基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究

1、第31卷 第5期2011年5月物 理 实 验PHYSICSEXPERIMENTATIONVol.31 No.5 May,2011基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究石将建,薛 鹏(东南大学物理系,江苏南京211189)摘 要:从理论上研究菲涅耳双棱镜对于光的传播的影响以及发生干涉的光之间的物理关系即入射角与干涉位置的关系,同时从实验计算的角度论证等效法的可行性,即从实验观测出发通过数值计算的方法证明等效前后用于分析干涉光强分布情况的光程差计算结果相等.关键词:光线偏折;叠加;等效;光程差;数值计算中图分类号:O436.1 文献标识码:A 文章编号:1005-4642(2011)05-004

2、2-051 引 言对菲涅耳双棱镜干涉1-3问题的研究通常使用等效的方法进行简化分析,甚至在实验中也只是研究等效后的干涉情景.从而在一定程度上简化了分析过程,省去了许多繁琐的计算.那么,为什么可以做如此的等效?本文将从几何光学和实验观测的角度对此问题给予证明.2 光路分析采用正向分析的思路,利用几何光学关于光线传播定律分析光线的传播路径及偏折情况,从而理论计算出各物理量,包括干涉的位置及此位置所对应的光的入射角,并在此基础上研究所得物理量之间的关系,寻找等效法成立的原因.图1为光线传播路径图,入射光线与水平方向夹角为 ,第一次折射角为 1,第二次入射角为 2,第二次折射角即出射角为 3,出射光线

3、与水平方向夹角为 4,双棱镜的底角为 ,折射率为n.这里涉及的角都非常小,则有sin tan .为便于计算和分析,根据入射角 的大小进行分类讨论,以上半棱镜为例.根据出射光线与水平方向的夹角不同可以将入射角 分为3类:1) <(n-1) ;2)(n-1) n ;3) >n .4图1 原始光路示意图2.1 出射光线角度计算首先研究 <(n-1) 时的情况,根据光的折射定律和几何关系可知: 1=sin 1=,nn2= - 1= -,n3=sin 3=nsin 2=n 2=n - , 4= 3- =(n-1) - .4的大小不难发现(n-1) 即为光线经过棱分析镜后的偏转角.通过

4、4可求得以 角入射的光线经双棱镜折射后出射光线落在光屏上的位置为 y=rtan -(D-r)tan 4=r(n-1) -D(n-1) - .对于2)和3)两种情况可类似地计算出光线传播情况,最后发现3种情况下光线在光屏上的收稿日期:2010-06-18;修改日期:2010-09-18基金项目:国家自然科学基金(No.10944005);东南大学人才引进科研启动经费支持作者简介:石将建(1989-),男,江苏南通人,东南大学物理系光信息科学与技术专业2008级本科生.指导教师:薛 鹏(1976-),女,河北邯郸人,东南大学物理系教授,博士,研究方向为量子光学、量子信息.第5期 石将建,等:基于实

5、验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究43落点位置都满足:y=D -(n-1)(D-r) .(1)进一步比较角度可知光线的偏转角均为(n-1) ,所以3种情况在形式上是统一的.以上分析都是假设光线是从上半棱镜入射的,即要求 >0,下面再根据对称性求当 <0时y的计算公式.转换y轴方向,并把 作为正角处理,则:-y=D(- )-(n-1)(D-r) ,即y=D +(n-1)(D-r) .2.2 入射角计算(2)上=(n-1) +,D(3)(4). 下=-(n-1) +D由以上分析可知出射光线在光屏上的位置y随入射角 的变化关系.根据式(1)和(2)便可由y计算出 的大小,而且会有2个值,

6、满足 上>0, 下<0,即光屏上同一位置对应着2条入射光线,正是这2条光线的叠加才产生了干涉现象.同时根据式(1)和式(2)可求出可干涉区域,由式(1)可知,随着 的减小,y逐渐从正值变为负值,但由于 只能从正向无限趋近于0,所以这里的y会存在最小值,而对于式(2),y则存在最大值.所以根据对称性或者计算式可以求得干涉区域为-(n-1)(D-r) y (n-1)(D-r) ,干涉宽度为2(n-1)(D-r) ,理论上对干涉有贡献的有效入射角为-2 (n-1)(D-r)/D 2 (n-1)(D-r)/D,图2清楚地表示了这样的关系.而仅仅利用等效方法无法得出这样的结论,这也说明了以上

7、分析的必要性.图3 等效前后光程差计算示意图3 等效的可行性证明前面已经交代角(n-1) 是光线经过双棱镜之后的偏转角,再结合式(3)和式(4)及相关的几何知识可以知道:通过上半棱镜的出射光线与水,相应地通过下D半棱镜的出射光线与水平方向夹角为 4下=4上=平方向夹角为,如图3所示.D通常研究等效时都会选择反向延长出射光线寻找相交点,在本文中也如此.不妨假设S点发出2束光线在y点叠加,由 4上和 4下的形式可知,经过上半棱镜出射的所有光线的反向延长线交于点S1(-D,(n-1) r),而下半棱镜则反向交于点S2(-D,-(n-1) r)(如图4所示).图4 菲涅耳双棱镜干涉等效示意图图2 理论

8、上的干涉宽度和有效入射角如图3所示,假设2束光在光屏y处叠加,则根据式(1)和式(2)计算可得y处叠加的2条光线的入射角为由此便可认为从S发出的光可以等效为从S1和S2发出,同时根据几何关系可求出等效光源间距为d=2(n-1) r,44物 理 实 验同理r6=1-代入式(5)得:0=(n-1)r上l0.a第31卷即等效于杨氏双缝干涉5中的双缝之间的距离.以上分析说明了等效的几何来源,即所有出射光线反向相交.但研究干涉问题时,一般通过计算光程差分析干涉条纹特性,也就是说只有等效前后计算所得的光程差相等或只相差实验上的不可察觉的小量,等效的方法才有效成立.(|tan 上|-|tan 下|)=a.D

9、此式直接说明菲涅尔双棱镜的干涉效果由棱镜底角大小决定,与棱镜尺寸无关.下面通过计算来估算 的大小,设r=25cm,D=100cm,n=1.5, =30 , =650nm,则根据式(6)计算可得 随y的变化数据见表1.表1 干涉区域内光程差偏差 以及相位偏差图5 棱镜内部光路放大图=2 / 的数值计算结果y/mm0/nm0假设实际光路的光程差为 1,表示图3中经过下半棱镜的实际光线与经过上半棱镜的实际光线的光程差,可表示为1=(r4+r2+nr5)-(r3+r1+nr6).2表示等效光路光程差,可表示为同样,用 2=(r4 +r2+r5 )-(r3 +r1+r6 ).rad)= 2- 1=r4

10、-r3 -r4+r3-(nr5-r5 )-(nr6-r6 )(r4 -r4)-(r3 -r3)-(n-1)(r5-r6).令0=(n-1)(r5-r6),(5)则根据图3和上面的光路分析可得:- =cos-(n-1) +cosDD-coscos(n-1) +DD1.4-(6)由于所研究的角度都很小,可以对r5和r6做近似计算,即近似认为它们与棱镜竖直边垂直.如图5假设棱镜半高度为a,宽度为l0,根据三角形相似原理有:r5a-r|tan 下|=,l0a即r5第5期 石将建,等:基于实验观测的菲涅耳双棱镜干涉的理论探究45不计棱镜对光强的影响,干涉区域光强4可计算为I=2I0(1+cos 0)=2

11、I02+cos( - )=2I0(1+cos cos +sin sin ).0表示实际的相位差, 表示用等效法计算得到的相位差;由以上计算数据可知 0,所以cos =1,sin =0.则I=2I0(1+cos ).由图6可见实验中减小 角可以使得计算偏差变小,从而控制实验的系统误差.4 结 论本文通过以上讨论可以得出结论:菲涅耳双棱镜干涉是可以实现的,而且在对棱镜 角和干涉范围控制的情况下可以用等效法进行相关的计算,由此产生的偏差可以忽略不计.即在不计光强损耗的情况下干涉光强分布满足:I=2I01+cosD,(8)由式(8)我们可绘制光干涉强度关于干涉位置y的变化曲线,如图7所示.(7)式(7

12、)说明完全可以用等效法计算所得的相位差 代替 研究干涉条纹特性,即等效法在研究菲涅耳双棱镜干涉时是有效的.在以上计算中默认 角为实验允许最大的值,那么 角的大小又会怎样影响 呢?以计算说明见表2,拟合曲线见图6(实验中一般10 30 ,y取最大值).表2 光程差偏差 随棱镜底角 的变化-(n-1)(D-r) y (n-1)(D-r) ,图7 理论上双棱镜干涉强度(I/I0)关于干涉位置y的分布曲线实验上,利用类似于图7的干涉光强分布(主要指亮条纹分布)和式(8)所表示的各物理量之间的关系对未知参量进行测量.参考文献:1 张小平,马自军.大学物理实验M.2版.北京:中国农业大学出版社,2007:

13、115-116.2 王明吉,张利巍,王晓莉.双棱镜干涉4种实验方法的研究和探讨J.物理实验,2008,28(4):25-28.3 廖立新,刘生长,米贤武.用双棱镜测激光波长的简单方法J.物理实验,2007,27(7):34-35.4 石顺祥,王学恩,刘劲松.物理光学与应用光学M.2版.西安:西安电子科技大学出版社,2009:58,320-321,55.图6 角 对光程差偏差 的影响曲线5 姚启钧.光学教程M.4版.北京:高等教育出版社,2008:14-21.46 物 理 实 验第31卷TheoreticalstudyofinterferencephenomenonbyFresnelbipris

14、mSHIJiang-jian,XUEPeng(DepartmentofPhysics,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China)Abstract:TherouteoflightinFresnelbiprismandtherelationshipofsomephysicalquantityde-scribinginterferencewerestudied.Thefeasibilityofthemethodofequaleffectswasconfirmedbyex-periment.Numericalcalculationshowedthattheopti

15、calpathdifferencebeforeandaftertheapplica-tionoftheequa-leffectsmethodused,wasequal.Keywords:lightdeflection;overlayoflightfield;equa-leffectsmethod;opticalpathdifference;numericalcalculation责任编辑:郭 伟(上接第41页)Moir fringeinelectricallyaddressedliquidcrystallightvalvesystemSUNXiang,ZHOUHu-ijun,WANGS-ihu

16、i(DepartmentofPhysics,NanjingUniversity,Nanjing210093,China)Keywords:Moir fringe;electricallyaddressedliquidcrystallightvalve;simulationoffringe;simulationofmeasuringspeed;diffractionimage责任编辑:郭 伟欢迎订阅 欢迎投稿物理实验 创刊于1980年,是教育部主管、东北师范大学主办的中文核心期刊(物理类),是教育部物理学与天文学教学指导委员会的会刊.物理实验 主要刊载物理实验成果,交流物理实验教学改革的新思想、新方法、新动