资本回收因子capitalrecoveryfactor教学文稿

1、资本回收因子CapitalRecoveryFactor 基本推基本推導導: F/P F/P 因子因子( (複複利利過過程程) )nF/P複利因子複利因子 欲求欲求 F ，已知已知 PP0FnN.欲求欲求 F ，已知已知 P隨時間向前複利隨時間向前複利從從 F/P推推導現導現值因子值因子 FN = P * (1+i)nP = F1/ (1+i)n = F* (1+i)-n = F* (P/F,i%,n) n因此因此:(P/F,i%,n) = (1+i)-n一次支付現值因子一次支付現值因子 範例 1. 借$8,000 以每年10%之利率 ，本利和均在4年後償還 ，求4年後之償還金額為何? 2. 某

2、人現在欲在銀行存筆錢以供七年後花費$500， 若每年之利率為 10%，求此人現在應存多少錢?範例 3.設年利率i=10%，試問需要多少年可以使現在的投資金額變為兩倍? 4.設現在的投資金額為$100，若該投資可望於5年後回收$150，試問該投資的年報酬率為何?多次支付等額多次支付等額(年金年金)系列系列(Uniform Series of Cash Flow)n已知A求 F$A （每期）（每期）F= ?0.n 1 2 3 . . n-1求求 $F ，已知已知 $A 流量流量等等額額系列系列複複利因子利因子(F/A)(F/A)的推導(Uniform Series Compound-Amount

3、Factor)F=A* = A * (F/A, i%, N) iiN1)1(等額系列複利因子等額系列複利因子等等額額系列系列償債償債基金因子基金因子(A/F)(A/F)的推導(Sinking_Fund Factor)0.N$A /每期每期$F求求 $A ，已知未來值，已知未來值- $Fn已知F求 AA/FA/F的推的推導導A= F* = F * (A/F, i%, N) 等額系列償債基金因子等額系列償債基金因子1)1(Nii等等額額系列系列現現值因子值因子n已知A求 P$A （每期）（每期）P = ?0.n 1 2 3 . . n-1求求 $P，已知年值，已知年值- $A等等額額系列系列現現值

4、因子值因子P/AP/A的推的推導導1211111.(1)(1)(1)(1)nnPAiiii括號內的關係為幾何等比級數括號內的關係為幾何等比級數. 此式乘以此式乘以 1/(1+i) 則產生下一個式子則產生下一個式子(1)1 0(1)nniPAfor iii= A* (P/A, i%, N) 等額系列現值因子等額系列現值因子資資本回收因子本回收因子(Capital Recovery Factor)n已知P求A$A =?（每期）（每期）P0.n 1 2 3 . . n-1求求 $A，已知，已知 $P資資本回收因子本回收因子A/P的推的推導導n 已知已知 P/A 因子因子(1)1 0(1)nniPAf

5、or iii(1)(1)1nniiAPi產生產生.= P* (A/P,i%,n)資本回收因子資本回收因子【範例】(1) 已知某人向銀行借款$8,000，年利率10%，預計每年以等額方式分四年償還貸款，求每年償還之年金為多少?(2) 試求算4年中，每期年金所支付之利息分別為何?線線性定差的例子性定差的例子0 1 2 3 n-1 NA1+GA1+2GA1+n-2GA1+n-1G這表示正的漸增的定差系列這表示正的漸增的定差系列現現值值點點 0 1 2 3 4 5 6 7$100$200$300$400$500$600$700X定差的現值點定差的現值點現現值值定差的部分定差的部分n一般的一般的 CF

6、圖圖 只有定差的部分只有定差的部分0 1 2 3 4 . n-1 n1G2G3G(n-2)G(n-1)G0G我們要求我們要求 PW， 在在 t = 0 (1G左邊的兩期左邊的兩期)23n-1n12n-2n-1P=G.(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)112n-2n-112n-2n-1P(1+i) =G.(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)-G (1)1P=i(1)(1)NNNiNiiiP/G 因子因子，對對於於 i 和和NG(1)1P =i(1)(1)NNNiNiiiNNiiNii)1(1)1(2= G * = G * (P/G, i %,N)2(1)1(/,% ,)(1)NNii

7、NPGiNii定差變現值因子定差變現值因子A/G 因子因子(1)(1)1NNiiiG (1)1P=i(1)(1)NNNiNiii1(1)1NnGii(A/G,i,n) = 幾幾何定差何定差：漸漸增增令令A1 = 系列中第一次現金流量系列中第一次現金流量 g = 固定改變率固定改變率 0 1 2 3 4 . n-1 nA1A1(1+g)A1(1+g)2A1(1+g)3A1(1+g)n-1幾幾何定差何定差：漸減漸減令令A1 = 系列中第一次現金流量系列中第一次現金流量A1A1(1-g)A1(1-g)2A1(1-g)3A1(1-g)n-10 1 2 3 4 . n-1 n幾幾何定差何定差: 推推導導

8、推導幾何定差推導幾何定差，需要以下的參數需要以下的參數:每期利率每期利率 I固定改變率固定改變率 g時間期數時間期數 n起始現金流量起始現金流量 A1幾幾何定差的何定差的 P/A 因子因子 這是這是 (P/A,g,i,n) 因子因子，且是有效的且是有效的 若若 g 不等於不等於 i.1111 ginggiPAig幾幾何定差何定差: i = g 的情形的情形g11111P = A.(1 + i)(1 + i)(1 + i)(1 + i)1( 1)gn APi當當 i = g當當未知年限未知年限時時0 1 2 . . . . . . . nP = $1,000Fn = $2000Fn=? = 100