《大学物理教程》01力学09混沌现象

1、? ?大学物理教程大学物理教程?01-?01-力学力学-09-09混沌现象混沌现象2 1975 1975年，美国数学生态学家梅年，美国数学生态学家梅R. MayR. May在研在研究昆虫繁衍时，提出了非常简单确实定性非线性迭究昆虫繁衍时，提出了非常简单确实定性非线性迭代方程，称为虫口方程。通过迭代计算，可以清楚代方程，称为虫口方程。通过迭代计算，可以清楚得到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途得到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。径。 至此，至此，混沌混沌(chaos)(chaos)作为一个新的科学名作为一个新的科学名词正式出现在文献中。词正式出现在文献中。5线性函数：y=ax+

2、b函数图象：直线yxy=ax+bb6于是法国数学家于是法国数学家拉普拉斯拉普拉斯夸下海口：夸下海口：如果给定宇宙的初始条件，如果给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。我们就能预言它的未来。但是美国气象学家但是美国气象学家 Lorenz 在在60年代年代研究长期的天气预报的可能性时发现研究长期的天气预报的可能性时发现长期的长期的天气预报是天气预报是不可能不可能的！的！幻灯片 7幻灯片 107时间时间t气候气候Lorenz气候演变曲线气候演变曲线复杂系统对初复杂系统对初值的值的极端敏感性极端敏感性蝴蝴蝶蝶效效应应x0 x082、非线性非线性 什么是非线性？事半功倍事半功倍灵感灵感事倍功半事倍功

3、半随机应变随机应变劳而无功劳而无功瞎猫碰上瞎猫碰上 死耗子死耗子突发奇想突发奇想差之差之 毫厘毫厘 ，失之之 千里千里9 最简单的非线性函数： y=a x 2+b x+ c 函数图象： 抛物线 y x10初值的微小初值的微小差异差异被非线性的被非线性的放大放大了了非线性放大非线性放大 线性放大线性放大11建立理想模型建立理想模型 受力简单受力简单建立线性方程建立线性方程对对初值不敏感初值不敏感 有可预测性有可预测性经典力学经典力学线性系统线性系统简单、平庸简单、平庸实际运动实际运动 受力复杂受力复杂建立建立非非线性方程线性方程对对初值极端敏感初值极端敏感 有不可预测性有不可预测性非线性系统非线

4、性系统复杂、多样复杂、多样告告诉诉你你一一个个简简单单的的世世界界告告诉诉你你一一个个真真实实的的世世界界幻灯片 612 混沌现象举例混沌现象举例 一、三体问题一、三体问题 一颗一颗质量很小质量很小的卫星在两颗的卫星在两颗大质量大质量的行星作用的行星作用下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动。同时假定三个天体在同一其联线中心作圆周运动。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用下的卫星在两颗行星作用下的运动情况如何呢？运动情况如何呢？m1F2F1M1M13庞加莱的发现庞加莱的发现l

5、由于彼此的引力作用，三体运动的牛顿方程由于彼此的引力作用，三体运动的牛顿方程组不仅含有规那么性和预见性，同时隐含着不规组不仅含有规那么性和预见性，同时隐含着不规那么性和不可预见性。那么性和不可预见性。l 卫星的长期运动是缠来绕去，错综复杂的。卫星的长期运动是缠来绕去，错综复杂的。一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果，显示出结果对初始条件依赖的敏见的重要结果，显示出结果对初始条件依赖的敏感性，长期行为的不确定性。感性，长期行为的不确定性。14二、蝴蝶效应二、蝴蝶效应 19611961年，洛仑兹利用一台老式计算机，根据他年，洛仑兹利用一台

6、老式计算机，根据他导出的描述气象演变的导出的描述气象演变的非线性动力学方程非线性动力学方程进行长期进行长期气象预报的模拟数值计算，气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气探讨准确进行长期天气预报的可能性预报的可能性。 有一次，洛仑兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果 0.506127 0.506作为验算的输入数据。 经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。果，甚至大相径庭。15时间时间t气候气候洛仑兹洛仑兹气候演变曲线气候演变曲线x0 x0 16洛仑兹的发现洛仑

7、兹的发现l 因为他的方程是因为他的方程是非线性非线性的，的，解对初值的依赖解对初值的依赖极其敏感极其敏感。l 正是初始条件的微小误差导致了计算结果的正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此断言：巨大偏离。由此断言：准确地作出长期天气预报准确地作出长期天气预报是不可能的。是不可能的。 洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀，使大气的状态产生微小的改变，经过动一下翅膀，使大气的状态产生微小的改变，经过一段时间，会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，一段时间，会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是这就是蝴蝶效应蝴蝶效应。17 西方童谣

8、 丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国帝国。三、蹄钉效应三、蹄钉效应18例如：例如： “ “千里之堤，溃于蚁穴。千里之堤，溃于蚁穴。蚁穴效应蚁穴效应 “ “失之毫厘，差之千里。失之毫厘，差之千里。 总之，一些看起来不显眼的微总之，一些看起来不显眼的微小的初始原因，会引出非常意外的小的初始原因，会引出非常意外的结果。结果。19四、昆虫繁衍四、昆虫繁衍 由分析昆虫繁衍提出的虫口即昆虫数量，昆虫“人口，简称虫口模型及描述昆虫繁衍的非线性方程虫口方程，在研究果木产量及家畜数量变化时也大体适用。 在研究

9、地球上日益严重的人口爆炸问题时也有重要的借鉴作用。201 1、虫口模型、虫口模型 假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，假设产卵年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，假设产卵数大于数大于1 1，那么虫口就会迅速增加，那么虫口就会迅速增加，“虫满为患虫满为患。 但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫能因接触

10、感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。口减少。21 综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在19761976年生物学家梅最终得到虫口方程如下：年生物学家梅最终得到虫口方程如下： 物理意义物理意义 取值范围取值范围 n ：繁衍的代数：繁衍的代数 1，2，3， xn：第：第n代的相对虫口数代的相对虫口数 0，1 ：控制参量：控制参量 0，4)1 (1nnnxxx22 :0:0 1 1 x xn+1n+10 0 :1:1 3 3 x xn+1n+10 0. .5 5 :3

11、:3 3 3.449.449 x xn+1n+1 :3:3.44.44 3 3.544.544 x xn+1n+1 4 4个解个解 :3:3. .5 54444 3 3.564.564 x xn+1n+1 8 8个解个解 3 3. .5 56969 x xn+1n+1 个解个解进入混沌状态0 0. .513051300 0. .799579952 2个解个解1 1个解个解倍周期分叉开始昆虫灭绝一半成活收收敛敛解解)1 (1nnnxxx23初值的敏感性初值的敏感性24五、五、混沌现象的定义混沌现象的定义 混沌现象是一种貌似无规那么的运动。它是确定论系统表现的内在随机行为的总称。个别结果敏感地依赖

12、初始条件；长期解不可预测；其根源在于系统方程的非线性。25 混沌现象的特性、本质及应用混沌现象的特性、本质及应用 1 1、在混沌区中混沌系统对初值的依赖具有敏感性。、在混沌区中混沌系统对初值的依赖具有敏感性。 一、混沌现象的特性与非线性物理过程一、混沌现象的特性与非线性物理过程 2 2、混沌区中存在周期窗口是混沌现象的又一大、混沌区中存在周期窗口是混沌现象的又一大 特性。特性。 混沌区为一个无限嵌套的自相似结构。即混沌区为一个无限嵌套的自相似结构。即局部与整体相似。对局部放大后的形象与整体局部与整体相似。对局部放大后的形象与整体形象相同或近似相同。形象相同或近似相同。 具有无限嵌套的自相似结构

13、是混沌现象的具有无限嵌套的自相似结构是混沌现象的普遍特性。普遍特性。26 上图清楚地显示了混沌的自相似结构，其中的上图清楚地显示了混沌的自相似结构，其中的小图是大图一个窗口中局部结构的放大图。小图是大图一个窗口中局部结构的放大图。27 3 3、从不同的初始条件出发可以产生同样的结果。、从不同的初始条件出发可以产生同样的结果。 “ “殊途同归殊途同归； “ “条条道路通罗马条条道路通罗马； “ “百川东流归大海百川东流归大海； “ “是金子总要发光的是金子总要发光的。 4 4、从不同的初始条件出发可以得到同样的、从不同的初始条件出发可以得到同样的“终态终态 集合。集合。 5 5、从同样的初始条件

14、出发可能得到完全不同的、从同样的初始条件出发可能得到完全不同的 结果。结果。 28 1 1、混沌是过程的科学、演化的科学，而不是状态的、混沌是过程的科学、演化的科学，而不是状态的 科学，变是混沌的本性。科学，变是混沌的本性。 二、混沌现象的本质二、混沌现象的本质 2 2、混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在、混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在 线性系统中。线性系统中。 3 3、混沌不等同于混乱。、混沌不等同于混乱。 4 4、真实的自然界介于完全确实定论和纯粹的概率、真实的自然界介于完全确实定论和纯粹的概率 论之间。论之间。 29 1 1、湍流之谜、湍流之谜 三、混沌现象的应用三、混沌

15、现象的应用 流体常有不规那么涨落的紊乱流动叫湍流。湍流体常有不规那么涨落的紊乱流动叫湍流。湍流的运动非常复杂，大旋涡中套小旋涡，小旋涡中流的运动非常复杂，大旋涡中套小旋涡，小旋涡中还有小旋涡。还有小旋涡。 将混沌理论应用于湍流的研究，获得了许多重将混沌理论应用于湍流的研究，获得了许多重要成果。科学工作者从混沌现象着手考察了湍流的要成果。科学工作者从混沌现象着手考察了湍流的发生机制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌发生机制，研究了通往混沌的道路，提出了用混沌来描述湍流形成的新观点。根据流体中所发生的实来描述湍流形成的新观点。根据流体中所发生的实际情况建立新的统计模型，有希望在探求湍流过程际情况

16、建立新的统计模型，有希望在探求湍流过程的共同特性上得到新的认识。的共同特性上得到新的认识。30 2 2、线性思维与非线性思维、线性思维与非线性思维 有关思维的一种重要分类方法是将思维分为有关思维的一种重要分类方法是将思维分为线性思维线性思维和和非线性思维非线性思维两种。两种。 非线性思维与混沌现象联系密切，因为混沌非线性思维与混沌现象联系密切，因为混沌现象的本质最主要的就是非线性。现象的本质最主要的就是非线性。 一般来说，人们对线性思维方式更加习惯，一般来说，人们对线性思维方式更加习惯，而相对缺乏对非线性思维的认同，这是关于思维而相对缺乏对非线性思维的认同，这是关于思维方面认识上的偏差，应当引起重视。方面认识上的偏差，应当引起重视。31 线性思维线性思维只认同简单的线性因果只认同简单的线性因果关系，只成认一因一关系，只成认一因一果，微因微果。果，微因微果。特征：封闭性、直线性、特征：封闭性、直线性、低关联性等。低关联性等。优势：从对称性角度出优势：从对称性角度出发，讲求平衡、稳定、发，讲求平衡、稳定、全面、逻辑性强。全面、逻辑性强。缺点：保守僵化。缺点：保守僵化。 非线性思维非线性思维认同复杂的非线性因果关认同复杂的非线性因果关系。如系。如“多因一果，多因一果，“一因多果，一因多果，“微因微因巨果。巨果。特征：开放性、曲线性、