第五章 单纯形优化设计法1

1、1第五章第五章 单纯形优化设计法单纯形优化设计法前面我们已经介绍了几种设计方法，这些方法之间前面我们已经介绍了几种设计方法，这些方法之间有什么特点呢？有什么特点呢？因子设计法因子设计法正交设计法正交设计法均匀设计法均匀设计法 同时试验设计法同时试验设计法 （simultaneous design ）单因素试验设计法单因素试验设计法单纯形优化设计法单纯形优化设计法遗遗 传传 算算 法法 序贯试验设计法序贯试验设计法（sequential design） 第一节第一节 单纯形优化法概述单纯形优化法概述2序贯试验设计的特点：序贯试验设计的特点：不需要知道目标和因素之间关系的数学表达式，而不需要知道目

2、标和因素之间关系的数学表达式，而是通过试验指标值的比较，寻求试验的最佳工作条是通过试验指标值的比较，寻求试验的最佳工作条件。件。单纯形优化法是单纯形优化法是1962年年Spendley首先提出，后来由首先提出，后来由NelderNelder和和MeadMead于于19651965年进行了改进。其后在各领域都年进行了改进。其后在各领域都有很大发展，当然也包括化学化工领域。有很大发展，当然也包括化学化工领域。 3什么是什么是优化优化？简单说简单说优化优化就是如何把事情做的更好。就是如何把事情做的更好。在化学试验条件选择里，就是指如何得到最佳的试在化学试验条件选择里，就是指如何得到最佳的试验条件。验

3、条件。优化设计的三要素：优化设计的三要素： 设计变量、约束条件、目标函数。设计变量、约束条件、目标函数。 1. 在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数处于变化的参数称为称为设计变量设计变量。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：表示：12.Tnxxxx42. 一个一个可行设计可行设计必须满足某些设计限制条件，这些必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作限制条件称作约束条件约束条件，简称，简称约束约束。约束约束性能约束性能约束侧面约束侧面约束针对性能要求针对性能要求只对设

4、计变量的取值范围限制只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）（又称边界约束）（按性质分）（按性质分）（按数学表（按数学表达形式分）达形式分）约束约束等式约束等式约束不等式约束不等式约束h(x)=0g(x)0可行域：可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。空间的活动范围。53. 目标函数目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的是设计变量的函数，是设计中所追求的目目标标。如：产率，回收率，分离度等。如：产率，回收率，分离度等。在优化设计中，用在优化设计中，用目标函数目标函数的大小来衡量设计方案的的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称

5、优劣，故目标函数也可称评价函数评价函数。目标函数目标函数的一般表示式为：的一般表示式为：12( )( ,.)nf xf x xx6优化设计的目的优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使：函数达到最佳值，即使：( )f xOpt目标函数目标函数单目标设计问题单目标设计问题多目标设计问题多目标设计问题 目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用合的目标函数，如采用线性加权线性加权的形式，即：的形式，即：1 122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fx7优化设计

6、的数学表达（数学模型式）：优化设计的数学表达（数学模型式）： ), 1(0),(), 1(0),(.),(212121ljxxxhmixxxgt sxxxfoptnjnin优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。8优化设计数学模型的分类：优化设计数学模型的分类：(1) 按设计变量和参数的性质分：按设计变量和参数的性质分：确定型模型确定型模型随机型模型随机型模型设计变量和参数取值设计变量和参数取值确定确定设计变量和参数取值设计变量和参数取值随机随机(2) 按目标函数和约束函数的性质分：按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计

7、变量的线性函数目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数, 称称为为线性规划问题线性规划问题;b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为数，则为二次规划问题二次规划问题。9 优化分类：优化分类： 1 1）无约束优化）无约束优化: :在没有限制的条件下，对设计变在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的最佳值量求目标函数的最佳值； 2 2）约束优化）约束优化: :在可行域内对设计变量求目标函数在可行域内对设计变量求目标函数的最佳值的最佳值。 这些名词是不是很抽象？其实这个很简单，很容这些名词是不是很抽象？其实这个很简单，很容易理解。具体到我

8、们要解决的实际问题时，基本都是易理解。具体到我们要解决的实际问题时，基本都是约束优化。约束优化。比如我们要解决化学问题，必须结合考虑，不能出比如我们要解决化学问题，必须结合考虑，不能出现负浓度值、现负浓度值、pHpH只能在只能在0 01414之间，某些反应的温度必之间，某些反应的温度必须控制在一定范围等等，这些就是约束条件。须控制在一定范围等等，这些就是约束条件。10优化算法：优化算法：1 1）解析法（一阶、二阶导数）；）解析法（一阶、二阶导数）；2 2）直接法（）直接法（ 单纯形法等）。单纯形法等）。事实上，前面讲事实上，前面讲均匀设计法均匀设计法时，对建立的模型求最佳时，对建立的模型求最佳

9、条件就是采用的求导数法；条件就是采用的求导数法；而而单纯形法单纯形法正是这一章要重点讲的。正是这一章要重点讲的。另外像另外像遗传算法遗传算法，这也是最近十几年化学计量学中的，这也是最近十几年化学计量学中的一个很重要的领域，也属于直接法。一个很重要的领域，也属于直接法。11什么是什么是单纯形单纯形？单纯形（单纯形（SimplexSimplex）是数学里最优化方法中的一个名是数学里最优化方法中的一个名词。词。它是指它是指多维空间多维空间的的凸多面体凸多面体，其顶点数比空间维，其顶点数比空间维数多数多1。例如：例如：一维空间一维空间的单纯形是一条直线，的单纯形是一条直线，二维空间二维空间中是中是三角

10、形三角形，三维空间三维空间中是四面体。中是四面体。 12什么是什么是单纯形优化法单纯形优化法？单纯形优化法单纯形优化法是一种是一种多维搜索寻优方法多维搜索寻优方法。它是利用单纯形的顶点计算它是利用单纯形的顶点计算目标函数目标函数值值,按一定的规则按一定的规则进行进行探索性探索性搜索搜索,判断目标函数的变化趋势判断目标函数的变化趋势,确定有利的确定有利的搜索方向搜索方向和和步长步长。 经过不断的迭代，经过不断的迭代，最终使结果收敛最终使结果收敛到最优解到最优解。单纯形优化法实际上由两部分组成：单纯形优化法实际上由两部分组成：一是初始单纯形的生成一是初始单纯形的生成，即找出初始的，即找出初始的n+

11、1 个顶点；个顶点；二是其迭代过程二是其迭代过程。初始单纯形的取法对迭代过程的收。初始单纯形的取法对迭代过程的收敛性影响很大。敛性影响很大。 13单纯形优化法的基本思想：单纯形优化法的基本思想：给定初始点给定初始点X0 ，产生初始单纯形，产生初始单纯形S0，通过反射、扩，通过反射、扩张、压缩、收缩一系列动作将单纯形翻滚、变形，张、压缩、收缩一系列动作将单纯形翻滚、变形，从而产生一系列单纯形，并逐渐向极小点靠拢。从而产生一系列单纯形，并逐渐向极小点靠拢。更具体说就是：对更具体说就是：对n 维空间的维空间的n+1 个点个点(以它们为顶以它们为顶点形成一个点形成一个n 维单纯形维单纯形)的目标函数值

12、进行比较，丢的目标函数值进行比较，丢弃其中的最弃其中的最“坏坏”点，代之以适当的新点，形成新点，代之以适当的新点，形成新的单纯形。重复比较，逐步逼近最优点，如图。的单纯形。重复比较，逐步逼近最优点，如图。14单纯形优化法示意图单纯形优化法示意图单纯形优化的特点单纯形优化的特点：优化方法简便，信息量多，对于因素较多的试验设计优化方法简便，信息量多，对于因素较多的试验设计问题尤为适用。问题尤为适用。 15第二节第二节 基本单纯形基本单纯形对对n个因素的试验优化问题，单纯形就是在个因素的试验优化问题，单纯形就是在n维空间中维空间中由不处于同一超平面上的由不处于同一超平面上的n+1个顶点构成的凸多面体

13、。个顶点构成的凸多面体。故此，一维空间的单纯形是一条直线，故此，一维空间的单纯形是一条直线，二维空间的单纯形就是三角形，二维空间的单纯形就是三角形，三维空间的单纯形就是四面体，三维空间的单纯形就是四面体，高于三维空间的单纯形一般只能以数学解析式表示。高于三维空间的单纯形一般只能以数学解析式表示。 各条边长相等的单纯形叫各条边长相等的单纯形叫正规单纯形正规单纯形。如：当如：当n2时，等边三角形就是正规单纯形。时，等边三角形就是正规单纯形。 16在在n维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示，维空间中单纯形的每个顶点可以用对应的坐标表示，如二维空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示：如二维

14、空间的单纯形的三个顶点可用三角形的坐标表示：（x11,x12），（），（x21,x22），（），（x31,x32）。）。NOTENOTE：在坐标中下标中的第一个数字为顶点代号，第在坐标中下标中的第一个数字为顶点代号，第二个数字为变量（因素）代号。每个顶点的坐标表示试二个数字为变量（因素）代号。每个顶点的坐标表示试验中各因素的取值。验中各因素的取值。因此对于因此对于n个因素的试验设计问题，个因素的试验设计问题，n维空间中单纯形维空间中单纯形的一个顶点就表示一次试验，的一个顶点就表示一次试验，该顶点（该顶点（x1,x2, ,xn）即）即为这为这n个因素的某一种因素水平的搭配方式个因素的某一种因素水

15、平的搭配方式。 17一一. .单纯形优化法的寻优过程概述：单纯形优化法的寻优过程概述：首先首先，单纯形优化法从初始，单纯形优化法从初始n+1n+1个顶点出发，从比较个顶点出发，从比较初始的初始的n+1n+1次试验的目标值的优劣，判断目标函数变次试验的目标值的优劣，判断目标函数变化的大致趋势，作为寻优方向的参考。化的大致趋势，作为寻优方向的参考。然后然后，逐步淘汰其中目标值最差的试验点，增加可能，逐步淘汰其中目标值最差的试验点，增加可能改进目标值的新的试验点，如此不断搜索，逐步达到改进目标值的新的试验点，如此不断搜索，逐步达到目标的最优值，从而确定各因素的最佳水平组合。目标的最优值，从而确定各因

16、素的最佳水平组合。 大量研究表明，对于多因素试验设计，单纯形优化法大量研究表明，对于多因素试验设计，单纯形优化法具有试验次数少，信息量多，收敛于最优目标速度快具有试验次数少，信息量多，收敛于最优目标速度快等优点，是一种优化的试验设计方法。等优点，是一种优化的试验设计方法。 18二二. .初始单纯形的确定初始单纯形的确定 如前所述，要完成单纯形优化过程，如前所述，要完成单纯形优化过程，首先必须构造一个首先必须构造一个初始单纯形初始单纯形。那么，对于那么，对于n个因素的实验设计问题，首先要确定个因素的实验设计问题，首先要确定n1个试验点，这个试验点，这n1个点的各因素通常可根据化学工作个点的各因素

17、通常可根据化学工作者的化学知识和实践经验来选取。者的化学知识和实践经验来选取。对于所进行的试验，化学工作者一般都有某些先验知识，对于所进行的试验，化学工作者一般都有某些先验知识，能提出试验条件的某些假设条件。能提出试验条件的某些假设条件。 19事实上，事实上，n+1个点的选取，一般只需先确定一个初始点个点的选取，一般只需先确定一个初始点x0=（x01,x02,x0n）T T，其中，其中x01,x02,x0n分别为分别为n个因素个因素的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定一的某一初始水平。然后对每一因素，根据经验确定一个个步长，即该因素相对于初始水平变化的幅度步长，即该因素相对于初始水平变

18、化的幅度。譬如考虑譬如考虑pHpH这一因素，若初始水平为这一因素，若初始水平为pH=7.0pH=7.0，步长为，步长为0.50.5，则表示，则表示pHpH这一因素从这一因素从7.07.0起按起按0.50.5的间距改变的间距改变pHpH值值来进行试验。来进行试验。如果再考虑反应温度，假定初始水平为如果再考虑反应温度，假定初始水平为4040o oC C，步长为，步长为5 5度，则表示温度从度，则表示温度从4040度起按度起按5 5度的间距改变温度进行试度的间距改变温度进行试验。验。 20这样，在确定初始单纯形的一个初始顶点这样，在确定初始单纯形的一个初始顶点x0和步长和步长aj后，其余后，其余n个

19、顶点的因素水平就可产生：个顶点的因素水平就可产生： x1=(x01+p1, x02+q2, x03+q3, , x0n+qn)Tx2=(x01+q1, x02+p2, x03+q3, , x0n+qn)Tx3=(x01+q1, x02+q2, x03+p3, , x0n+qn)T xn=(x01+q1, x02+q2, x03+q3, , x0n+pn)T（1）21式中：式中：i0,1,2,n；j1,2,n，xij表示第表示第i个顶点第个顶点第j个因素的水平取值。个因素的水平取值。 其中：其中： 112nnnapjj112nnaqjj事实上，各顶点坐标有个计算通式：事实上，各顶点坐标有个计算通

20、式： xij=x0j+pj, ij； xij=x0j+qj, ij； (1)*（2）22这样由这样由x0，x1，xn共共n1个顶点可得到一个不在同个顶点可得到一个不在同一超平面上的初始单纯形。由于各因素的步长都具有一超平面上的初始单纯形。由于各因素的步长都具有相同的数值，即初始单纯形是以相同的数值，即初始单纯形是以x0为顶点，各棱长为为顶点，各棱长为aj的的正规单纯形正规单纯形。 为了便于应用，下表给出了不同为了便于应用，下表给出了不同n值时计算初始单纯形值时计算初始单纯形的的pj和和qj值值 。23初始单纯形的初始单纯形的p p和和q q值值n np pq q1 1a a0.29290.29

21、29a a2 20.9659a0.9659a0.25880.2588a a3 30.9428a0.9428a0.23570.2357a a4 40.9256a0.9256a0.21850.2185a a5 50.9121a0.9121a0.20500.2050a a6 60.9011a0.9011a0.19400.1940a a7 70.8918a0.8918a0.18470.1847a a8 80.8839a0.8839a0.17680.1768a a9 90.8770a0.8770a0.16990.1699a a10100.8709a0.8709a0.16380.1638a a24 上述方

22、法是根据上述方法是根据初始点初始点和和步长步长来计算初始单纯形的各来计算初始单纯形的各个顶点，各因素的步长是相同的个顶点，各因素的步长是相同的,称作称作固定步长法或正固定步长法或正规单纯形法规单纯形法。 如二因素实验举例：如二因素实验举例： 因素因素1：pH，因素，因素2：温度。：温度。 初始值初始值x0=(7.0,40);步长步长a1=0.5, a2=5。 这是几维单纯形？有几个顶点？这是几维单纯形？有几个顶点？ 第一个顶点第一个顶点x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2) =(7.0+a1,40+0.2588*a2) 第二个顶点第二个顶点x2=(x21,x22)=(x01+

23、q1,x02+p2) =(7.0+0.2959*a1,40+0.9659*a2)25 实际过程中，各因素步长和单位并不相实际过程中，各因素步长和单位并不相同，利用这种方法会变得很麻烦，在实同，利用这种方法会变得很麻烦，在实际应用中问题较多。际应用中问题较多。 Long系数法系数法、均匀设计法均匀设计法和和黄金分割法黄金分割法也常用于初始单纯形的构造。我们下面也常用于初始单纯形的构造。我们下面再介绍前两个构成初始单纯形的方法。再介绍前两个构成初始单纯形的方法。26 Long系数表法系数表法 D.E. Long提出一种用系数表构成初始单纯形提出一种用系数表构成初始单纯形各顶点的方法，可以解决试验设

24、计中初始单纯各顶点的方法，可以解决试验设计中初始单纯形的构成问题。形的构成问题。 使用时把表中的对应值乘上该因素的步长后，使用时把表中的对应值乘上该因素的步长后，再加到初始点坐标上。再加到初始点坐标上。271234567891010A B C D E F G H I J01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890000.8170.2040.2040.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.158

25、0.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素因素顶点顶点Long系数表系数表28 例：有一个二因素的设计过程，其初始点为例：有一个二因素的设计过程，其初始点为(10.0,2.0)；步长为；步长为1.0和和0.5，据，据Long系数表来计算系数表来计算其余两个顶点的坐标其余两个顶点的坐标顶点顶点1： （10.0,2.0）顶点顶点2

26、： （10.0+1.001.0，2.0+00.5） =（11.0,2.0）顶点顶点3： （10.0+0.51.0，2.0+0.8660.5） =（10.5，2.433）29 均匀设计表法均匀设计表法 利用利用Long系数表法所构成的初始单纯形各顶点系数表法所构成的初始单纯形各顶点在空间的分布是不均匀的，因此进行的是不均匀在空间的分布是不均匀的，因此进行的是不均匀优化。优化。 均匀设计表改变了这个缺点，使各顶点在空间均均匀设计表改变了这个缺点，使各顶点在空间均匀分布，这样进行的优化就是匀分布，这样进行的优化就是整体的均匀优化。整体的均匀优化。 据所选因素的因素数，确定一个比较合适的均匀据所选因素

27、的因素数，确定一个比较合适的均匀表，使用时把表中的对应数值乘以响应因素的步表，使用时把表中的对应数值乘以响应因素的步长，加到初始点坐标上即可。长，加到初始点坐标上即可。30 例：我们有一个四因素的优化过程，因此可以选用四例：我们有一个四因素的优化过程，因此可以选用四因素的均匀设计表。设初点为因素的均匀设计表。设初点为(1.0,1.0,1.0,1.0);步长为步长为0.5,1.0,0.5,2.0。要求计算初始单纯形的各顶点。要求计算初始单纯形的各顶点。12345A B C D12345241353142543215列号（因素）试验次数（顶点）四因素均匀设表四因素均匀设表U5(54)31顶点顶点1

28、：（1.0+1 0.5,1.0+2 1.0, 1.0+3 0.5,1.0+4 2.0） =（1.5,3.0,5.5,9.0）顶点顶点2：（1.0+2 0.5,1.0+4 1.0, 1.0+1 0.5,1.0+32.0） =（2.0,5.0,2.5,7.0）顶点顶点3：（1.0+3 0.5,1.0+11.0, 1.0+4 0.5,1.0+2 2.0） =（2.5,2.0,7.0,5.0）顶点顶点4：（1.0+4 0.5,1.0+3 1.0, 1.0+2 0.5,1.0+1 2.0） =（3.0,4.0,4.0,3.0）顶点顶点5：（1.0+5 0.5,1.0+5 1.0, 1.0+5 0.5,1

29、.0+52.0） =（3.5.6.0,8.5.11.0）32三三. .基本单纯形优化（有的文献称为移动、推进等）基本单纯形优化（有的文献称为移动、推进等） 确定了初始单纯形的确定了初始单纯形的n+1个试验点之后，可在这个试验点之后，可在这n+1个个试验点的因素水平下做试验，得到试验点的因素水平下做试验，得到n+1个指标值，根据个指标值，根据指标值的优劣，逐步舍弃最差点，寻求好的实验条件，指标值的优劣，逐步舍弃最差点，寻求好的实验条件，最终达到最优目标。最终达到最优目标。设在初始单纯形中最好的顶点记为设在初始单纯形中最好的顶点记为xB，最差的记为，最差的记为xW，次差点记为次差点记为xN。单纯形

30、优化中首先舍去最差点。单纯形优化中首先舍去最差点xW，并，并引入一个新试验点引入一个新试验点xR，这个新试验点是由，这个新试验点是由xW对除对除xW外外的其余的其余n个点的重心个点的重心反映反映得到的。得到的。 33因此首先计算除因此首先计算除xW后的重心指标：后的重心指标： nWiiipxnx, 01（3） 然后将最差点然后将最差点xW对对xp进行反映，得反映点进行反映，得反映点xR： 该公式的另一个写法是：该公式的另一个写法是： niwipxxnx01(3)* xRxP（xP- xW） (4) 34求反映点公式的另一个写法是：求反映点公式的另一个写法是： NOTE：xR, xP和和xW均为

31、均为n维向量，其中每个元素的数维向量，其中每个元素的数值表示这些点处值表示这些点处n个因素所取的水平。个因素所取的水平。wniwiRxxxnx 02(4)* 得到新点后在该点各因素水平下再做一次试验，然后得到新点后在该点各因素水平下再做一次试验，然后再比较新单纯形（删除再比较新单纯形（删除xW，加入，加入xR）中各试验点处指）中各试验点处指标值的优劣，找出新的最差点。如此继续进行，逐渐标值的优劣，找出新的最差点。如此继续进行，逐渐逼近最优点。逼近最优点。 35NOTENOTE：在单纯形寻优过程中，有时会出现一些问题，在单纯形寻优过程中，有时会出现一些问题，如：如：1 1）最差点反映到的新试验点

32、的目标值在新单纯形）最差点反映到的新试验点的目标值在新单纯形中也是最差的，从而使寻优进入死循环；中也是最差的，从而使寻优进入死循环；2 2）或者某些新试验点的因素水平会超出这些因素的限）或者某些新试验点的因素水平会超出这些因素的限制条件（如出现负值等）使新的试验无法进行。制条件（如出现负值等）使新的试验无法进行。那么如何解决这些问题呢？那么如何解决这些问题呢？36基于以上考虑，基于以上考虑，单纯形优化中有如下规定：单纯形优化中有如下规定：（1 1）若新的反映点）若新的反映点xR的指标值在新单纯形中是最差的，的指标值在新单纯形中是最差的，则用新单纯形中的次差点反映，以改变寻优方向；则用新单纯形中

33、的次差点反映，以改变寻优方向；（2 2）若新试验点）若新试验点x xR R的因素水平超出某因素的约束条件，的因素水平超出某因素的约束条件，则人为规定该新点为最差点；则人为规定该新点为最差点； （3 3）若一个试验点连续在）若一个试验点连续在n+1n+1个单纯形中保留，且该个单纯形中保留，且该点为当前的最佳点，则该点为所求的最优点。点为当前的最佳点，则该点为所求的最优点。 这种单纯形优化法即为这种单纯形优化法即为基本单纯形法基本单纯形法。37基本单纯形法的特点是：基本单纯形法的特点是：一旦初始单纯形确定，寻优过程的步长是固定的。如一旦初始单纯形确定，寻优过程的步长是固定的。如果步长过大，则收敛速

34、度过快，靠近最优点的收敛精果步长过大，则收敛速度过快，靠近最优点的收敛精度较差；反之若步长较小，最优点附近收敛精度较好，度较差；反之若步长较小，最优点附近收敛精度较好，但收敛速度较慢，需进行的试验次数也较多。但收敛速度较慢，需进行的试验次数也较多。 也就是也就是说基本单纯形法的灵活性较差。说基本单纯形法的灵活性较差。为此，又出现了为此，又出现了改进单纯形法改进单纯形法。单纯形优化过程可用表和图形象表示。单纯形优化过程可用表和图形象表示。38顶点顶点当前单纯形当前单纯形 顶点排列顶点排列(1)丢弃点丢弃点新点新点新顶点响应值新顶点响应值4ABCABC(2)AD655BCDBCDBE606CDEC

35、EDCF767DEFEDFEG718DFGDGFDH919FGHGFHGI6610FHIIFHF(3)J7711HIJIJHIK9512HJKJHKJL7213HKLLHKH(3)M6614KLMMLKL(3)N8515KMNMNKMO8316KNOONKN(3)P(=J)7739（1）排列顺序：最差、次差、最好点；排列顺序：最差、次差、最好点；（2 2）初始单纯形指标值：）初始单纯形指标值：A A3737，B B4545，C C5353；（3 3）反映点（新点）最差时把次差点丢弃。）反映点（新点）最差时把次差点丢弃。基于上表的基于上表的基本单纯形基本单纯形寻优过程示寻优过程示意图意图 可以看

36、出，在可以看出，在第第11个点个点K处处实际上已达到实际上已达到最佳区域附近最佳区域附近40四四.改进单纯形改进单纯形 基本单纯形法的缺点：基本单纯形法的缺点：很难兼顾收敛速度和收敛精度两方面的要求。很难兼顾收敛速度和收敛精度两方面的要求。19651965年，年，NelderNelder和和MeadMead提出了提出了改进单纯形法改进单纯形法 ：在基本单纯形法基础上增加了在基本单纯形法基础上增加了步长调节功能步长调节功能，使得寻，使得寻优过程的收敛速度和精度都得以改善。优过程的收敛速度和精度都得以改善。 41改进单纯形法寻优的基本思想改进单纯形法寻优的基本思想 ：第一步，首先确定第一步，首先确

37、定n+1个试验点，构造初始单纯形，个试验点，构造初始单纯形，并进行并进行n+1次试验，得到各试验的目标值，找出最差次试验，得到各试验的目标值，找出最差点点xw。这一步和基本单纯形法相同；。这一步和基本单纯形法相同； 第二步，求出最差点第二步，求出最差点xw对其余各点重心对其余各点重心xp的反映点的反映点xR，根据根据xR点的试验结果，将其与最好点点的试验结果，将其与最好点xB，次差点，次差点xN及及最差点最差点xW的指标值做比较，具体可分为四种情况。的指标值做比较，具体可分为四种情况。 42（1）扩张）扩张 反映（也叫反射）点反映（也叫反射）点xR是当前最佳点，这是当前最佳点，这表明寻优方向正

38、确，可考虑加快优化速度，将单纯形表明寻优方向正确，可考虑加快优化速度，将单纯形扩张，亦即将试验点沿扩张，亦即将试验点沿xWxR方向延伸到方向延伸到xE（见下（见下图）。图）。 43xE这样计算：这样计算：(5)(5)xExPg g(xP- xW)式中，式中，g g为大于为大于1的系数，叫的系数，叫单纯形扩张系数单纯形扩张系数，通常取，通常取1.22之间。之间。 在在xE点再做一次试验，若响应指标值优于点再做一次试验，若响应指标值优于xR，说明单，说明单纯形扩大成功，寻优方向正确。此时保留纯形扩大成功，寻优方向正确。此时保留xE作为扩大作为扩大后的新单纯形（不含后的新单纯形（不含xR和和xW）的顶点，继续寻优。这）的顶点，继续寻优。这时因单纯形扩张，已不再是正规单纯形。时因单纯形