第二章电磁场中的基本物理量和基本实验定律

1、 为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念和物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连续性方程。 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式。 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度 和磁感应强度 的概念。EB第2章 电磁场中的基本物理量和基本实验定律2.1 电荷与电荷分布2.2 电流与电流密度 2.3 电流连续性方程2.4 电场强度 库仑定律2.5 安培力定律 磁感应2.1 电荷与电荷分布1。电荷的量子性任意带电体的电量是电子电量的整数倍。Ce1910602.

2、1带电体的这种性质称为量子性。2。电荷的体密度和面、线密度分布定义电荷体密度：qr0lim)(单位为：3mC若已知带电体的电荷体密度，求带电体的总电荷drqV)(定义电荷面密度：SqrS0lim)(单位为：2mC若已知带电体的电荷面密度，求带电体的总电荷SdrqS)(定义电荷线密度：lqrll0lim)(单位为：mC若已知带电体的电荷线密度，求带电体的总电荷dlrqll)(说明：1）电荷密度和总电荷都是标量函数，表示空间的一种电荷分布。2）当电荷在区域内均匀分布时 Cq3。点电荷及其表示：qCSqClql用电荷密度表示带电体的总电荷为Sqlql1）点电荷是带电体的理想模型体积趋近于零，电荷集中

3、在一点上的模型。2）点电荷的表示：qr00lim)(qdVrV)(0体密度函数值在 点时为无穷大，表示该点有一个点电荷 。0rrq例：一个电子束，电荷体密度 ， 为圆柱系统的径向坐标。试求 轴上单位长度内两平行平面所构成的体积空间中的电荷量。1061023( )5 10/rer C m rz2.2 电流与电流密度1。定义电流强度：电荷的定向移动形成电流。定义：单位时间通过任意横截面积流过的电量为电流强度。 SI Sdtdqtqtit0lim)(说明：1）电流强度的单位是：A（安培）秒库仑安培1112）电流强度是标量（代数量）。3）对稳恒电流)(0lim恒定IdtdqtqIt2。定义电流体密度矢

4、量：体电流密度矢量：为了描述在面积 上，电荷流动的不均匀性，引入电流密度矢量单位时间，通过单位横截面流过的电量。称为体电流密度矢量 。SJSIJSn0lim)(说明：1）电流密度矢量的大小，表示单位时间通过与电荷流动方向垂直的单位面积上的电量。方向为电流的正方向（正电荷流动的方向）。2）电流密度与电流强度的关系：SSdJI3）某一点电流密度与电荷密度的关系：S如图取电流管，截面为 ，长为 ，计算在 时间内流过的电流强度 ：ltISvtlStqI所以，在小面元处的电流密度，表示为：IJvS用矢量表示为：Jv若由多种带电粒子构成电流，则单位：）米安培22(mAiiiJvn3。定义电流面密度矢量sJ

5、定义面电流：在界面上一个薄层内流动的电流。定义面电流密度 ：单位时间，通过垂直于面电流方向的单位横截线流过的电荷。sJsIJtl说明：1）面电流密度矢量是定义在一个薄层内的电荷流动，被抽象为一个几何的面。Ilje lje2）面电流密度与面电流强度的关系：sinssIJlJl)(sinsinjleennn若定义单位法向矢量 ，n()()()ljssInele JnlJ 所以，在表面任意曲线上穿过的电流强度：()()ssllIndlJJndl3）某一点面电流密度与电荷密度的关系：sIJvl 2.3 电流连续性方程电荷守恒定律相应的微分形式电流连续性方程的表述：在空间任取一个体积 ，其外表面为 。单

6、位时间内从此区域流出的电量等于同时间内区域内电荷的减少。VSdVtdtdqSdJSVVdVJ高斯公式dVtV0tJ说明：1）恒定电流场描述场的物理量不随时间改变0t0tq稳恒电流条件稳恒电流条件0JSSdJ02）电流连续性方程也称为电荷守恒定律电荷守恒定律。对面电流分布，同样可以写出：稳恒电流是无散场。稳恒条件下dStl dnJSls)(0)(l dnJls2.4 电场强度 库仑定律1。库仑定律：ReRqqrF221041)(0rr1q2qRF其中 是施力电荷 到受力电荷 之间的距离。R1q2q表述：真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力2。电场强度：ReRqqRFRE20041)()()1

7、(4) (41) ,(030rrqrrrrqrrE或其中， 称为场点， 称为源点， 是场点与源点之间的位置矢量。r rR当 为单位试探电荷单位试探电荷 时，由库仑定律可以确定与场电荷 相距 处的电场强度。1q2qR0q1）当场点在全空间取值时，定义了点电荷在空间各处激发的场。2）当场点位置不变，改变源点位置时，表示不同位置的点电荷在同一个场点激发的场。3）由电场强度的定义表示，其大小与距离平方与距离平方成反比成反比的关系。这一点反映了静电场的基本性质4）对 个点电荷组成的系统，由场的叠加原理，场点 处的场强等于单个点电荷产生的场强的矢量和。nriniiieRqrE1204)(niiiRq10)

8、1(4说明：例。求电偶极子的场。电电力力线线等位线电偶极子一对等量异号点电荷，二者之间距离 小于小于场点到偶极子的距离 。lrlqqrPrr01114qE(r)Rr解：在球坐标内，电偶极子的电场表示式为：=-1222112221112cos,13cos111cos2rlrlRRllRrrr其中将展开成幂级数2120233000111cos ,111cos4coscossin424rlrlRrrqE(r)lrrrqlqlqleerrr 在的情况下，略去高阶项后的代入电场表示式中得到：2300330,1cos1( )441114pqllqqqlp rE rrrp rp rrr 通常定义为电偶极子的

9、电矩矢量， 的方向规定为指向+故：()xyzxxyyzzp rp xp yp ze pe pe pp 其中53013()( )4p rpE rrrr因此有()sinrrrK e Ee Ee Ee dre rde rd 在球坐标内，电力线的微分方程为0, sin0,rErdKEdr KErdK 因则电力线只存在于子午面内。故：为比例常数sin,2cosrErdEdr2cossindrr22ln sinlnsin()=r+CrCCrl两边积分得：为待定常数，在的区域，电力线如图所示右图表示一个电偶极子。采用球坐标系，将原点放在偶极子中心，z轴l与相合，远处一 点的电位等于两点电荷电位的叠加.( ,

10、 , )r 3.连续分布电荷体系电场强度的计算公式:在无界的自由空间，当电荷为连续分布情况时，利用对电荷体系“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，可用积分求空间一点的电场强度。体分布面分布线分布) (dvrdq) (dsrdq) (dlrdqldq由 电荷产生的电场强度为整个体系的电荷对场点的贡献为) (4130rrrrdqEddqoPrrR) () (41)(30dvrrrrrrEv)1)(410dvRrv同理，面电荷和线电荷分布的场：) (41)(30dsRrrrrEssdsRr)1)(410ldlRrrrrE) (41)(30ldlRr)1() (410说明：1）原则上积分形式

11、的电场强度公式可以计算一切带电系统产生的场。但是，当电荷分布不具有积分对称性时，积分很难完成，此解称为形形式解。式解。2）当电荷在系统内均匀分布均匀分布时，电荷密度是常数，与积分无关。3）积分式在计算时应由坐标的分量式分量式表示。例：无界真空中，有限长直线 上均匀分布着线电荷 ，求此线电荷的电场。l解：选柱坐标),(zro其中2l2l zdzEd12rz32220()( )4()rzrezz edzdE rrzz),(zr23222021201( )4()coscos4llrr dzE rrzzr221)2(2coslzrlz222)2(2coslzrlz22132220021()( )sin

12、sin44()llzzzdzE rrrzzzerzererdzdqzzr, )(Rzzerezr则带电线两端无限延长，则010021800)(rEzrrEr02)(例题：真空中一个带电导体球，半径为 ,所带电荷量为 ，试计算球内、外的电场。aQ解，在球面上取面元 ，该面元在P点处产生的电场径向分量为：dssindsadad 24Qa2230001( )()sin4RE rdadR z因不同 角的面元点电荷在场点产生的合成场只沿e 方向，coszdEZdEdE故矢量积分时仅取的 分量积分，22220000cossincos( )( cos )22aaE rddRR222222cos,cos, (

13、 cos )22RraarRRddRrRarar由于222222200( )(1)()44r ar araaraaraE rdRRrarRrR所以22200()4aQrarrraa-r对于的球内区域，积分下限应改为(),积分的结果：2220( )()0()4araraE rRraarrR204( )0rQerE rrara0r= a导体球内电场为零，在处电场由零跃变为，恰好球面上有面电荷存在。所以，电场不连续的面积处将出现面电荷。例题：真空中半径为a的球内均匀充满了电荷，体密度 。试计算球内、外的电场。022020,4,44rdrdr dr ddqr drdrdqdqrdr解：设想划分出一个半

14、径为厚度为的微分球壳。它的体积为内的电荷量。当很小的时可认为均匀分布在薄层球面上，等效的面电荷密度（r）=。220220032002220000;0134arrdqrrdEdrrrrrdEaQr drrrr利用上一例题结果，在区域内的电场为在区域内，。将球划分为许多这样的微分球壳，然后分别将它们在球内（ra）的场叠加，可求出整个体电荷分布的球在球外的电场为：E(r)=ra302220000222000000433rrrrQar drr drr drrrrr其中为球的总电荷量。在球内（ra）的电场为E(r)=ra00( ),3( )raE aaE a在处且 从 球 内 和 球 外 两 个区 域

15、的 场 表 示 式 计 算 得 到 的是 相 等 的 ，这 是 因 为 体 电 荷 分 布 下 产 生 的 场 分 布 应 该是 一 个 连 续 函 数q,2zrqRrr rze raea 例。均匀带电圆环，半径为 ，电荷总量为 。求环圆心的延长线上一点的电场强度。a,sincosryxdladeee23333000()111444zrzradzeaeazd ea d edldERRRRRzrRrrzeae2223300222202222330222202233222222004()()2(cossin )4()()2()4()zrzxyzzazda dEeezazaeazaeedzazaaz

16、zqeezaza例。由此均匀带电圆环构成的半径为 的带电圆面，电荷总量为 。求环圆心的延长线上一点的电场强度。q322202()zrzdEdrezr222333000222222002220222200()242()()()111( 2)042aazzzree d zrrzzzEedrzrzrzrazzzzrzaa讨论，当半径趋于无穷大时（ ），电场的值。az222333000222222002220222200()242()()()111( 2)042aazzzree d zrrzzzEedrzrzrzrazzzzrza当半径趋于无穷大时（ )az02E2.5 安培定律和毕奥萨伐尔定律说明：

17、1）电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，闭合电流圈之间的相互作用力才满足牛顿第三定律。1。闭合电流回路 上的电流元 ，与闭合电流回路 的电流元 ，之间的相互作用力：1C11dlI2C22dlI)(42121122012NReldIldIFdR11l dI1C22l dI2C12Ro2r1r12Fd)(42121122012NReldIldIFCCR 2）作用力的方向由两次叉积两次叉积决定。2。毕奥萨伐尔定律：将安培定律改写：BdldIReldIldIFdR222121102212)4(其中：21104ReldIBdR204RelIdR表示由 电流元在距离 处产生的磁场的磁感应强度磁感应强

18、度。lIdR说明：1）磁感应强度的单位：特斯拉特斯拉 或：)(T22米韦伯mWb2）磁感应强度的方向与电流元 和矢径 决定的平面垂直，构成右手关系右手关系。lIdR3）矢性点源 产生的场，其力线是闭和环状力线环状力线。与标量点源不同。lId4）对稳恒的直流电流回路：CCRRlIdBdrB304)(积分对源变量源变量区域进行，结果是场变量场变量的函数。AAA 利用矢量恒等式：Rl dRRlIdBdrBCCC144)(030CCCRl dRl dIRl dIrB414)(00式中，CCl d)()(, 0故CRl dIrB4)(0例：求一个半径为a的微小电流圆环的磁场，如图所示。,2zzdS =a

19、ee采用球坐标系，圆环面积规定面积的法向单位矢量为而 与电流正方向应符合右手螺旋法则。222sin ,2cos()2sRxyyrsyaya图中， 为源点至场点的距离 在面内的投影，22222sinsinRrrszrara(sincos),xydle adeead 又有CyxraaradeeIrB21220sinsin2cossin4)(所以：1222222200r11211sinsin1sinsinsinsinsinsinsincosxyCaaaRrrrrdlaaaaededRrrrr 为了简化计算，只求区域的磁场，则：这样：222200220022sinsin ,cos0( )sinsin44xxyxaedeedrIIaaB reerr 上式：则：2222222222sinsinsinsinsin coscos cossin222sinxraaaa