观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性有时还能顺ppt课件

1、在处理实践问题时，留意察看和蔼于想象是非常重要的，在处理实践问题时，留意察看和蔼于想象是非常重要的，察看与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺察看与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺理成章地找到处理实践问题的钥匙。本节的几个例子阐明，理成章地找到处理实践问题的钥匙。本节的几个例子阐明，猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。开普勒的三大定律尤其是后两条出具有创新性的结果。开普勒的三大定律尤其是后两条并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，

2、隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例子真实太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们经子真实太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们经常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又经常会被明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又经常会被推行出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，推行出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的失败而经常是对问题的更为深化结果也决不是一无所获的失败而经常是对问题的更为深化

3、的了解。的了解。 2. 5最短途径最短途径例例1最短途径问题最短途径问题 设有一个半径为设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的途径最近。制下，问怎样的途径最近。 ABOr将湖想象成凸出地面的木桩，将湖想象成凸出地面的木桩， 在在AB间拉一根软线，当间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短途径。根据这样的想象，猜测线被拉紧时将得到最短途径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短途径：可以如下得到最短途径： 过过A作圆的切

4、线切圆于作圆的切线切圆于E，过，过B作圆的切线切圆作圆的切线切圆 于于F。最短途径为由线。最短途径为由线 段段AE、弧、弧EF和线段和线段FB衔接而成的延续曲线根据对称性，衔接而成的延续曲线根据对称性，AE，弧，弧EF，FB衔接而成的延续曲线也是。衔接而成的延续曲线也是。EFEF以上只是一种猜测，如今来证明这一猜测是正确的。为此，以上只是一种猜测，如今来证明这一猜测是正确的。为此，先引见一下凸集与凸集的性质。先引见一下凸集与凸集的性质。定义定义1凸集称集合凸集称集合 R为凸集，假设为凸集，假设x1、x2R及及0，1，总有，总有x1+1x2R。即假设。即假设x1、x2R，那么，那么x1、x2的连

5、线必整个地落的连线必整个地落 在在R中。中。定理定理1分别定理对平面中的凸分别定理对平面中的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，存，存在直线在直线 l , l 分别分别R与与K，即，即R与与K分别位于分别位于 l 的两侧注：的两侧注：对普通的凸对普通的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，那么存在超平面分，那么存在超平面分 离离R与与K，见图。，见图。klR下面证明猜测下面证明猜测猜测证明如下：猜测证明如下：方法一显然，方法一显然， 由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用分别定理易证最短径不能够经过是一凸集。利用分别定理易证最短径不能够经过R外的点，假设不

6、然，设外的点，假设不然，设 为最短途径，为最短途径，过过R外的一点外的一点M，那么必存在直那么必存在直 线线l分别分别M与与R，由于途径，由于途径是延续曲线，由是延续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，。这样，直线直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的最短途径矛盾，至此，我们已证明最短途径必在凸的最短途径矛盾，至此，我们已证明最短途径必在凸集集R内。无妨设途径经湖的上方到达内。无妨设途径经湖的上方到达B点，那么弧点，那么弧EF必在必在途径途径F上，又直线段上，又直线段AE是由是由A

7、至至E的最短途径，直线的最短途径，直线FB是是由由F到到B的最短途径，猜测得证。的最短途径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml还可用微积分方法求弧长，根据计算证还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他延续曲线必具有明满足限止条件的其他延续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。几何知识加以证明等。 根据猜测不难看出，根据猜测不难看出， 例例5中的条件可以大大中的条件可以大大放松，可以不用放松，可以不用 设设AB过圆心，甚至可不用设过圆心，甚至可不用设湖是圆形的。例如对湖是圆形的。例如对 以下图，我们可断定由以下图，我们

8、可断定由A至至B的最短途径必的最短途径必 为为l1与与l2之一，其证明也之一，其证明也不难类似给出。不难类似给出。 ABl1l2D到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可非常自然地推行到普通空间其实上述猜测可非常自然地推行到普通空间中去。中去。1973年，年，J.W.Craggs证明了以上结果：证明了以上结果：假设可行区域的边境是光滑曲面。那么最短途径必由以下假设可行区域的边境是光滑曲面。那么最短途径必由以下弧组成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行弧组成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域的边境弧。而且，组成最短途径的

9、各段弧在衔接点处区域的边境弧。而且，组成最短途径的各段弧在衔接点处必定相切。必定相切。例例2 2 一辆汽车停于一辆汽车停于 A A处并垂直于处并垂直于ABAB方向，此方向，此汽车可转的最小圆半径为汽车可转的最小圆半径为 R R，求不倒车而由，求不倒车而由 A A到到B B的最短途径。的最短途径。解情况解情况1假设假设|AB|2R，最短途径由，最短途径由 弧弧AC与切线与切线BC组成见图组成见图 。情况情况2假设假设|AB|0假设g(0)也为0，那么初始时辰已四条腿着地，不用再旋转，于是问题归结为：yxCDABo知知f()、g()均为均为的延续函数，的延续函数，f(0)=0,g(0)0且对恣意且

10、对恣意有有f()g()=0，求证存在某一，求证存在某一0，使，使f(0)=g(0)=0。 证明证明 当当=/2时，时，AC与与BD互换位置，故互换位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作。作h()=f()-g()，显，显然，然，h()也是也是的延续函数，的延续函数，h(0)=f(0)-g(0)0，由延续，由延续函数的取零值定理，存在函数的取零值定理，存在 o，0o /2，h(0)=0，即，即f(o)=g(o)。又由于。又由于f(o)g(o)=0，故必有，故必有f(o)=g(o)=0，证毕。，证毕。 2.7 赛艇成果的比较赛艇成果的比较(比例模型比例模型)例例5 八人赛艇竞赛和举重竞赛一样，

11、分成八人赛艇竞赛和举重竞赛一样，分成86公斤公斤的分量级和的分量级和 73公斤的轻量级。公斤的轻量级。1971年，年，T.A.McMahon比较了比较了1964-1970年期间两次年期间两次奥运会和两次世锦赛成果，发现奥运会和两次世锦赛成果，发现 86公斤级比公斤级比73公斤级的成果大约好公斤级的成果大约好5%，产生这一差别的，产生这一差别的缘由何在呢？缘由何在呢？ 我们将以我们将以L表示轻量级、以表示轻量级、以H表示分表示分量级，用量级，用S表示赛艇的浸水面积，表示赛艇的浸水面积，v表示赛艇速度，表示赛艇速度，W表示选手体重，表示选手体重，P表示选手的输出功率，表示选手的输出功率，I表示赛程

12、，表示赛程，T表示竞赛成果时间。表示竞赛成果时间。 调查优秀赛艇选手在竞赛中的实践表现可以发现，整个赛程调查优秀赛艇选手在竞赛中的实践表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，大致可以分三个阶段， 即初始时辰的加速阶即初始时辰的加速阶 段、中途的匀速段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后。由于赛程较长，可以略去前后两段而只思索中间一段两段而只思索中间一段 ，为此，提出以下建模假设。，为此，提出以下建模假设。1设赛艇浸水部分的摩擦力是独一阻力，摩擦力设赛艇浸水部分的摩擦力是独一阻力，摩擦力f正比正比 于于Sv2,见流膂力学，空气阻力等其他要素

13、不计。见流膂力学，空气阻力等其他要素不计。2同一量级的选手有一样的体重同一量级的选手有一样的体重W，选手的输出功，选手的输出功 率率P正比于正比于W，且效率大体一样。，且效率大体一样。31HHH31LLLPSkT ,PSkT1331,()spfvsvP故v13()ISTVP竞赛成果可知31HL31LHHLSSPPTT故故由假设由假设2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故故令令WH=86,WL=73,那么有那么有由于由于SL略小于略小于SH，故轻量级所花时间比分量级所花时，故轻量级所花时间比分量级所花时间约间约 多多5%左右。左右。31HLHLSS TT1.056在建立数学模型

14、时经常需求确定一些参数，选什么量为参数，在建立数学模型时经常需求确定一些参数，选什么量为参数，怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问题变得复杂难解，给本人增添许多不用要的费事。确定参数题变得复杂难解，给本人增添许多不用要的费事。确定参数以后，普通需求利用数据来获得这些参数的详细取值，例如以后，普通需求利用数据来获得这些参数的详细取值，例如在运用阅历方法建模时，假设他预备用线性函在运用阅历方法建模时，假设他预备用线性函 数数ax+b来表来表达变量间的关系，他还要用最小二乘法去求出参达变量间的关系，他还要用最小二乘法去求出参 数数a

15、、b的的值，这一过程被称值，这一过程被称 为为“参数识参数识 别。总之，参数的选取应使别。总之，参数的选取应使其后的识别尽能够简便，让我们来调查一个实例。其后的识别尽能够简便，让我们来调查一个实例。2.8 参数识别参数识别例例6 录像带还能录多长时间录像带还能录多长时间例例6 录像机上有一个四位计数器，一盘录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟分钟的录像带在开场计数时为的录像带在开场计数时为 0000，到终了时计，到终了时计数为数为1849，实践走时为，实践走时为185分分20秒。我们从秒。我们从0084察看到察看到0147共用时间共用时间3分分21秒。假设录像秒。假设录像机目前的计数为机

16、目前的计数为1428，问能否还能录下一个，问能否还能录下一个 60分钟的节目？分钟的节目？rRl由由vt)r(R22得到得到212rvtR又又 因和因和 得得 Rl tvl tRv积分得到积分得到tdt)rvtv(d02120rrvt2rvt2t2212021)()(即即从而有从而有rrvtn212)(12我们希望建立一个录像带已录像时我们希望建立一个录像带已录像时 间间t与计数器计与计数器计 数数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必先必需搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像需搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像 带带的厚的厚 度

17、度w是常量，它被绕在一个半径是常量，它被绕在一个半径 为为r的园盘上，的园盘上，见图。磁带转动中线速见图。磁带转动中线速 度度v显然也是常数，否那么图显然也是常数，否那么图象声音必然会失真。此外，计数器的读象声音必然会失真。此外，计数器的读 数数n与转过的与转过的圈数有关，从而与转过的角圈数有关，从而与转过的角 度度成正比。成正比。 rRlrrvtrrvtn2122212)()(12 此式中的三个参数此式中的三个参数、v和和r均不易准确测得，均不易准确测得，虽然我们可以从上式解出虽然我们可以从上式解出t与与n的函数关系，的函数关系，但效果不佳，故令但效果不佳，故令 那么可将上式简化为：那么可将上式简化为： v /r nan1ttnntn2222222令令a1b2上式又可化简记成上式又可化简记成 t= an2+bn t= an2+bn rRl上式以上式以a、b为参数显然是一个十清楚智的为参数显然是一个十清楚智的做法，它为公式的最终确立刻参数求解提做法，它为公式的最终确立刻参数求