实验报告常微分方程数值解法

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑实验报告常微分方程数值解法 试验报告 试验项目名称 常微分方程的数值解法 实 实 验 验 室 室 数 学 实 验 室 所属课程名称 微分方程数值解 实 验 类 型 上机试验 实 验 日 期 2021 年 3 月 11 日 班 级 10 信息与计算科学 学 号 2021119421 姓 名 叶达伟 成 绩 试验概 述： 【试验目的及要求】 运用不同的数值解法来求解详细问题，并通过详细实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。 【试验原理】 各种常微分方程的数值解法的原理，包括 Euler 法，改进 Euler 法，梯

2、形法，Runge-Kutta 方法，线性多步方法等。 【试验环境】（使用的软硬件） Matlab 软件 试验内容： 【试验方案设计】 我们分别运用 Euler 法，改进 Euler 法，RK 方法和 Adams 隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。 【试验过程】（试验步骤、记录、数据、分析） 我们首先来回顾一下原题： 对于给定初值问题： 1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形； 2. 采纳Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度; 3. 采纳改进Euler法求解（2.16），步长

3、取为0.5； 4. 采纳四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5； 5. 采纳 Adams 四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级 Runge-Kutta 格式确定。 下面，我们分五个步骤来完成这个问题： 步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab画出其图形； ，用 Matlab 做出函数在上的图像，见下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3 -1.2t)exact solution 图一 初值问题的解析解 的 图像 步骤二，采纳Euler法取步长为0.5和0.25

4、数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度; 我们采纳 Euler 法取步长为 0.5 和 0.25 数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solutionh=0.5h=0.25 图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较 从图像中不难看出，采纳 Euler 法取步长为 0.5 和 0.25 数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨

5、将两者的肯定误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25 图三 不同步长的 Euler 法的计算结果与解析解的肯定误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为 0.25 的 Euler 法比步长为 0.5 的 Euler 法的精度更高。 步骤三，采纳改进 Euler 法求解（2.16），步长取为 0.5； 我们采纳改进 Euler 法求解，步长取 0.5，

6、数值解如下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.533.5x 1015Numerical solution of modeuler and exact solutionexact solutionh=0.5 图四 改进 Euler 法的计算结果与解析解的比较 步骤四，采纳四级 Runge-Kutta 法求解（2.16），步长取为 0.5； 我们采纳四级 Runge-Kutta 求解，步长取 0.5，数值解如下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.533.5x 1015Numerical so

7、lution of odRK4 and exact solutionexact solutionh=0.5 图五 四级 RK 方法的计算结果与解析解的比较 步骤五，采纳 Adams 四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级 Runge-Kutta格式确定。 我们采纳 Adams 四阶隐格式计算公式求解，数值解如下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50123456789x 1015Numerical solution of adams43 and exact solutionexact solutionnumerical solution 图六 Adams 四阶隐

8、格式的计算结果与解析解的比较 由于采纳 Adams 四阶隐格式计算出来的数值解在时的量级为在时的量级为，因此，在 Matlab 图像处理中，将纵坐标的量级定为（不然，若纵坐标量级取大一些，解析解与水平轴几乎重合。） 为了将 Adams 四阶隐格式计算出来的数值解全部呈现出来，又作了一张只有该数值解的图像，详见下图： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50123456789x 1028Numerical solution of adams43numerical solution 图七 Adams 四阶隐格式的计算结果 最终，我们总结一下各种方法计算出来的数值解与解析解之

9、间的肯定误差，详见下表： Euler 法 改进 Euler 法 四级 RK 方法 四阶 Adams 隐格式方法 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 表一 步长为 0.5 时各种数值解法的计算结果与解析解之间的肯定误差 由于本题中步长 h 取为取值 0.5，步长取值较大，计算结果与精确解之间的误差较大，难以推断各种数值方法的计算精度。因此，我在本题的基础上进行了拓展，将步长取为 0.05，进一步讨论各种方法的计算精度。 从从前的例子中可以看出，误差主要是在 t 取值接近 5 的时候消失，所以在步长 h=0.05 时重点讨论的计算结果与解析解之间

10、的肯定误差，以比较各种方法的计算精度。肯定误差状况详见下表： Euler 法 改进 Euler 法 四级 RK 方法 四阶 Adams 隐格式方法 4.50 4.55 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 5.00 表二 步长为 0.05 时各种数值解法的计算结果与解析解之间的肯定误差 通过步长的减小，我们得出了更加精确的数值解，同时也可以比较各种算法的精度大小。不难发觉，对于这个问题，四级 RK 方法的计算精度最大，其次是四阶 Adams 隐格式方法和改进 Euler 法，精度最差的是 Euler 法。（这不代表哪种方法最优，由于我们只计算了一个实例） 【结论】（结果） 通过一个详细实例，我们比较了各种数值计算方法的精度大小，对于这个问题，四级 RK 方法的计算精度最大，其次是四阶 Adams 隐格式方法和改进