材料力学弯曲内力学习教案

1、会计学1材料力学弯曲内力材料力学弯曲内力第一页，编辑于星期日：十五点 四十八分。2第五章第五章 弯曲内力弯曲内力第1页/共54页第二页，编辑于星期日：十五点 四十八分。3一、弯曲变形梁梁( (beam)以弯曲变形为主的构件。以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。5.1 5.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念第2页/共54页第三页，编辑于星期日：十五点 四十八分。4对称轴平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯

2、曲成一条平面曲线。 Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴第3页/共54页第四页，编辑于星期日：十五点 四十八分。5一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。二、载荷简化计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。1. 集中力(N，kN)Pq lim 0 xPqx 载荷集度q：mm2. 集中力偶(Nm， kNm)3. 分布载荷(N/m，kN/m) 5.2 5.2 梁的计算简图梁的计算简图第4页/共54页第五页，编辑于星期日：十五点 四十八分。6固定铰支座：2个约束可动铰支座：1个约束三、 支座简化固定端：3个约束XAYAMAXAYAAAAAAAAYA第5页/共54页第六页，编辑于星期日：

3、十五点 四十八分。7四、静定梁的三种基本形式 简支梁(simple beam) 悬臂梁(cantilever beam)静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 外伸梁(overhanging beam)第6页/共54页第七页，编辑于星期日：十五点 四十八分。8计算方法：截面法例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力RA和RB(2)取左段梁为研究对象：:0yF01ASFFR1AFRFS:0CM0)(A1xRaxFM)(1AaxFxRMMFS5.3 5.3 弯曲内力弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 xF1aABF2m11xCF1RARARBMFSRBmF2第7页/共54页第八页

4、，编辑于星期日：十五点 四十八分。9内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力FS: : 绕研究对象绕研究对象顺时针顺时针转为正；反之为负。或转为正；反之为负。或者说：者说：左上右下的左上右下的FS为正，反之相反。为正，反之相反。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形的弯矩为负。或者说：的弯矩为负。或者说：左顺右逆的左顺右逆的M为正，为正，反之相反。反之相反。 FS()FS()FS(+)FS(+)M(+)M(+)M()M()第8页/共54页第九页，编辑于星期日：十五点 四十八分。10 例例5-15-1：求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2截

5、面处的内力。截面处的内力。qlFFSy1 : 0解：解：1-11-1截面截面: :11 : 0qlxMMCqqlab1122x1qlx2qlqlaxqFS22 Fy:0 axqMqlxMC0)(21 :022222222)(21qlxaxqMFS1M1CFS2M2C2-22-2截面截面: :第9页/共54页第十页，编辑于星期日：十五点 四十八分。11另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。

6、内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。第10页/共54页第十一页，编辑于星期日：十五点 四十八分。12AB1122FM0 =Faaaaa 例例5-25-2：如图所示简支梁，试求如图所示简支梁，试求1-11-1、2-22-2截面上剪力截面上剪力和弯矩。和弯矩。RARB解：解：（1 1）求支反力求支反力RA 、RB1-11-1截面截面: :024:00MaFaRMBA024:00MaFaRMABFRA41FRB43（2 2）求截面内力）求截面内力FRFA

7、s411FaFaaFMaRMA4541012-22-2截面截面: :FRFBs432FaaRMB432第11页/共54页第十二页，编辑于星期日：十五点 四十八分。131. 1. 内力方程：内力方程：2. 2. 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。图形。剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。5.4 5.4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图xM 第12页/共54页第十三页，编辑于星期日：十五点 四十八分。14例5-3

8、列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABq)( /2qlRRBA对称对称RARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)：0yF：0CMlxqxqlxFS02)(lxqllxqxqxqlxM081)2(222)(222(3)绘制剪力图、弯矩图ql /2ql /2-+ql 2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。第13页/共54页第十四页，编辑于星期日：十五点 四十八分。15解:(1)计算支反力：)( / /BA lFaRlFbR(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。 axlFbRxFS 0)(A axxlFbxRxM 0

9、)(A(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：RAxFS(x)M(x) lxalFaFRxFS A)(CB段： lxaxllFaaxFxRxM A)(FS(x)M(x)RAxFFb /lFa /l-+Fab /l在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现尖角。 FSxABFalbCRBRAMx第14页/共54页第十五页，编辑于星期日：十五点 四十八分。16MFS(x)M(x) lxaxllmmxRxM A)(FS(x)M(x)在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。 解：(1)计算支反力： lmRM/ :0BA(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。 axlmRxF

10、S 0)(A axxlmxRxM 0)(A lmRM/ :0ABAC段： lxalmRxFS A)(CB段：RARBxlabABmCRAxRAxm(3)绘制剪力图、弯矩图：m /l+-+ma /lmb /lFSx第15页/共54页第十六页，编辑于星期日：十五点 四十八分。17 例例5-45-4 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。求下列外伸梁的内力方程并画内力图。解：(1)计算支反力：)(45qaRA)(41qaRBa2aqCBA(2)列剪力、弯矩方程：以A为原点。xRARB)(xFs)0()(xaxaq)20(41axqa)(xM)0()(212xaxaq)20()2(41axxaqa+-qa

11、41qaFsM-221qa在集中力作用处， Fs 图发生突变， M图对应处有一尖角。 （3）画内力图：第16页/共54页第十七页，编辑于星期日：十五点 四十八分。18 例例5-55-5 求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。从右往左取研究对象从左往右取研究对象FFS qlFSlFlqFlM2/2qlM第17页/共54页第十八页，编辑于星期日：十五点 四十八分。19lMMMFsFs0总结得以下规律：（1）形状规律：抛抛斜斜平平平平零零零零斜斜平平零零）（MFqs（2）突变规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突变，突变值等于集中力的大小，在M图的相应处有一尖角（

12、b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs图的相应处无变化。（3）分段规律：第18页/共54页第十九页，编辑于星期日：十五点 四十八分。203. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。2aABqC3a例5-6作图示刚架的弯矩图。解：(1) 求支座反力 3 :0qaFFCxx 492233 :0qaaaqaFMAyC 49 :0qaFFCyyAyFCyFCxF刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。铰结点：能相对转动，不能相对移动。(2) 对各杆分段求内力注意：刚架的

13、内力有Fs、M、FN , 这里只讲弯矩图画法。第19页/共54页第二十页，编辑于星期日：十五点 四十八分。212aABqC3a49qa49qaqa3BA杆：以A为原点axxFFNx20 0)( :011axqaxxMMO20 49)( :0111axqaxFFsy20 49)( :011BC杆：以C为原点axqaxFFNy30 49)( :022axxqqaxxMMO30 2-3)( :022222axqxqaxFFsx30 3)( :022249qaA1SF1M1x1NFOqa349qa2xqC2SF2M2NFO第20页/共54页第二十一页，编辑于星期日：十五点 四十八分。22BA杆：以A为

14、原点1149)( qaxxMBC杆：以C为原点22222-3)( xqqaxxM+49qaABCFNax201ax302弯矩图画在受拉侧+qa3-49qaABCFS(3) 作内力图229qaABC229qaM第21页/共54页第二十二页，编辑于星期日：十五点 四十八分。23例5-7 试作图示刚架的弯矩图。P1aM 图P1aP1a+ P2 lF1F2alABC1x2xBA杆：以B为原点111)( xFxMBC杆：以C为原点2212a)( xFFxMax 10lx 20解：（1）列各杆弯矩方程(外侧受拉)(外侧受拉)（2）画弯矩图第22页/共54页第二十三页，编辑于星期日：十五点 四十八分。24q

15、4. 平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。例5-8 如图所示平面曲杆，已知F及R 。试画Fs、M 及FN 图。qmm解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。OFRABFFsFN取研究对象，画其受力图如下图示：M符号规定：使轴线曲率增加的M为正；引起拉伸变形的FN为正；将Fs对研究对象上任一点取矩，若力矩的转向为顺时针的，则剪力为正，反之均为负。第23页/共54页第二十四页，编辑于星期日：十五点 四十八分。25)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFM)(0 cos)(qqq FFN)(0 sin)(sqqq FFABOM图OO+

16、Fs图FN图2FRFF+qFFsFNMF第24页/共54页第二十五页，编辑于星期日：十五点 四十八分。26对对dx 段进行平衡分析：段进行平衡分析： 0)(d)(d)()(:0S xFxFxxqxFFSSy)(dd)(xFxxqS dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+d M(x)FS(x)M(x)dx xqxxF ddS剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。5.5 5.5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系第25页/共54页第二十六页，编辑于星期日：十五点 四十八分。27FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAM(x)+d M(x)M(

17、x) xqxxF ddS0)(d)()(d(21)()d( : 02S xMxMxxqxMxxFMA)(d)(dxFxxMS 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM q(x)第26页/共54页第二十七页，编辑于星期日：十五点 四十八分。28FSF1Meq0DFEGHF2FAFEM1. 无荷载段：2. 有荷载段q： FS图水平直线或为0q 0：上升斜直线q 0：下降斜直线上凸曲线 M图斜直线或水平线下凸曲线 xqxxF ddS xFxxMS ddq(x)向上为正第27页/共54页第二十八页，编辑于星期日：十五点 四十八分。29q(x)向上为正3. 力F作用点处4

18、. 力偶Me作用点处FS图突变不受影响M图折点突变5. q起点及终点处不受影响相切 xFxxMS dd xqxxFddS6. 弯矩最大绝对值处：FS0或集中力作用截面处或集中力偶作用处F1Meq0DFEG HF2FAFEMFS第28页/共54页第二十九页，编辑于星期日：十五点 四十八分。30作图步骤作图步骤1. 1. 求支座反力，求支座反力，2. 2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处点及终点处3. 3. 求每一段控制截面的求每一段

19、控制截面的FS、M值，值，4. 4. 按规律连线。按规律连线。第29页/共54页第三十页，编辑于星期日：十五点 四十八分。31 例例5-75-7 作下列各图示梁的内力图。作下列各图示梁的内力图。FSxqaFBABAS 段段：0: qaqaFACCS段段aaqaqBCqa2xMqa-223qa-20qaMMAB 223 22qaaqaaqaMC A相切第30页/共54页第三十一页，编辑于星期日：十五点 四十八分。32 例例5-85-8 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。qqa2qaABCDaaaqa/2MFSqa2/2832qaqa2/2qa2/22/qaRA 2/qaRD +qa/2-+qa

20、/2-第31页/共54页第三十二页，编辑于星期日：十五点 四十八分。33解：1.求支座反力FS/kNoxM/kNmxo例5-9作图示外伸梁的Fs、M图。(取参考正向）2. 从左起，计算控制截面的 FS值,并由微分关系判断线 形，画 Fs图3. 同理画 M 图。20530602015CA DBm2m1m3E2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFBkN25AFkN35BF; 0CF;kN20左左sAF;kN5左左sBFkN.30EF53045; 0CM;mkN20AM;mkN15左左DM;mkN60BM. 0EM；右右kN5-sAF；右右kN30sBFm;kN45右右DM+-参考正向第

21、32页/共54页第三十三页，编辑于星期日：十五点 四十八分。34例5-10 已知M图,求外载及剪力图。20KNmKN40 20KN20KN2m2m2mmKN40 )(d)(dxFxxMS xqxxF ddSMFSABCD第33页/共54页第三十四页，编辑于星期日：十五点 四十八分。35例5-11 已知M图,求荷载图及剪力图。40KNmKN2020KN20KN20KN 20KN1m1m1mmKN20 mKN20 MFSABCD)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS第34页/共54页第三十五页，编辑于星期日：十五点 四十八分。36例5-12已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。1m1m

22、2m231q=2kN/m+11ABCDEFS(kN)1.25)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS5kN1kN+(kNm)M第35页/共54页第三十六页，编辑于星期日：十五点 四十八分。371KN+3KN2KN0.5m1m1.5mm/KN2 qmKN2MFS例5-13已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。ABCDmKN25. 0)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS5KN2KN1KN+第36页/共54页第三十七页，编辑于星期日：十五点 四十八分。38叠加原理：叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代

23、数和。载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。叠加法：叠加法：应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。 前提条件：前提条件：小变形，材料服从虎克定律。小变形，材料服从虎克定律。步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。5.6 5.6 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图第37页/共54页第三十八页，编辑于星期日：十五点 四十八分。39 例例5-14 5-14 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图( (AB=2a，力力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。=+FABqAB=+2Fa 22qa2/2/2q

24、aFa MqFAB2a+第38页/共54页第三十九页，编辑于星期日：十五点 四十八分。40例5-15 作下列图示梁的内力图。0.5F0.5F0.5F0.5FFABFS=+=+FLABF-0.5F0.5F+-0.5F-FFlllF0ABC第39页/共54页第四十页，编辑于星期日：十五点 四十八分。410.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F+第40页/共54页第四十一页，编辑于星期日：十五点 四十八分。42FlFllFl对称性与反对称性的应用：FFABF+FlllABFFF/3F/32F/3F/3+F/3MFS反对称正对称反对

25、称正对称+Fl/3Fl/3+第41页/共54页第四十二页，编辑于星期日：十五点 四十八分。43一、选择题1、平面弯曲变形的特征是 。（A）弯曲时横截面仍保持为平面。（B）弯曲载荷均作用在同一平面内。（C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。（D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与 有关。（A）横截面形状。 （B）横截面面积。（C）梁的材料。 （D）载荷作用位置。 DD 本本 章章 习习 题题第42页/共54页第四十三页，编辑于星期日：十五点 四十八分。443、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力F，当F在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩M

26、max分别满足 。（A） Fsmax F， Mmax FL/2 （B） Fsmax F/2，Mmax FL/4 （C） Fsmax F， Mmax FL/4 （D） Fsmax F/2，Mmax FL/2 4、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力偶M0，当M0在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别为 。 （A） Fsmax =0， Mmax = M0 （B） Fsmax =0， Mmax = M0 /2 （C） Fsmax = M0 /l ，Mmax = M0 （D） Fsmax = M0 /l ，Mmax = M0 /2 CA第43页/共54页第四十四页，编辑于星期日：十五点 四十八分。455、在下列说法中， 是正确的。（A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。（C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。 6、用叠加法求弯曲内力的必要条件是 。（A）线弹性材料。 （B）小变形。（C）线弹性材料且小变形。（D）小变形且受弯杆件为直杆。 BC第44页/共54页第四十五页，编辑于星期日：十五点 四十八分。467、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的 。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零