电磁场数学方法数学物理方程3

1、任课教师：任课教师：陈其科陈其科联系方式：联系方式：E_mail： 电电 话：话：61830311总总 学学 时时: 80课时课时教教 材：材：梁昆淼，梁昆淼，数学物理方程数学物理方程（第四版）（第四版）成绩构成：成绩构成：平时平时20%+半期考试半期考试20%+期末考试期末考试60%电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程课程内容课程内容三种方程三种方程四种求解方法四种求解方法二个特殊函数二个特殊函数行波法行波法分离变量法分离变量法积分变换法积分变换法格林函数法格林函数法波动方程波动方程热传导热传导拉普拉斯方程拉普拉斯方

2、程贝赛尔函数贝赛尔函数勒让德函数勒让德函数分离变量法流程图2ttxxua u0|0 xx luu0|( )tux( )( )uT t X x(0)( )0XX l2/()/Ta TXX 20Ta T0XXcossinn atn atTABll222,sinnnXxll( )( )nnnuT t XxnnuT X( , )uu x t0|( )ttux电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220TaT20XX22

3、exp()T Aatsin,nlXx )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分离变量流程图4.1 4.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第五章第五章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法本章内容：球坐标系、柱坐标系中的分离变量法本章

4、内容：球坐标系、柱坐标系中的分离变量法电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）波动方程的分离变量（一）波动方程的分离变量220ttuau ,u r tT t v r令22Tva Tv2k 222200Tk a Tvk v常微分方程常微分方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程用分离变量法解高维波动方程，归结为解亥姆霍兹方程。用分离变量法解高维波动方程，归结为解亥姆霍兹方程。 波动方程：波动方程：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场

5、数学方法第二篇 数学物理方程220tuau ,u r tT t v r令22Tva Tv2k 222200Tk a Tvk v常微分方程常微分方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程用分离变量法解高维输运方程，归结为解亥姆霍兹方程。用分离变量法解高维输运方程，归结为解亥姆霍兹方程。5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（二）输运方程的分离变量（二）输运方程的分离变量输运方程：输运方程：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量20u5.1

6、5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程, ,uu x y z2222222uuuuuxyz 直角坐标系直角坐标系 柱面坐标系柱面坐标系, ,uuz 22222211uuuuuz 球面坐标系球面坐标系, ,uu r 22222222111sinsinsinuuuuurrrrrr 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量1 1、直角坐标系下、直角坐标系下5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程222220uuuxy( ) (

7、)uX x Y y令：令：0XX0YY常微分方程常微分方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量2 2、球坐标系下、球坐标系下22222222111sin=0sinsinuuuurrrrrr令令 ，代入方程得，代入方程得( , , )= ( ) ( , )u rR r Y 22222221sin=0sinsinRRYRYYrrrrrr2222111sin=0sinsinRYYrR rrYY仅与仅与r r有关有关仅与仅与,有关有关5.1 5

8、.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）2222111sin=0sinsinRYYrR rrYY欧拉型微分方程欧拉型微分方程2222111sinsinsinddRYYrR drdrYY 1l l22211sin10sinsinYYl lY210ddRrl lRdrdr222+21=0d RdRrrl lRdrdr分离常数分离常数球函数方程球函数方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量

9、（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程欧拉型常微分方程的解是已知的，欧拉型常微分方程的解是已知的，22211sin10sinsinYYl lY222+21=0d RdRrrl lRdrdr 1llR rCrDr 对球函数方程进一步分离变量对球函数方程进一步分离变量令令 ，代入上式得，代入上式得( , )= ( ) ( )Y 222sin10sinsindddl lddd 2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程

10、（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程222sin10sinsindddl lddd 222sin1sin1 sin0dddl lddd 2220sinsin1 sin0ddddl ldd 2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方

11、法第二篇 数学物理方程220dd 2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）先求解方程先求解方程。由于。由于( )(2 ) 000:( )cossin0:( )0:( )ABABAeBe 舍去舍去(A(A0 0=0=0时满足时满足) )m( )cossin(0,1,2,3)AmBmm再求解方程再求解方程。将。将 代入代入2m22sinsin1 sin0ddl lmdd 5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法

12、第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续）再求解方程再求解方程。221sin10sinsinddml ldd 做代换做代换 ，即，即 cosxarccosxsindddxdddx ddx 2sin(1)ddddxddddx 2(1)ddxdxdxdxd 222sin(1)2ddxxdxdx5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程sin（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下

13、（续）22222(1)2101ddmxxl ldxdxx l阶连带勒阶连带勒让德方程让德方程若若0m 222(1)210ddxxl ldxdx l阶勒让德方程阶勒让德方程注：勒让德方程的解是已知和明确的。注：勒让德方程的解是已知和明确的。5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程第五章第五章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 2 2、球坐标系下（续）、球坐标系下（续） 小结：球坐

14、标系下拉普拉斯方程分离变量法求解小结：球坐标系下拉普拉斯方程分离变量法求解( , , )= ( ) ( ) ( )u rR r 222+21=0d RdRrrl lRdrdr 1llR rCrDr 220dd ( )cossin(0,1,2,3)AmBmm22222(1)2101ddmxxl ldxdxx 连带勒让德方程连带勒让德方程（待求解）（待求解）欧拉方程欧拉方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程3 3、柱坐标系下、柱坐标系下2

15、22222110uuuuuz 令令 ，代入方程得，代入方程得( , , )= ( )( ) ( )uzRZ z 222220Z ddRRZ dd ZRddddz22222220d RZ dRRZ dd ZZRddddz 2222222210d RdRdd ZR dR ddZ dz5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程3 3、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）2222222210d RdR

16、dd ZR dR ddZ dz 220RRZRRZ 22222111d RdRd ZR dR dZ dz u 2222220()0d ZuZdzd RdRuR dR d5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）22222200()0 d ZuZdzd RdRuR dR d求解方程求解方程。由于。由于( )(2 ) ( )cossin(0,1,2,3)

17、AmBmm2m此时方程此时方程为为22222()0d RdRumR dR d5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程222222110uuuuuz （三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）220d ZuZdz求解方程求解方程。其解与分离变量。其解与分离变量u有关。有关。情形情形1 1：0 Z zCDz 00ln01,2,3,mmEFmREFm220d Zdz22220d RdRmR dR

18、 d方程方程欧拉型常系数方程欧拉型常系数方程22222()0d RdRumR dR d方程方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）220d ZuZdz情形情形2 2：022222()0d RdRumR dR d( )uzuzZ zAeBe方程方程( )+)Z zAch uz Bsh uz或方程方程做代换做代换 ，则方程，则方程变为变为xu222

19、220d RdRxxxmRdxdxm阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程5.1 5.1 特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量（三）稳定场方程（拉普拉斯方程）的分离变量电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程2 2、柱坐标系下（续）、柱坐标系下（续）220d ZuZdz情形情形3 3：a),a),求空间中电位分布。求空间中电位分布。分析：球内区域电位为分析：球内区域电位为0； 球外区域有点电荷，不满足拉普拉斯方程。球外区球外区域有点电荷，不满足拉普拉斯方程。球外区域电位由点电荷及导体球感应电荷共

20、同产生。球外区域不域电位由点电荷及导体球感应电荷共同产生。球外区域不存在感应电荷，故存在感应电荷，故感应电荷产生电位满足拉氏方程感应电荷产生电位满足拉氏方程。04q解：令球外电位为解：令球外电位为u， 考虑到球外电位由两部分电荷产生，故设考虑到球外电位由两部分电荷产生，故设101uuu其中其中 为点电荷产生，为点电荷产生， 。 为感应电荷产生为感应电荷产生电位（电位（待求待求），满足拉普拉斯方程），满足拉普拉斯方程004QqurR0u1u电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应

21、用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）写出（续上例）写出 的通解，得的通解，得1u(1)1l=0=+(cos )()llllluC rDrPra由定解问题及相关物理意义，有如下边界条件由定解问题及相关物理意义，有如下边界条件1=0ru；自然边界条件自然边界条件010r ar auuu衔接条件衔接条件1=0ru由由=0lC dRa( , , )P r 2u0zr222 cosdrdr(1)1l=0=(cos )()llluDrPra电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德

22、函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）由由10(cos )llllaqPd(1)1l=0=(cos )()llluDrPra1l=0(cos )lllDPa211lllaDqd 010r auuqR222cosqdada (母函数母函数)1l=0(cos )lllDPa122( , )(21)f z xzxz0( )(1)lllP x zz212cos1qdaadd 2110111l=01=(cos )()llllllauuuqrrPradd 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）

23、勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数20=20(,0/2)cos(0/2)=0 ()r aurauVu底面绝热例：求定解问题：例：求定解问题：(重要重要)解：将定解问题延拓到整个球形区域。为满足半球底面边解：将定解问题延拓到整个球形区域。为满足半球底面边界条件（第二类），需做偶延拓，即界条件（第二类），需做偶延拓，即2000()cos(0/2)cos(/2)r auraVuV上半球上半球电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举

24、例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例） 球域内，通解为球域内，通解为0( , )=(cos )llllu rAr P000cos(0/2)(cos )( )cos(/2)lllr alVuAa PfV200022121cos(cos )sin(cos ) (cos )sin22lllllAVPdVPd 1000012121( )( )22lllllAV xP x dxV xP x dx11(21) ( )( )( )llllP xPxPx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举

25、例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数例例 计算以下积分：计算以下积分：1021( )lIlxP x dx解：由递推公式解：由递推公式11(21)( )(1)( )( )llllxP xlPxlPx11(21) ( )( )( )llllP xPxPx22(1)( )( )( )( )2321llllllPxP xP xPxll112200(1)( )( )( )( )2321llllllIPxP x dxP xPx dxll代入积分式得：代入积分式得：112200(1)( )( )( )( )2321llllllPxP xP xPxll电子科技大学电子科技大学电磁

26、场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（四）勒让德函数的应用举例（四）勒让德函数的应用举例 6.1 6.1 勒让德函数勒让德函数（续上例）（续上例）112200(1)( )( )( )( )2321llllllIPxP xP xPxll212(21)!(1)1(0)0(0)( 1)2 !lllllPPPl 2222(1)(1)(1)(0)(0)23(1)(1)(0)(0)21lllllllllPPPPllPPPPl当当l为奇数时：为奇数时：0I 当当l为偶数时为偶数时(l=2n)：1121(21)!(21)!( 1)( 1)432 !(22)!2(

27、23)!(21)!( 1)( 1)41(22)!2 !nnnnnnnInnnnnnnnn 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解20()( )r aurauf6.16.1节解决的求定解问题：节解决的求定解问题：0=( )(2 )ruuuu有限，有限，隐含条件：隐含条件：由由5.15.1节内容，设节内容，设( , , )( ) ( )( )u rR r 222+21=0d RdRrrl lRdrdr220dd 22222(1)2101ddmxxl ldxdxx (1)llCr

28、Dr(0)m cossinAB 0D 勒让德方程勒让德方程与与无关，轴对称无关，轴对称2m6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解20()( , )r aurauf 接下来要解决的定解问题：接下来要解决的定解问题：0=( )(2 )ruuuu有限，有限，隐含条件：隐含条件：由由5.15.1节内容，设节内容，设( , , )( ) ( )( )u rR r 222+21=0d RdRrrl lRdrdr220dd 22222(1)21

29、01ddmxxl ldxdxx (1)llCrDr(0)m cossinAB 0D 连带勒让德方程连带勒让德方程非轴对称非轴对称2m6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数22222(1)210(0,cos )1ddmxxl lmxdxdxx 连带勒让德方程为：连带勒让德方程为： 做代换做代换 ，则方程变为，则方程变为221( )mxy x 2(1) 2(1)1(10 xymxyl lm

30、 my 可以证明，将可以证明，将勒让德方程求勒让德方程求m次导数次导数后，有：后，有：2(1)2(1)1(1)0mmmlllxPmxPl lm mP 即方程即方程的解为：的解为：( )mmllmd P xyPdx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）连带勒让德方程的解（一）连带勒让德方程的解 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数因此，连带勒让德方程的解为：因此，连带勒让德方程的解为：221( )mmlxPx ( )mmllmd P xyPdx定义：定义：l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数22( )1( )

31、mmmllPxxPx( )sin(cos )mmmllPP或或连带勒让德方程及自然边界条件构成本征值问题：连带勒让德方程及自然边界条件构成本征值问题：本征值：本征值： 本征函数：本征函数：(1)l l ( )mlP电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数22( )1( )mmmllPxxPx1 1、m m的取值范围的取值范围 为为l 阶多项式，故当阶多项式，故当ml+1时，有时，有( )lP

32、x( )0mlPx 故故m的取值范围应为：的取值范围应为：0,1,2,ml电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数l 阶连带勒让德函数阶连带勒让德函数22( )1( )mmmllPxxPx2 2、连带勒让德函数的微分表示表示、连带勒让德函数的微分表示表示21( )(1)2 !llllldP xxl dx勒让德函数微分表示：勒让德函数微分表示：2221( )(1)2 !ml mmllll mxdPxxldx()!( )1( )(

33、)!mmmlllmPxPxlm 可以推得：可以推得：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数3 3、连带勒让德函数的正交性（重要）、连带勒让德函数的正交性（重要）11( )( )0()mmklPx Px dxkl 连带勒让德函数系连带勒让德函数系 在区间在区间-1,1-1,1内正交，即内正交，即012,mmmmlPPPP或或0(cos )(cos )sin0()mmklPPdkl 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电

34、磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数4 4、连带勒让德函数的模、连带勒让德函数的模归一性（重要）归一性（重要）21212()!( )(21) ()!mmlllmNPxdxllm 连带勒让德函数的模连带勒让德函数的模为：为：或或2202()!(cos )sin(21) ()!mmlllmNPdllm 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2

35、 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数5 5、连带勒让德函数的傅里叶级数展开定理、连带勒让德函数的傅里叶级数展开定理（重要）（重要）0( )( )mlllf xc Px 若若 ，且满足一定连续性原理，则，且满足一定连续性原理，则其中其中11(21)()!( )( )2()!mllllmcf x Px dxlm( ) 1, 1f x 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数6 6、连带勒让德函数的积分表示、连带勒让德函数的积分表

36、示 根据连带勒让德函数的微分表示并结合柯西公式，得根据连带勒让德函数的微分表示并结合柯西公式，得222111!(1)22!()mlll mcxlmzdzilzx施列夫利积分施列夫利积分2!( )1cos2!mlmimlilmPxexixdl拉普拉斯积分拉普拉斯积分取取c为圆周：圆心为圆周：圆心z=x,半径为半径为21x 2111(1)( )22()llllczP xdzizx22( )1( )mmmllPxxPx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连

37、带勒让德函数连带勒让德函数7 7、连带勒让德函数的递推公式、连带勒让德函数的递推公式11(21)( )()( )1( )mmmkkkkxPxkm PxkmPx2 1/21111(21)(1)( )( )( )(1)mmmkkkkxPxPxPxk211(1)( )( )( )(1)kkkxP xkxP xkPxk2 1/21111(21)(1)( )()(1)( )(2)(1)( )(1)mmkkmkkxPxkm kmPxkmkmPxk211( )(21)(1)(1)()( )(1)( )(1)mmkkmkdPxkxkkm Pxdxk kmPxk电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场

38、数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）连带勒让德函数的性质（二）连带勒让德函数的性质 6.2 6.2 连带勒让德函数连带勒让德函数8 8、常见的低阶连带勒让德函数、常见的低阶连带勒让德函数 0001PxP x 011PxP xx 122111( )1Pxx P xx 02221(31)2PxP xx 122221( )13Pxx Pxxx 222221( )3 1PxxPxx22( )1( )mmmllPxxPxcosx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数

39、6.3 6.3 球函数球函数在球坐标系下，拉普拉斯方程分离变量后，得在球坐标系下，拉普拉斯方程分离变量后，得22211sin10sinsinYYl lY222+21=0d RdRrrl lRdrdr欧拉方程欧拉方程球函数方程球函数方程(1)( )llR rCrDr球函数方程的解即为球函数方程的解即为球函数球函数，即，即 ,cossinYAmBm 其中其中 为连带勒让德方程的解，即为连带勒让德方程的解，即 ( )mlP电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数1 1

40、、球函数的表达式、球函数的表达式,cossincosmmllYAmBmP 表示其中列举函数线性独立表示其中列举函数线性独立(1),cossinmmllYPm (2),coscosmmllYPm (3),cossincosmmllYAmBmP sincoscosmlmPm 球函数表达式有三种情况：球函数表达式有三种情况：0,1,2,3,0,1,2,lml电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数1 1、球函数的表达式、球函数的表达式,cossincosmmllYAm

41、BmP 线性独立的线性独立的l阶阶球函数共有球函数共有2l+1个：个：000:,coscoslllmYPP 1, :mlcoscosmlPmcossinmlPm电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（一）一般球函数（一）一般球函数 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的复数形式、球函数的复数形式,cossincosmmllYAmBmP 由欧拉公式：由欧拉公式：cossin,cossinimimmimemime,cosmmimllYPe 球函数可表示成复数形式球函数可表示成复数形式0,1,2,3,1,0,1,lmll

42、l 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数1 1、球函数的正交性、球函数的正交性,sin0mnlkSlkYYd dmn 200sinsincoscossin0coscosmnlkmnPPddmn 1210sinsin0coscosmnlkmnPx Px dxdmn球函数在区间球函数在区间 内正交，即：内正交，即： 0, 0,2 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般

43、球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的模、球函数的模2!21!mlmllm22,sinmmllSNYd d 2220sin!2!21cosmlmdlmlm222200sin(cos )sincosmlmPddm 1222210sin( )cosmlmPxdxdm2()!(21) ()!lmllm2010mmm电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数2 2、球函数的模、球函数的模复数形式的球函数的模：复数形式的

44、球函数的模：2*,sinmmmlllSNYYd d 22*00(cos )sin2!221!mimimlPdeedlmllm 4!21!mllmNllm电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数3 3、以球函数为基的广义傅里叶级数展开、以球函数为基的广义傅里叶级数展开0,02,mlSfY 定义在球面上的函数可用球函数展开成二重广义傅里叶级数。00,cossincoslmmmllllmfAmBmP 20 020 021!,coscossin2!21!,c

45、ossinsin2!mmllmmmllllmAfPmd dlmllmBfPmd dlm 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（二）一般球函数的性质（二）一般球函数的性质 6.3 6.3 球函数球函数4 4、正交归一化球函数（复数形式）、正交归一化球函数（复数形式）正交正交归一化球函数归一化球函数定义：定义：1,mlmlmlYYN 21!cos4!mimlllmPelm2*0 0,sinlmknlkmnYYd d 则可推得：则可推得：正交归一正交归一, lmfY将函数用归一化球函数展开成傅里叶级数2*0 0,sinlml

46、mCfYd d 0,llmlmlmlfC Y 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数例：将例：将22(1)sincos , (2)sinsin , (3)3sincos1展为球函数。展为球函数。解：（解：（1 1）11( )sinP11sincos( )cos P11( , ) Y （2 2）11sinsin( )sin P11( , ) Y （3 3）2cos21cos2222cos213sincos13sin12 2233sin1sincos222电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第二篇 数学物理方程（三）一般球函数的应用举例（三）一般球函数的应用举例 6.3 6.3 球函数球函数( (续上例续上例) )2222333sincos1sin1sincos222 22133co