFd上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 sindsindd lBIFFy ddRl 由安培定律由安培定律由几何关系由几何关系上两式代入上两式代入yFFd合力合力F的方向：的方向：y轴正轴正方向方向。结果表明：半圆形载结果表明：半圆形载流导线上所受的力与流导线上所受的力与其两个端点相连的直其两个端点相连的直导线所受到的力相等导线所受到的力相等. . yFFd I IFdFdxFdxFdyFdyFdxyBIRBIR2dsin0上页上页 下页

6、下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出由本题结果可推论：由本题结果可推论：一个任意弯曲载流导线上所受一个任意弯曲载流导线上所受的磁场力等效于弯曲导线始、终两点间直导线通以的磁场力等效于弯曲导线始、终两点间直导线通以等大电流时在同样磁场中所受磁场力。等大电流时在同样磁场中所受磁场力。安培力应用安培力应用 磁悬浮列车磁悬浮列车车厢下部车厢下部装有电磁铁，当电磁铁通装有电磁铁，当电磁铁通电被钢轨吸引时就悬浮。电被钢轨吸引时就悬浮。列车上还安装一系列极性列车上还安装一系列极性不变的电磁铁，钢轨内侧不变的电磁铁，钢轨内侧装有两排推进线圈，线圈装有两排推进线圈，线圈通有交变电流，总

7、使前方通有交变电流，总使前方线圈对列车磁体产生吸引线圈对列车磁体产生吸引力，后方线圈对列车产生力，后方线圈对列车产生上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出排斥力，这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强排斥力，这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强大的磁力可使列车悬浮大的磁力可使列车悬浮110cm，与轨道脱离接触，与轨道脱离接触，消除了列车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可消除了列车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可达达400400km/h。电磁驱动力原理图电磁驱动力原理图 中国第一辆载人磁悬浮列车中国第一辆载人磁悬浮列车上页上页 下页下页 返回返回 退

8、出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上海磁悬浮列车上海磁悬浮列车上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出B)(CD)(BA2F2FneID1FBAB2l2F2F1lC1F 如上图，矩形线圈处于匀强磁场中，如上图，矩形线圈处于匀强磁场中，AB、CD边与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为边与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为 。 由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方向相反。向相反。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出AD与与BC边受力大小为边受力大小为sin11BIlF 22

9、BIlF AB与与CD边受力大小为边受力大小为 AD与与BC边受力在同一直线边受力在同一直线上，相互抵消。上，相互抵消。 这两个边受力不在在同一直线上，形成一力偶，力这两个边受力不在在同一直线上，形成一力偶，力臂为臂为 ，它们在线圈上形成的力偶矩为它们在线圈上形成的力偶矩为 cos1l cos12lFM cos21lBIlcosBISB)(CD)(BA2F2Fne上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出用用 代替代替 ，可得到力矩，可得到力矩sinBISM 21l lS 为线圈面积，图中为线圈面积，图中 为线圈平面正法向与磁为线圈平面正法向与磁场方向的夹角，

10、场方向的夹角， 与与 为互余的关系为互余的关系若线圈为若线圈为N匝，则线圈所受力偶为匝，则线圈所受力偶为sinNBISM 2B)(CD)(BA2F2Fne上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 实际上实际上m=NIS为线圈磁矩为线圈磁矩的大小，力矩的方向为线圈的大小，力矩的方向为线圈磁矩与磁感应强度的矢量积；磁矩与磁感应强度的矢量积；用矢量式表示磁场对线圈的用矢量式表示磁场对线圈的力矩：力矩： 可以证明，上式不仅对矩形线圈成立，对于均可以证明，上式不仅对矩形线圈成立，对于均匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立，对于匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立，对于带电

11、带电粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所具有的磁矩具有的磁矩，在磁场中受到的力矩都适用。，在磁场中受到的力矩都适用。BmMB)(CD)(BA2F2Fne上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（1 1） = /2，线圈平面与磁场方向相互平行，力矩，线圈平面与磁场方向相互平行，力矩最大，这一力矩有使最大，这一力矩有使 减小的趋势。减小的趋势。（2 2） =0，线圈平面与磁场方向垂直，力矩为零，线圈平面与磁场方向垂直，力矩为零，线圈处于平衡状态。线圈处于平衡状态。 综上所述，综上所述，任意形状不变的平面载流线圈

12、作为整任意形状不变的平面载流线圈作为整体在体在均匀外磁场中均匀外磁场中，受到的合力为零，合力矩使线圈，受到的合力为零，合力矩使线圈的磁的磁矩转到磁感应强度的方向矩转到磁感应强度的方向。（3 3） = = ，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩为零，但为不稳定平衡，为零，但为不稳定平衡， 与与 反向，微小扰动，反向，微小扰动，磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态。Bm讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I平行载流直导线间距

13、为平行载流直导线间距为a，两者电流方向相同，间，两者电流方向相同，间距远小于导线长，可将两导线视做无限长导线。距远小于导线长，可将两导线视做无限长导线。在在上任取一电流元上任取一电流元22dIl 为载流导线为载流导线AB在在 激发的磁感应强度激发的磁感应强度21B22dIl为二者之间夹角为二者之间夹角2aIB10212上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 计算计算CD受到的力，受到的力，CD上所上所任取电流元受力：任取电流元受力：sindd222121lIBFaIB102121sin2210222121d2ddlaIIlIBFaIIlF2102212dd

14、载流导线载流导线CD所受的力方向指向所受的力方向指向AB。载流导线载流导线CD单位长度所受的力单位长度所受的力AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 表明：表明：两个同方向的平两个同方向的平行载流直导线，通过磁场的行载流直导线，通过磁场的作用，将相互吸引。反之，作用，将相互吸引。反之，两个反向的平行载流直导线，两个反向的平行载流直导线，通过磁场的作用，将相互排通过磁场的作用，将相互排斥，而每一段导线单位长度斥，而每一段导线单位长度所受的斥力的大小与这两电所受的斥力的大小与这两电流同方向的引力

15、相等流同方向的引力相等。AB12B1d l12d F1ICD2d l21B21d Fa2I同理可以证明载流导线同理可以证明载流导线AB单位长度所受的力的单位长度所受的力的方向指向导线方向指向导线CD，大小，大小为为 aII2210iiii载流直导线之间的相互作用载流直导线之间的相互作用上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出“安培安培”的定义的定义因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安培力的大小培力的大小 aIIaIIf2172101022规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有规定：放在真空中两条无限长

16、的载流平行导线通有相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线每一米长度受力每一米长度受力2 21010-7-7牛顿时，每根导线上的电流牛顿时，每根导线上的电流为一安培。即为一安培。即18上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 载流线圈或导线在磁场中受到磁场力（安培力）载流线圈或导线在磁场中受到磁场力（安培力）或磁力矩作用，因此，当导线或线圈位置改变时，或磁力矩作用，因此，当导线或线圈位置改变时，磁场力就作了功。下面从一些特殊情况出发，建立磁场力就作了功。下面从一些特殊情况出发，建立磁场力作功的一般公式。磁场力作

17、功的一般公式。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1. 1. 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功载流导线在磁场中运动时磁力所作的功 设有一匀强磁场，磁感应强度设有一匀强磁场，磁感应强度 的方向垂直于纸的方向垂直于纸面向外，磁场中有一载流的闭合电路面向外，磁场中有一载流的闭合电路 ，电路中，电路中的导线的导线 长度为长度为 ，可以沿着，可以沿着 和和 滑动。假定滑动。假定当当 滑动时，电路中电流滑动时，电路中电流 保持不变，按安培定律，保持不变，按安培定律，载流导线载流导线 在磁场中所受的安培力在磁场中所受的安培力 在纸面上，指在纸面上，指向如图所示，向如

18、图所示， 的大小的大小BABCDABlDACBABIABFFBIlF BIFCDABABI上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 在在 力作用下，力作用下， 将从初始位置沿着将从初始位置沿着 力的力的方向移动，当移动到位置方向移动，当移动到位置 时磁力时磁力 所作的功所作的功FABFBAFABIlAAFAABIFCDABABI上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 上式说明上式说明当载流导线在磁场中运动时，如果当载流导线在磁场中运动时，如果电流电流保持不变保持不变，磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环，磁力所作的功等于

19、电流乘以通过回路所环绕的面积内磁通量的增量，绕的面积内磁通量的增量，也即也即磁力所作的功等于电磁力所作的功等于电流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。流乘以载流导线在移动中所切割的磁感应线数。IABlDA 0ABlDt磁力所作的功为磁力所作的功为ABlABlDAABlD0t 导线在初始位置导线在初始位置 时和在终了位置时和在终了位置 时，时，通过回路的磁通量分别为通过回路的磁通量分别为ABBA所以所以则则上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2.2.载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功dsinMddBISA)cosd

20、()d(cosBSIBIS设线圈转过极小的角度设线圈转过极小的角度 ，使使 与与 之间的夹角从之间的夹角从 增为增为 ，磁力矩磁力矩 dneBsinBISM d所以磁力矩所作的功为所以磁力矩所作的功为负号负号“-”-”表示磁力矩作正功时将使表示磁力矩作正功时将使 减小。减小。设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。设有一线圈在磁场中转动，其中电流保持不变。d1F2Fne ba dcB上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出IAdd 当上述载流线圈从当上述载流线圈从 转转到到 时，按上式积分后的时，按上式积分后的磁力矩所作的总功磁力矩所作的总功为：为：12I

21、IIA)(d1221与与 分别表示线圈在分别表示线圈在 和和 时通过线圈的磁通量。时通过线圈的磁通量。122 表示线圈转表示线圈转过过 后磁通量的增量后磁通量的增量 。)cosd(BSdd)cosd(dBSIA d1F2Fne ba dcB1上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出注意：注意： 恒定磁场恒定磁场不是不是保守力场，磁力的功不等于磁场能保守力场，磁力的功不等于磁场能的减少，而且，的减少，而且，洛伦兹力是不作功的洛伦兹力是不作功的，磁力所作的功，磁力所作的功是消耗电源的能量来完成的。是消耗电源的能量来完成的。 一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置

22、或形一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时，如果保持回路中状时，如果保持回路中电流不变电流不变，则磁场力或磁力矩，则磁场力或磁力矩所作的功都可按所作的功都可按A= =I 计算。计算。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题8-78-7 如图所示，长方形线圈如图所示，长方形线圈OPQR 可绕可绕y轴转动，轴转动，边长边长l1=6cm,l2=8cm。线圈中的电流为线圈中的电流为10A，方向沿，方向沿OPQRO，磁场为均匀磁场，磁感应强度为，磁场为均匀磁场，磁感应强度为0.02T，方，方向平行于向平行于Ox。（1）如果使线圈平面和磁感应强度成如果使线圈平面和磁感应强度成 =30角，求此时线圈每边所受的安培力以及线圈角，求此时线圈每边所受的安培力以及线圈所受的磁力矩；（所受的磁力矩；（2 2）当线圈有这个位置转到平衡位）当线圈有这个位置转到平衡位置时，求磁场力的功。置时，求磁场力的功。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解：解：（1 1）设）设为为lId和和B之间的夹角之间的夹角sinBIlF neOxz1l2l