量子力学与固体物理

1、1第一部分第一部分 量子力学量子力学2看量子力学在真实世界中看量子力学在真实世界中的的10大应用大应用 一、陌生的量子，不陌生的晶体管 二、量子干涉“搞定”能量回收:量子干涉描述了同一个量子系统若干个不同态叠加成一个纯态的情况，研究人员利用它研制了一种分子温差电材料，能够有效的将热量转化为电能。更重要的是，这种材料的厚度仅仅只有百万分之一英尺,在其发挥功效时，不需要再额外安装其他外部运动部件，也不会产生任何污染。研究团队表示，如果用这种材料将汽车的排气系统包裹起来的话，车辆因此将获得足以点亮200枚100瓦灯泡的电能。 三、不确定的量子，极其确定的时钟美国海军气象天文台一台铯原子钟，能够在20

2、00万年之后，依然保持误差不超过1秒。通过调整铯原子的能量层级来抑制量子噪声程度的方法。 四、量子密码之战无不胜篇 五、随机数发生器：上帝的“量子骰子”他们先是通过在真空中制造波动来产生出量子噪声，然后测量噪声所产生的随机层级，借此获得可以用于信息加密、天气预演等工作的真正随机数字。值得一提的是，这种骰子被安装在固态芯片上，能够胜任多种不同的使用需求。 六、我们与激光险些失之交臂 七、专门挑战极端的超精密温度计耶鲁大学的研究人员发明了一支可以对付这些情况的神奇温度计。它不仅在极端环境中保持坚挺，更能够提供无比精确的数值。 八、人人都爱量子计算机顺应量子时代或许才是人们最好的选择。相比传统计算机

3、，量子计算机具有无可比拟的巨大优势：并行处理。借助并行处理的能力，量子计算机能够同时处理多重任务，而不是像传统计算机那样还要分出轻重缓急。量子计算机的这一特性， 注定它在未来将以指数级的速度超越传统计算机。 九、想知道什么是真正的瞬时通信吗 十、远距传输从科幻到现实 引言引言量子力学简史量子力学简史67一个世纪以前，我们所理解的物理世界是经验性的一个世纪以前，我们所理解的物理世界是经验性的, ,在在当当时，人们时，人们看来最显著的事情是对于物质属性的简明描述看来最显著的事情是对于物质属性的简明描述基本上是经验性的基本上是经验性的包括包括分子，流体和固体，导体和半导分子，流体和固体，导体和半导体

4、。成千上万页的光谱数据罗列了大量元素波长的精确体。成千上万页的光谱数据罗列了大量元素波长的精确值，但是谁都不知光谱线为何会出现，更不知道它们所值，但是谁都不知光谱线为何会出现，更不知道它们所传递的信息。对热导率和电导率的模型解释仅符合大约传递的信息。对热导率和电导率的模型解释仅符合大约半数的事实。虽有不计其数的经验定律，但都很难令人半数的事实。虽有不计其数的经验定律，但都很难令人满意。满意。而量子力学的建立，而量子力学的建立，量子力学提供了一种定量的物质理量子力学提供了一种定量的物质理论。论。使得上述问题迎刃而解，同时使得化学、生物、医使得上述问题迎刃而解，同时使得化学、生物、医学等学科迅速发

5、展。如：作为量子力学的产物的电子学学等学科迅速发展。如：作为量子力学的产物的电子学是人类进入计算机时代，光子学则是人类进入信息时代。是人类进入计算机时代，光子学则是人类进入信息时代。量子力学展示了其强大的威力，当时其本质却至今没有量子力学展示了其强大的威力，当时其本质却至今没有得到满意的阐述。得到满意的阐述。D. Kleppner & R. Jackiw 8一个如此令世界震撼和困惑的史无前例的概念被提一个如此令世界震撼和困惑的史无前例的概念被提出，以至于在引入该概念后的出，以至于在引入该概念后的2020年里没有进展。年里没有进展。19001900年普朗克（年普朗克（Max PlanckMax

6、Planck）提出量子概念。）提出量子概念。在他关于热辐射的经典论文中，普朗克假定振动系在他关于热辐射的经典论文中，普朗克假定振动系统的总能量不能连续改变，而是以不连续的能量子统的总能量不能连续改变，而是以不连续的能量子形式从一个值跳到另一个值。形式从一个值跳到另一个值。能量子的概念太激进了，普朗克后来将它搁置下来。能量子的概念太激进了，普朗克后来将它搁置下来。就像他后来所说的那样：就像他后来所说的那样： “ “量子化只不过是一个走量子化只不过是一个走投无路的做法投无路的做法”。如果没有新秀阿尔伯特如果没有新秀阿尔伯特爱因斯爱因斯坦，量子物理恐怕要至此结束。坦，量子物理恐怕要至此结束。概念的提

7、出：概念的提出：9随后，爱因斯坦在随后，爱因斯坦在19051905年认识到光量子化的潜年认识到光量子化的潜在意义，在意义，他毫不犹豫的断定：他毫不犹豫的断定：如果振子的能量是量子化的，那么产生光的电如果振子的能量是量子化的，那么产生光的电磁场的能量也应该是量子化的。随后十多年的磁场的能量也应该是量子化的。随后十多年的光电效应实验对此做了有力的证明。光电效应实验对此做了有力的证明。另一个重要概念：物质悖论则促成了第二步。另一个重要概念：物质悖论则促成了第二步。接着，又是一个新秀尼尔斯接着，又是一个新秀尼尔斯玻尔迈出了决定玻尔迈出了决定性的一步。性的一步。19131913年，玻尔提出了一个激进的假

8、年，玻尔提出了一个激进的假设：设：定态定态。1019231923年路易年路易德布罗意在他的博士论文中提出德布罗意在他的博士论文中提出光的粒子行为光的粒子行为与粒子的波动行为应该是对应存在与粒子的波动行为应该是对应存在的。德布罗意的假设是一的。德布罗意的假设是一个重要的前凑，很多事情就要发生了。个重要的前凑，很多事情就要发生了。19241924年夏天，出现了又一个前凑。萨地扬德拉年夏天，出现了又一个前凑。萨地扬德拉NN玻色提玻色提出了一种全新的方法来解释普朗克辐射定律。他把光看作出了一种全新的方法来解释普朗克辐射定律。他把光看作 一种无（静）质量的粒子（现称为一种无（静）质量的粒子（现称为光子光

9、子）组成的气体，这种）组成的气体，这种气体不遵循经典的玻耳兹曼统计规律，而遵循一种建立在粒气体不遵循经典的玻耳兹曼统计规律，而遵循一种建立在粒子不可区分的性质（即子不可区分的性质（即全同性全同性）上的一种新的统计理论。爱）上的一种新的统计理论。爱因斯坦立即将玻色的推理应用于实际的有质量的气体从而得因斯坦立即将玻色的推理应用于实际的有质量的气体从而得到一种描述气体中粒子数关于能量的分布规律，即著名的到一种描述气体中粒子数关于能量的分布规律，即著名的玻玻色色- -爱因斯坦分布爱因斯坦分布。它的关键思想。它的关键思想粒子的全同性是极其粒子的全同性是极其重要的。重要的。 沃尔夫刚沃尔夫刚泡利提出了泡利

10、提出了不相容原理不相容原理。1119251925年元月到年元月到19281928年元月：年元月： 韦纳韦纳海森堡、马克斯海森堡、马克斯玻恩和帕斯库尔玻恩和帕斯库尔约当提出了量子约当提出了量子力学的第一个版本，力学的第一个版本， 矩阵力学矩阵力学。人们放弃了通过系统的方法整。人们放弃了通过系统的方法整理可观察的光谱线来理解原子中电子的运动这一历史目标。理可观察的光谱线来理解原子中电子的运动这一历史目标。 埃尔温埃尔温薛定谔提出了量子力学的第二种形式，薛定谔提出了量子力学的第二种形式，波动力学波动力学。矩阵力学和波动力学实质上是等价的。矩阵力学和波动力学实质上是等价的。 电子被证明遵循一种新的统计

11、规律，电子被证明遵循一种新的统计规律，费米费米- -狄拉克统计狄拉克统计。所有。所有的粒子要么遵循费米的粒子要么遵循费米- -狄拉克统计，要么遵循玻色狄拉克统计，要么遵循玻色- -爱因斯坦统计爱因斯坦统计，这两类粒子的基本属性很不相同。，这两类粒子的基本属性很不相同。 海森堡阐明海森堡阐明测不准原理测不准原理。 保尔保尔AMAM狄拉克提出了狄拉克提出了相对论性的波动方程相对论性的波动方程用来描述电用来描述电子，解释了电子的自旋并且预测了反物质。子，解释了电子的自旋并且预测了反物质。 狄拉克提出电磁场的量子描述，建立了狄拉克提出电磁场的量子描述，建立了量子场论量子场论的基础。的基础。 玻尔提出玻

12、尔提出互补原理互补原理，试图解释量子理论中一些明显的矛盾，试图解释量子理论中一些明显的矛盾，特别是波粒二象性。特别是波粒二象性。19281928年，量子力学的基础本质上已经建立好了。年，量子力学的基础本质上已经建立好了。 12量子理论的主要创立者都是年轻人。量子理论的主要创立者都是年轻人。19251925年，泡利年，泡利2525岁，海森堡和恩里克岁，海森堡和恩里克费米费米2424岁，岁，狄拉克和约当狄拉克和约当2323岁。薛定谔是一个大器晚成者，岁。薛定谔是一个大器晚成者，3636岁。玻恩和玻尔年龄稍大一些，值得一提的是他们岁。玻恩和玻尔年龄稍大一些，值得一提的是他们的贡献大多是阐释性的。的贡

13、献大多是阐释性的。开尔文爵士在祝贺玻尔开尔文爵士在祝贺玻尔19131913年关于氢原子的论文的年关于氢原子的论文的一封书信中表述了其中的原因。一封书信中表述了其中的原因。 他说，玻尔的论文他说，玻尔的论文中有很多真理是他所不能理解的。开尔文认为基本中有很多真理是他所不能理解的。开尔文认为基本的新物理学必将出自的新物理学必将出自无拘无束的头脑无拘无束的头脑。13量子力学要点量子力学要点 1 1、基本描述：、基本描述：波函数。波函数。系统的行为用薛定谔方程系统的行为用薛定谔方程描述，方程的解称为波函数。系统的完整信息用它描述，方程的解称为波函数。系统的完整信息用它的波函数表述，通过波函数可以计算任

14、意可观察量的波函数表述，通过波函数可以计算任意可观察量的可能值。在空间给定体积内找到一个电子的概率的可能值。在空间给定体积内找到一个电子的概率正比于波函数幅值的平方，因此，粒子的位置分布正比于波函数幅值的平方，因此，粒子的位置分布在波函数所在的体积内。粒子的动量依赖于波函数在波函数所在的体积内。粒子的动量依赖于波函数的斜率，波函数越陡，动量越大。斜率是变化的，的斜率，波函数越陡，动量越大。斜率是变化的，因此动量也是分布的。这样，有必要放弃位移和速因此动量也是分布的。这样，有必要放弃位移和速度能确定到任意精度的经典图象，而采纳一种模糊度能确定到任意精度的经典图象，而采纳一种模糊的概率图象，这也是

15、量子力学的核心。的概率图象，这也是量子力学的核心。142 2、对于同样一些系统进行同样精心的、对于同样一些系统进行同样精心的测量不一定测量不一定产生同一结果产生同一结果，相反，结果分散在波函数描述的，相反，结果分散在波函数描述的范围内，因此，电子特定的位置和动量没有意义。范围内，因此，电子特定的位置和动量没有意义。3 3、波的波的干涉干涉。波相加还是相减取决于它们的相位，。波相加还是相减取决于它们的相位，振幅同相时相加，反相时相减。当波沿着几条路振幅同相时相加，反相时相减。当波沿着几条路径从波源到达接收器，比如光的双缝干涉，一般径从波源到达接收器，比如光的双缝干涉，一般会产生干涉图样。粒子遵循

16、波动方程，必有类似会产生干涉图样。粒子遵循波动方程，必有类似的行为，如电子衍射。的行为，如电子衍射。4 4、对称性和全同性对称性和全同性。氦原子由两个电子围绕一个。氦原子由两个电子围绕一个核运动而构成。氦原子的波函数描述了每一个电核运动而构成。氦原子的波函数描述了每一个电子的位置，两个电子处于相同的量子态，其波函子的位置，两个电子处于相同的量子态，其波函数相反，因此总波函数为零，也就是说两个电子数相反，因此总波函数为零，也就是说两个电子处于同一状态的概率为处于同一状态的概率为0 0，此即泡利不相容原理。，此即泡利不相容原理。155 5、所有半整数自旋的粒子（包括电子）都遵循所有半整数自旋的粒子

17、（包括电子）都遵循不相容不相容一原理，一原理， 并称为并称为费米子费米子。自旋为整数的。自旋为整数的粒子（包括光子）称为粒子（包括光子）称为玻色子玻色子。电子是费米子，。电子是费米子，因而在原子中分层排列；光由玻色子组成，所以因而在原子中分层排列；光由玻色子组成，所以激光光线呈现超强度的光束（本质上是一个量子激光光线呈现超强度的光束（本质上是一个量子态）。态）。量子力学意味着什么？波函数量子力学意味着什么？波函数到底是什么？测量是什么意思？到底是什么？测量是什么意思？目录目录 一一 量子力学的诞生量子力学的诞生 二二 波函数和波函数和 Schrodinger Schrodinger 方程方程

18、三三 一维定态问题一维定态问题 四四 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 五五 态和力学量表象态和力学量表象 六六 定态微扰论定态微扰论16一一、量子力学的诞生、量子力学的诞生( (一）经典物理学的成功一）经典物理学的成功 1919世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：当完善的阶段。主要表现在以下两个方面： n(1)(1)应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上，尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论，取得有益的结果

19、。气体分子运动论，取得有益的结果。18971897年汤姆年汤姆森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子。一个牛顿粒子。 n(2)(2)光的波动性在光的波动性在18031803年由杨的衍射实验有力揭示年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦克斯韦在出来，麦克斯韦在18641864年发现的光和电磁现象之年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。17n( (二）经典物理学的困难二）经典物理学的困难n但是这些信念，在进入但是这些信念，在进入2020世纪以后，受到了世纪以后，受到了冲击。经

20、典理论在解释一些新的试验结果上冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。遇到了严重的困难。 n （1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 n （2 2）光电效应）光电效应 n （3 3）ComptonCompton散射问题散射问题1819实验表明：热平衡时，空腔辐实验表明：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度与黑体的绝对温度 T T 有关有关而而与黑体的与黑体的形状形状和和材料材料无关无关。（1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物黑体：能吸收射到

21、其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称体就称为绝对黑体，简称黑体黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。发出的辐射就称为黑体辐射。 (10 (104 4 cm) cm)能量密度能量密度0 05 51010 dckT8ddE32 )(20 (10 (104 4 cm) cm)能量密度能量密度0 05 51010WienWien18941894：利用电动力学和热力学利用电动力学和热力学Rayleigh-JeansRayleigh-Jeans线线Rayleigh-JeansRayleigh-Jeans公式公式（19001900，Rayleigh

22、Rayleigh；19051905，JeansJeans）：）：231( )cdEdNdced WienWien公式：公式：统计物理学和电动力学统计物理学和电动力学Wien Wien 线线所有的尝试均以失败告终。所有的尝试均以失败告终。21普朗克公式、能量子假设普朗克公式、能量子假设（19001900、PlanckPlanck ）假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率成正比并且只能取分立值：子的频率成正比并且只能取分立值：1edch8

23、dh33 )(PlankPlank辐射定律：辐射定律：在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的，份一份的，h h,2 h,2 h,3 h,3 h。即必须假定，对所有频率。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。相应的能量都是量子化的。19001900年出现的年出现的PlanckPlanck公式标志着量子力学的诞生。公式标志着量子力学的诞生。与实验符合得相当完美。与实验符合得相当完美。22对对 Planck Planck 辐

24、射定律的三点讨论：辐射定律的三点讨论：（1 1）v v很大很大( (短波短波) )时时:exp(hv/kT)-1exp(hv/kT):exp(hv/kT)-1exp(hv/kT)，于是，于是Planck Planck 定律定律 化为化为 Wien Wien 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 dkThChd)/exp(833 dTCCdWien)/exp(231 公公式式（2 2）v v 很小（长波）时很小（长波）时: :exp(hv /kT)-11+(h v /kT)-1=(hv/kT)exp(hv /kT)-11+(h v /kT)-1=(hv/kT)则则 Planck

25、Planck 定律变为定律变为Rayleigh-Jeans Rayleigh-Jeans 公式。公式。 dkThChd 1)/exp(1833 kTdCdhkTChd233388 dkTCdJeansRayleigh238 公公式式 d1kTh1Ch8d33 )/exp(23第一个肯定光具有微粒性的是第一个肯定光具有微粒性的是 EinsteinEinstein，在，在19051905年提出了光量子理论。他认为，光不仅是电年提出了光量子理论。他认为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。磁波，而且还是一个粒子。 根据他的理论，电根据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量磁辐射不仅在发射和吸收时以

26、能量 hh的微粒形的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速式出现，而且以这种形式在空间以光速 C C 传播，传播，这种粒子叫做光量子，或光子。这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的由相对论光的动量和能量关系动量和能量关系: :p = E/C = hp = E/C = h/C = h/C = h/提出提出了光子动量了光子动量 p p 与辐射波长与辐射波长（=C/=C/）的关系。的关系。24（2 2）光电效应问题）光电效应问题1897Hertz-19161897Hertz-1916MillikanMillikan 总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：总结出的光电实验规律无法为经典物理所

27、解释：1.1.临界频率临界频率v0 v0 只有当光的频率大于某一定值只有当光的频率大于某一定值v0 v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率电子产生。光的这一频率v0v0称为临界频率。称为临界频率。2.2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。光强只决定电子数目的多少。3. 3. 光电子发射时间在光电子发射时间在10109 9s s内，与光强无关。内，与光强无关。按照光的电

28、磁理论，光的能量只决定于光的强度按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。而与频率无关。（2 2）光电效应问题）光电效应问题1897Hertz-19161897Hertz-1916MillikanMillikan 总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：总结出的光电实验规律无法为经典物理所解释：1.1.临界频率临界频率v0 v0 只有当光的频率大于某一定值只有当光的频率大于某一定值v0 v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频

29、率产生。光的这一频率v0v0称为临界频率。称为临界频率。2.2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少。光强只决定电子数目的多少。3. 3. 光电子发射时间在光电子发射时间在10109 9s s内，与光强无关。内，与光强无关。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度而与频率无关。而与频率无关。AhV 22125EinsteinEinstein用用光量子光量子的概念成功地解释了光电的概念成功地解释了光电效应的规律。效应的规律。2 2、能打出电子的光子的最小能量是光电子、能打出电子的光

30、子的最小能量是光电子 V = V = 0 0 时由该式所决定，即时由该式所决定，即 h h-A = 0-A = 0，0 0 = A / = A / h h ， 可见，当可见，当 ；2 2、波长增量波长增量:= := 随散射角增大而增大。随散射角增大而增大。这一现象称为这一现象称为 Compton Compton 效效应。应。经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把但是如果把 X-X-射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则射线被电子散射的过程看

31、成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解。该效应很容易得到理解。1 1、 散射光中，除了原来散射光中，除了原来X X光的波长光的波长外，增加了一外，增加了一个新的波长为个新的波长为的的X X光，光，且且 ；2 2、波长增量波长增量:= := 随散射角增大而增大。随散射角增大而增大。这一现象称为这一现象称为 Compton Compton 效效应。应。 104 . 22:2sin2100020 波波长长。称称为为电电子子的的其其中中ComptoncmCm 28k k 入射光子入射光子 kk mvmv出射电子出射电子出射光子出射光子n根据光量子理论，具有能量根据光量子理论，具有能量 E =

32、 h E = h 的光子与电子碰撞的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为子，光子的能量变为 E= E= hh 显然有显然有 E EE E, , 从从而有而有 , ,散射后的光子散射后的光子的频率减小，波长变长。的频率减小，波长变长。 kccc22vmkkcmmc202 根据碰撞过程根据碰撞过程中系统能量、中系统能量、动量守恒：动量守恒：2201cvmm 恒大于恒大于0 0，随，随增加增加包含了经典物理无法解释的包含了经典物理无法解释的h h，强力支持量子概念强力支持量子概念29（三）初等量子论的提出（三）初等量子论的提出（bohrbohr1913

33、1913）推动量子力学的诞生推动量子力学的诞生（1 1）、）、BohrBohr量子论量子论Planck-EinsteinPlanck-Einstein 光量子概念必然会促进物理学其光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问题的解决。他重大疑难问题的解决。19131913年年 Bohr Bohr 把这种概念运把这种概念运用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。用到原子结构问题上，提出了他的原子的量子论。该该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核

34、心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来了下来 （BohrBohr假设）：假设）：1 1）定态概念（原子能量不连续的定态概念）定态概念（原子能量不连续的定态概念）2 2）定态之间的（量子）跃迁概念）定态之间的（量子）跃迁概念30定态定态概念主张概念主张: :原子的有核模型只对某些分立的能量原子的有核模型只对某些分立的能量 才是稳定的，这是为了解决电子绕原子核转才是稳定的，这是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在不辐射的问题。因为经典电动力学主张，带动时稳定存在不辐射的问题。因为经典电动力学主张，带电粒子只要有加速度就会产生辐射而损失自己的能量，

35、于电粒子只要有加速度就会产生辐射而损失自己的能量，于是这种有核模型中电子的稳定转动是不可能的。是这种有核模型中电子的稳定转动是不可能的。原子处于定态时不辐射。原子处于定态时不辐射。 量子化条件：角动量量子化条件：角动量L=nL=n, n=1,2,3, n=1,2,3Emm(, ,.) 12/ )(nmmnEE 定态之间跃迁定态之间跃迁就是说，原子发光是由于原子从能量较高就是说，原子发光是由于原子从能量较高的定态向能量较低的定态的跃迁。的定态向能量较低的定态的跃迁。BohrBohr理论的定态及定态之理论的定态及定态之间跃迁概念均被后来量子力学所吸纳并加以发展。而处于基间跃迁概念均被后来量子力学所

36、吸纳并加以发展。而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着。态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着。量子化频率条件量子化频率条件vrprL |n 222enr 1220第第一一B Bo oh hr r轨轨道道半半径径 ern31222crervF 电子做圆周运动：电子做圆周运动：（2 2）、氢原子线光谱的解释）、氢原子线光谱的解释应用应用定态定态和和跃迁跃迁两个概念可以圆满地解释氢原两个概念可以圆满地解释氢原子的线光谱。子的线光谱。 +F Fc c v vr re e根据量子化条件：根据量子化条件：L=nL=nrev22 rev21VTE22 r2erere2122

37、2 n224En2e ,321n 32氢原子中电子的能量氢原子中电子的能量: :rev22 222enr 根据根据bohrbohr的量子跃迁条件：的量子跃迁条件：hEEmn2m2en2e21224224 2234n1m14e 与氢原子线光谱的经验公式比较：与氢原子线光谱的经验公式比较：exp22Hn1m1cR 得得Rydberg Rydberg 常数：常数：c4eR34H 与实验完全一致与实验完全一致33BohrBohr量子论的局限性量子论的局限性波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为很大的成功

38、。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识人们所认识: :1.1.不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；光谱； 2.2.不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3.Bohr 3.Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；如散射问题； 4.4.从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。 34( (三三) )实物粒子的

39、波粒二象性实物粒子的波粒二象性1 1、De Broglie De Broglie 关系关系 2 2 、De Broglie De Broglie 波波 kpE 35自从自从19051905年年EinsteinEinstein 通过通过E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理论，经过论，经过1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服积习的约束，克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：的微观粒子也具有波动性：m 0

40、m 0（1 1）、）、 De Broglie De Broglie 关系关系 pkE 粒子性参数粒子性参数波动特性参数波动特性参数),(),(kpE De Broglie De Broglie 关系关系物质世界的普遍规律物质世界的普遍规律自从自从19051905年年EinsteinEinstein 通过通过E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理论，经过论，经过1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服积习的约束，克服积习的约束，逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对逆过来理解这组关系，将上面这组关系从针对 的情况推广到的情况推广到 的情况，提出原先是微粒的

41、情况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性：的微观粒子也具有波动性：m 0m 0他将粒子的波长和动量他将粒子的波长和动量联系起来：动量越大，联系起来：动量越大，波长越短。波长越短。),(),(kpE 36其中将两种图象联系起来的其中将两种图象联系起来的PlanckPlanck常数常数（6.385x106.385x10-34-34J JS S）数值很小，是波粒二象）数值很小，是波粒二象性可以同时显现的标度。性可以同时显现的标度。 假如在所研究问题中能够认为假如在所研究问题中能够认为0 0，波和粒子便，波和粒子便截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。 pk 如

42、果某粒子如果某粒子（E,pE,p），在，在0 0，根据，根据 得得0 0。经典力学是量子力学当经典力学是量子力学当0 0时的时的极限情况极限情况。 所以可以说：所以可以说：37当然，这里当然，这里0 0是相对而言，并非真要是相对而言，并非真要( (本就是常数本就是常数的的) )变小，而是要求研究对象的动量变小，而是要求研究对象的动量p p足够大足够大( (从而波从而波长长足够短足够短) )，以及运动涉及的空间尺度，以及运动涉及的空间尺度l l足够大，使足够大，使得得plpl即可，简单些说，可以按即可，简单些说，可以按PlanckPlanck常数常数在所研在所研究的问题里能否忽略，决定波粒二象性

43、是否表现出来，究的问题里能否忽略，决定波粒二象性是否表现出来，进而决定经典与量子的界线。于是，经典力学只不过进而决定经典与量子的界线。于是，经典力学只不过是其研究对象的能量、动量以及运动的空间尺度如此是其研究对象的能量、动量以及运动的空间尺度如此之大，使得之大，使得的作用可忽略情况下的力学。的作用可忽略情况下的力学。综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，都普遍存在波粒二象性。这两种截然不同的属性通过都普遍存在波粒二象性。这两种截然不同的属性通过PlanckPlanck常数连结成为常数连结成为de Brogliede Broglie关系，统一

44、在所有微关系，统一在所有微观物质上。对初学者而言，观物质上。对初学者而言，波粒二象性是理解微观物波粒二象性是理解微观物质普遍属性的基本图象，也是初学者理解量子力学的质普遍属性的基本图象，也是初学者理解量子力学的基本图象。基本图象。n2k2trkA ，其其中中 : cos)(exptrkiA )(expEtrpiA38（2）、）、de Broglie 波波因为因为自由粒子自由粒子的能量的能量 E 和动量和动量 p 都是常量，所以由都是常量，所以由de Broglie 关系可知，与自由粒子联系的波的频率关系可知，与自由粒子联系的波的频率和波矢和波矢k（或波长（或波长）都不变，即是一个）都不变，即是

45、一个单色平面波单色平面波。由力学可。由力学可知，频率为知，频率为，波长为，波长为，沿单位矢量，沿单位矢量 n 方向传播的平面方向传播的平面波可表为：波可表为：根据根据de Broglie关系写成复数形式：关系写成复数形式：de Broglie 关系：关系： = E/h = E/ = h/p k = p/ 这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面波，这种称为描写自由粒子的平面波，这种写成复数形式写成复数形式的波称为的波称为de Broglie波波。39二、波函数和二、波函数和 Schrodinger 方程方程（一）（一） 波函数的

46、统计解释波函数的统计解释 （二）（二） 态叠加原理态叠加原理 （三）力学量的平均值和算符的引进（三）力学量的平均值和算符的引进（四）（四）Schrodinger 方程方程 （五）（五） 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 （六）（六） 定态定态Schrodinger方程方程 Et)rp(iAexp40如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般

47、记为：写，一般记为： （一）（一） 波函数的统计解释波函数的统计解释1、波函数、波函数描写自由粒子的平面波称为描写自由粒子的平面波称为de Broglie波，上式称为自波，上式称为自由粒子的波函数。由粒子的波函数。描写粒子状态的波函描写粒子状态的波函数数,通常是一个通常是一个复函数复函数),(tr (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？411、有一定质量、电荷等、有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; 2、有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。、有确定的运动

48、轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子：经典概念中粒子： 2、波函数的统计解释、波函数的统计解释1. 物理量的空间分布作周期性的变化物理量的空间分布作周期性的变化; 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波：经典概念中波：如何理解波粒二象性？如何理解波粒二象性？42电子的衍射实验观察到的波粒二象性电子的衍射实验观察到的波粒二象性1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样显示衍射图样;2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。入射电子流强度大，很快显示衍射图样。电子源电子源感感光光屏屏

49、PPOQQO43电子源电子源感感光光屏屏PPOQQO关于波粒二象性的两种关于波粒二象性的两种错误错误看法：看法：1. 波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍不能解释长时间单个电子衍射实验射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，许多电子在空间聚集在一起

50、时才有的现象，单个电子就具单个电子就具有波动性有波动性。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。442、粒子由波组成、粒子由波组成电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？什

51、么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是

52、什么东西呢？是粒子？还是波？“ 电子既不是电子既不是粒子也不是波粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。子也不是经典概念中的粒子。45结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果

53、。一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。在电子衍射实验中的规律，在电子衍射实验中的规律，照相底片上照相底片上: r 点附近衍射花样的强度：点附近衍射花样的强度： 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r 点附近的几率。点附近的几率。46假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似，衍射花描述，

54、与光学相似，衍射花纹的强度则用纹的强度则用 |(r)|2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。|(r)|2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，点附近几率的大小，确切的说，确切的说，|(r)|2 x y z 表示在表示在 r 点处体积元点处体积元x y z中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，

55、波函数体运动的一种统计规律性，波函数 (r)有时也称为几有时也称为几率幅。率幅。这就是首先由这就是首先由 Born 提出的提出的波函数的几率解释（统计解波函数的几率解释（统计解释）释），它是，它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。473、波函数的性质、波函数的性质（1）几率和几率密度）几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在在t 时刻，时刻，r 点，点，d=dxdydz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，其中，C是比例系数。是比

56、例系数。在在t时刻时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： (r,t) = dW(r,t )/d = C|(r,t)|2 称为称为几率密度几率密度。在体积在体积V 内，内，t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) =V dW =V(r,t) d= CV | (r,t)|2 d3、波函数的性质、波函数的性质（1）几率和几率密度）几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在在t 时刻，时刻，r 点，点，d=dxdydz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率是：描

57、写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，其中，C是比例系数。是比例系数。48由于粒子在空间总要出现（由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭不讨论粒子产生和湮灭情况情况），所以在全空间找到粒子的几率应为），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数从而得常数 C 之值为：之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d（2）平方可积）平方可积这就要求描写粒子量子状态的波函数这就要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值必须是绝对值平方可积的函数。否则平方可积的函数。否则C没有意义。没有意义。 )(exp),(Etr

58、piAtr注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。一化问题，以后再予以讨论。 （2）平方可积）平方可积221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 49（3）归一化波函数）归一化波函数对于波函数对于波函数 (r , t ) 和和 C (r , t )，在，在 t 时刻，空间任意时刻，空间任意两点两点 r1 和和 r2 处找到粒子的相对几率之比是（这里的处找到粒子的相对几率之比是（这里的 C 是常数）：是常数）：可见，可见， (r , t ) 和和 C (r , t ) 所描写

59、状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的，则同的，则 (r , t ) 和和 C (r , t ) 描述的是同一几率波，所描述的是同一几率波，所以波函数有以波函数有一常数因子不定性一常数因子不定性。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和和 C (r,

60、 t) 描述同一状态描述同一状态这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代倍，因而代表完全不同的波动状态。表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题经典波无归一化问题。50归一化常数归一化常数若若 (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是是大于零的常数），则有大于零的常数），则有|(A)-1/2(r , t )|2 d= 1l注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为模为1的因子不定性的因子不定性。 若若