量子力学基础物理

1、Chapter 8Elements of Quantum Mechanics.1 量子力学的建立量子力学的建立 经典力学发展到经典力学发展到19世纪末，已形成一个相当完善的体系，世纪末，已形成一个相当完善的体系，它包括机械力学方面的它包括机械力学方面的 Newton 三大定律，热力学方面的三大定律，热力学方面的Gibbs 理论，电磁学方面的理论，电磁学方面的Maxwell理论以及统计方面的理论以及统计方面的 Boltzmann力学。但力学。但19世纪末二十世纪初出现的极少数实验现世纪末二十世纪初出现的极少数实验现象，无法用经典力学加以解释。为此，科学家们又致力于发现象，无法用经典力学加以解释。

2、为此，科学家们又致力于发现新的理论。其中，黑体辐射、光电效应和原子光谱三个实验现新的理论。其中，黑体辐射、光电效应和原子光谱三个实验现象的发现及其相应理论的提出，对量子力学的建立起到了至关象的发现及其相应理论的提出，对量子力学的建立起到了至关重要的作用。重要的作用。(1) 黑体辐射黑体辐射 黑体辐射的实验结果表明，辐射能量按频率分布的曲线黑体辐射的实验结果表明，辐射能量按频率分布的曲线只与黑体的绝对温度有关，而与黑体表面的形状及组成的物只与黑体的绝对温度有关，而与黑体表面的形状及组成的物质无关。许多人企图用经典物理学来说明这种能量分布的规质无关。许多人企图用经典物理学来说明这种能量分布的规律，

3、推导与实验结果符合的能量分布公式，但都未成功。律，推导与实验结果符合的能量分布公式，但都未成功。 1. 1. 重要实验重要实验 一个几乎吸收全部外来电磁波的物体称为黑体。当黑体被一个几乎吸收全部外来电磁波的物体称为黑体。当黑体被加热时所吸收的电磁波被辐射出来，称为黑体辐射。加热时所吸收的电磁波被辐射出来，称为黑体辐射。 十九世纪末，人们已认识到热辐射与光辐射都是电磁波。十九世纪末，人们已认识到热辐射与光辐射都是电磁波。于是，开始研究辐射能量在不同频率范围中的分布问题，特别于是，开始研究辐射能量在不同频率范围中的分布问题，特别是对黑体辐射进行了较深入的理论和实验研究。是对黑体辐射进行了较深入的理

4、论和实验研究。1900年年12月月14日，日，Planck在德国物理学的一次会议上，在德国物理学的一次会议上，提出了黑体辐射定律的推导。在推导辐射能量作为波长和温提出了黑体辐射定律的推导。在推导辐射能量作为波长和温度函数的理论表达式时，度函数的理论表达式时，Planck作了一个背离经典力学的特作了一个背离经典力学的特别基本假定：一个自然频率为别基本假定：一个自然频率为v的振子只能够取得或释放成的振子只能够取得或释放成包的能量，每包的大小为包的能量，每包的大小为 E = hv，h 是自然界新的基本常数。是自然界新的基本常数。即物体吸收或发射电磁辐射，只能以即物体吸收或发射电磁辐射，只能以“量子量

5、子”(Quantum)的的方式进行，每个方式进行，每个“量子量子”的能量为的能量为hv。这个假定的本质就是这个假定的本质就是能量是不连续的。这是量子力学发展史上的伟大发现。能量是不连续的。这是量子力学发展史上的伟大发现。依据粒子能量量子化的假定，依据粒子能量量子化的假定，Planck推导出黑体辐射定律：推导出黑体辐射定律：1)/exp(18),(5kThchcTE式中，式中，k 是是Boltzmann常数，常数，c 是光速，是光速，h = 6.626 10-34 J s，称为称为Planck常数。常数。尽管从量子假设可以导出与实验结果极为符合的尽管从量子假设可以导出与实验结果极为符合的Plan

6、ck公公式，但此工作在后来相当长一段时间里未引起人们的重视。式，但此工作在后来相当长一段时间里未引起人们的重视。 (2) 光电效应光电效应光照射在金属表面，某些时候有电子从金属表面逸出。但光照射在金属表面，某些时候有电子从金属表面逸出。但逸出电子的动能与光的强度无关，而以非常简单的方式依赖于逸出电子的动能与光的强度无关，而以非常简单的方式依赖于光的频率。增大光的强度，只增加单位时间内逸出的电子数，光的频率。增大光的强度，只增加单位时间内逸出的电子数，不会增加电子的能量。这一现象无法用经典力学解释。不会增加电子的能量。这一现象无法用经典力学解释。 首先注意到首先注意到 Planck 量子假设有可

7、能解决经典物理学所碰量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其它困难的人是当时年轻的科学家到的其它困难的人是当时年轻的科学家 A.Einstein。1905年，年，他试图用量子假设去说明光电效应中碰到的疑难，提出了光量他试图用量子假设去说明光电效应中碰到的疑难，提出了光量子子(light quantum)概念。即光的行为是一束粒子流，每个光子概念。即光的行为是一束粒子流，每个光子具有能量具有能量hv (v 为频率为频率)，这就是光子学说，即光具有波粒二象，这就是光子学说，即光具有波粒二象性。性。将将Planck黑体辐射与黑体辐射与 Einstein光电效应联系起来，得到光电效应联系起来，得到 Pl

8、anck Einstein 关系式：关系式：hchvE采用光量子概念后，光电效应中出现的困难立即迎刃而采用光量子概念后，光电效应中出现的困难立即迎刃而解。光量子概念及理论在后来的康普顿解。光量子概念及理论在后来的康普顿 (1923年年)散射实验中得散射实验中得到了直接的证实到了直接的证实 。Einstein因此而获得因此而获得1922年度的诺贝尔物理年度的诺贝尔物理学奖。学奖。 另外，另外，Einstein 与与 Debye 还进一步将能量不连续的概念应还进一步将能量不连续的概念应用与固体中原子的振动，成功地解决了当温度用与固体中原子的振动，成功地解决了当温度T 0 K 时，固时，固体比热趋于

9、体比热趋于0的现象。的现象。 到此，到此，Planck提出的能量不连续的概念才普遍引起物理学提出的能量不连续的概念才普遍引起物理学家的注意。于是一些人开始用它来思考经典物理学碰到的其它家的注意。于是一些人开始用它来思考经典物理学碰到的其它重大疑难问题。其中最突出的就是关于原子结构与原子光谱的重大疑难问题。其中最突出的就是关于原子结构与原子光谱的问题问题(有兴趣的同学可以参考量子力学教材有兴趣的同学可以参考量子力学教材)。 2. 德布罗意物质波德布罗意物质波 Einstein 的光子学说，即光是具有波粒二象性的微粒，在的光子学说，即光是具有波粒二象性的微粒，在当时的科学界引起很大震动。当时的科学

10、界引起很大震动。1924年法国物理学博士研究生年法国物理学博士研究生de Broglie 由此受到启发，提出这种现象不仅对光的本性如此，由此受到启发，提出这种现象不仅对光的本性如此，而且也可能适用于其它微粒。从这种思想出发，而且也可能适用于其它微粒。从这种思想出发， de Broglie 假定：适合光子的假定：适合光子的 ，也适用于电子和其它实物微粒。，也适用于电子和其它实物微粒。即电子和其它实物微粒具有波的特征，这就是德布罗意物质即电子和其它实物微粒具有波的特征，这就是德布罗意物质波的假定。波的假定。hvE 后来，后来，Davisson 等人用衍射实验证实了德布罗意物质波等人用衍射实验证实了

11、德布罗意物质波的存在。的存在。 微粒物质波与宏观的机械波（水波，声波）不同，机械波微粒物质波与宏观的机械波（水波，声波）不同，机械波是介质质点的振动产生的；微粒物质波与电磁波也不同，电磁是介质质点的振动产生的；微粒物质波与电磁波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空间的传播。微粒物质波只能反映微波是电场与磁场的振动在空间的传播。微粒物质波只能反映微粒出现的概率，故也称为概率波。粒出现的概率，故也称为概率波。 微粒物质波的特性：微粒物质波的特性：Schrdinger方程的提出，使许多悬而未决的问题很快得方程的提出，使许多悬而未决的问题很快得到解决，标志着量子力学理论基本建立。到解决，标志着量子力学

12、理论基本建立。 De Broglie 物质波提出后，人们认识到微观粒子具有波动物质波提出后，人们认识到微观粒子具有波动性。既然微观粒子具有波动性，用经典力学去处理显然不合性。既然微观粒子具有波动性，用经典力学去处理显然不合适。因此，适。因此，Schrdinger根据德布罗意的物质波思想，提出波根据德布罗意的物质波思想，提出波动力学，建立动力学，建立Schrdinger 波动方程。波动方程。 Schrdinger 波动方程波动方程是用来描述微观粒子运动规律的力学方程，它是用二阶偏微是用来描述微观粒子运动规律的力学方程，它是用二阶偏微分方程求解微观粒子的状态波函数与相应能量。分方程求解微观粒子的状

13、态波函数与相应能量。 3. Schrdinger 波动方程波动方程 4. “测不准测不准”关系关系 (1) 宏观物体与微观粒子的区别宏观物体与微观粒子的区别 在经典力学中宏观物体的位置和动量是可以同时准确测定在经典力学中宏观物体的位置和动量是可以同时准确测定的。而微观粒子具有波粒二象性，测定这种属性的衍射实验，的。而微观粒子具有波粒二象性，测定这种属性的衍射实验，得到的仅是一种统计分布，并不是具体某个微粒的位置。对微得到的仅是一种统计分布，并不是具体某个微粒的位置。对微粒只能进行统计测量，来源于两个事实：一是微观粒子与宏观粒只能进行统计测量，来源于两个事实：一是微观粒子与宏观物体的区别；二是在

14、描述微观粒子的运动时，仍然沿用经典力物体的区别；二是在描述微观粒子的运动时，仍然沿用经典力学的术语，如位置、动量、能量等，仍然沿用经典量，如学的术语，如位置、动量、能量等，仍然沿用经典量，如10-n m/s。因此，对微观粒子运动的描述只能是近似的，这种近似。因此，对微观粒子运动的描述只能是近似的，这种近似性可用性可用“测不准测不准”关系描述。关系描述。 (2) “测不准测不准”关系关系在经典力学中，质点的运动总存在一条确定的可以预测在经典力学中，质点的运动总存在一条确定的可以预测的轨迹，可以同时确定其坐标和动量（或速度），并以此来的轨迹，可以同时确定其坐标和动量（或速度），并以此来描写它的运动

15、状态。而实物微粒由于具有波动性，它的运动描写它的运动状态。而实物微粒由于具有波动性，它的运动规律只能用概率描述，没有确定的轨迹。就意味着我们无法规律只能用概率描述，没有确定的轨迹。就意味着我们无法同时确定实物微粒的坐标和动量。同时确定实物微粒的坐标和动量。“测不准测不准”关系认为：具有波动性的粒子和经典质点有关系认为：具有波动性的粒子和经典质点有完全不同的特点，它不能同时有确定的坐标和动量。若某个完全不同的特点，它不能同时有确定的坐标和动量。若某个坐标确定得越准确，则相应的动量越不准确，反之亦然。坐标确定得越准确，则相应的动量越不准确，反之亦然。 “测不准测不准”关系也存在于能量和时间之间。关

16、系也存在于能量和时间之间。共轭力学量（如坐标和动量）不确定程度的定量关系共轭力学量（如坐标和动量）不确定程度的定量关系称为不确定原理，它是称为不确定原理，它是1927年年Heisenberg 发现的。设坐标发现的。设坐标测不准量为测不准量为x， 动量测不准量为动量测不准量为px，则测不准量会大则测不准量会大于于Planck常数常数 h 的数量级的数量级 4hpxx .2 量子力学的基本假设量子力学的基本假设 量子力学理论建立在量子力学基本假设基础之上。量子力量子力学理论建立在量子力学基本假设基础之上。量子力学的基本假设，与几何学中的公理相同，是不能被理论证明的，学的基本假设，与几何学中的公理相

17、同，是不能被理论证明的，就象热力学第一定律和第二定律一样。虽然量子力学的基本假就象热力学第一定律和第二定律一样。虽然量子力学的基本假设不能被证明，但也不是科学家凭主观想象出来的，它来源于设不能被证明，但也不是科学家凭主观想象出来的，它来源于实验，并不断被实验所证实。实验，并不断被实验所证实。20世纪世纪20年代，在量子力学的基年代，在量子力学的基本假设基础上，本假设基础上，Dirac，Heisenberg， Schrdinger等人构建了等人构建了量子力学大厦。量子力学大厦。 1. 假设假设-状态波函数和概率状态波函数和概率 由于微观粒子无准确外形，无确定的运动轨迹，具有波粒由于微观粒子无准确

18、外形，无确定的运动轨迹，具有波粒二象性，为了描述它们的运动状态和在空间出现的概率，选择二象性，为了描述它们的运动状态和在空间出现的概率，选择用状态波函数用状态波函数 表示。表示。 是体系包含的所有微粒的坐标是体系包含的所有微粒的坐标(q1，q2，qn) 和时间和时间t 的函数，即的函数，即),(21tqqqn 对于处于三维直角坐标空间的粒子，状态波函数表示为对于处于三维直角坐标空间的粒子，状态波函数表示为 ),(tzyx而在球坐标空间中表示为而在球坐标空间中表示为),(tr (1) 概率与概率密度概率与概率密度 Born 指出，粒子的状态波函数指出，粒子的状态波函数包含了该粒子的各种物包含了该

19、粒子的各种物理信息。在某区域若理信息。在某区域若 = 0，表示粒子在该区域不存在；而，表示粒子在该区域不存在；而 0 则表示可在该区域找到该粒子。波函数则表示可在该区域找到该粒子。波函数 一旦确定，体一旦确定，体系也就确定下来。因此，量子化学、统计热力学的基本任务系也就确定下来。因此，量子化学、统计热力学的基本任务之一就是用量子力学方法寻找原子、分子等体系的状态波函之一就是用量子力学方法寻找原子、分子等体系的状态波函数。数。 状态波函数状态波函数与它的复共轭的乘积与它的复共轭的乘积 * 是一个概率分是一个概率分布函数，称概率密度，通常也表示为布函数，称概率密度，通常也表示为 。2),(),(*

20、tqtq 表示一个坐标为表示一个坐标为 q 的粒子在的粒子在 范围内运动的概范围内运动的概率密度函数。率密度函数。qd),(),(*tqtq 表示处在表示处在(q, t)状态的粒子在状态的粒子在 t 时刻、在小体积元时刻、在小体积元d附附近出现概率。近出现概率。 由于每个体系或每个粒子在整个空间出现的概率之和等由于每个体系或每个粒子在整个空间出现的概率之和等于于1，因此，波函数需满足归一化条件，即，因此，波函数需满足归一化条件，即1d* (2) 描述化学体系中电子的状态波函数，就是原子轨道，描述化学体系中电子的状态波函数，就是原子轨道，分子轨道。如分子轨道。如 C 原子的原子的1s、2s、2p

21、轨道，是描述轨道，是描述 C 原子中电原子中电子处在不同能级状态的波函数。子处在不同能级状态的波函数。 (3)为了使波函数有确定的物理意义，数学上要求波函数满为了使波函数有确定的物理意义，数学上要求波函数满足单值、有限，连续，平方可积三个条件。足单值、有限，连续，平方可积三个条件。 2. 假设假设 -力学量与线性共轭算符力学量与线性共轭算符 对于微观体系每一个可观察的物理量，可用一个线性自对于微观体系每一个可观察的物理量，可用一个线性自共轭算符表示。因此，在求解微观体系的波函数时，需要一共轭算符表示。因此，在求解微观体系的波函数时，需要一种数学工具，即算符。种数学工具，即算符。算符是一种能把函

22、数算符是一种能把函数 u 变成变成 v 的运算符号。这个过程的的运算符号。这个过程的数学表达式是数学表达式是 ，其中，其中 是算符。是算符。d/dx、sin、log等是人们熟悉的数学算符。在量子力学中，用算符表示对等是人们熟悉的数学算符。在量子力学中，用算符表示对波函数（量子态）的一种测量。常用的算符有坐标算符、动波函数（量子态）的一种测量。常用的算符有坐标算符、动量算符、角动量算符以及能量哈密顿算符等。量算符、角动量算符以及能量哈密顿算符等。)()(xvxuOO如果如果)()(xuxuO 其中，其中， 是常数，则称该算符方程为本征方程，是常数，则称该算符方程为本征方程，u(x) 为算符为算符

23、 的本征函数，的本征函数， 是算符是算符 作用于作用于 u(x) 得到的本征值。得到的本征值。OO 动能算符：动能算符：22mPT 在三维空间，单粒子动能算符为在三维空间，单粒子动能算符为22222222222mzyxmT 动量算符：动量算符是对于該方向坐标的偏微啇，即动量算符：动量算符是对于該方向坐标的偏微啇，即qiPi2h（ ） 坐标算符：与经典力学相同，用坐标算符：与经典力学相同，用 x、y、z 或或 q1、q2表表示。示。 总能量算符：总能量算符是动能和势能算符之和，即总能量算符：总能量算符是动能和势能算符之和，即VmVTH222 势能算符：势能算符与经典力学相同，用势能算符：势能算符

24、与经典力学相同，用 V 表示，即表示，即VV 多粒子动能算符为多粒子动能算符为222iiimT2222222zyx称为称为Laplace算符。算符。其中，其中， 自共轭算符自共轭算符 凡满足下列关系的算符，为自共轭算符。凡满足下列关系的算符，为自共轭算符。d)(d2*12*1RR 量子力学最核心的问题是要了解波函数量子力学最核心的问题是要了解波函数(x, t) 如何随时间如何随时间变化，并得到体系状态的各种可能的波函数。变化，并得到体系状态的各种可能的波函数。 线性算符线性算符 凡满足下列运算规则的算符，为线性算符。凡满足下列运算规则的算符，为线性算符。22112211)(RcRcccR 为了

25、保证算符所表示的物理量有确定的值，算符必须是为了保证算符所表示的物理量有确定的值，算符必须是线性、自共轭。线性、自共轭。 根据状态波函数和概率的假定，一个微观粒子的量子态用根据状态波函数和概率的假定，一个微观粒子的量子态用波函数波函数(x, t) 来描述。当来描述。当(x, t) 确定后，粒子的任何一个力学确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量值的概率分布都完全确定。因此，量子力量的平均值及其测量值的概率分布都完全确定。因此，量子力学中最核心的问题就是要解决：波函数学中最核心的问题就是要解决：波函数(x, t) 如何随时间演化如何随时间演化以及在各种具体情况下找出描述体系的各种可能的波函

26、数。以及在各种具体情况下找出描述体系的各种可能的波函数。 Schrdinger 波动方程解决了这一问题，是量子力学最基本方波动方程解决了这一问题，是量子力学最基本方程。程。 3. 假设假设 - Schrdinger 方程方程1926年，年，Schrdinger提出与时间相关的波动方程为提出与时间相关的波动方程为( , )( , )iq tHq tt 2222( , )( , ) ( , )q tV q tq tmq Schrdinger 波动方程是量子力学的一个基本假定，并不波动方程是量子力学的一个基本假定，并不能从更基本的假定来证明它，它的正确性，归根结底，只能能从更基本的假定来证明它，它的

27、正确性，归根结底，只能靠实验来检验。靠实验来检验。Schrdinger 波动方程是量子力学最基本的方波动方程是量子力学最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 这就是这就是Schrdinger 波动方程。波动方程。 限制势能仅与坐标有关，与时间无关，则限制势能仅与坐标有关，与时间无关，则 Schrdinger 波波动方程可以通过分离变量法进行求解。即将状态波函数分解动方程可以通过分离变量法进行求解。即将状态波函数分解成两部分，一部分是时间的函数，一部分是坐标函数：成两部分，一部分是时间的函数，一部分是坐标函数：( , )( ) ( )q

28、 tf tq 得到以下结果：得到以下结果： 含时波函数：含时波函数：/( , )( )iEtq teq 定态（与时间无关）定态（与时间无关） Schrdinger方程：方程：222d2d( )( ) ( )( )qV qqEqmq 定态定态Schrdinger方程用能量算符表示为方程用能量算符表示为( )( )HqEq 定态定态 Schrdinger方程表示将能量算符作用在某个状态波方程表示将能量算符作用在某个状态波函数函数 上，等于某常数上，等于某常数 E 乘以该状态波函数，它是一个本征方乘以该状态波函数，它是一个本征方程。程。 定态定态Schrdinger方程描述的粒子具有以下特征：方程描

29、述的粒子具有以下特征：a. 粒子在空间的概率密度不随时间变化；粒子在空间的概率密度不随时间变化； b. 不含时间的物理量平均值不随时间变化。不含时间的物理量平均值不随时间变化。 因为热力学研究的问题与时间无关，因此，定态因为热力学研究的问题与时间无关，因此，定态 Schrdinger方程是统计热力学最重要的一个理论基础。方程是统计热力学最重要的一个理论基础。 特别强调的是，特别强调的是，Schrdinger方程是一个本征方程。方程是一个本征方程。 所所描述的微观体系具有确定的能量描述的微观体系具有确定的能量 E ，能量，能量 E 称为能量算符的称为能量算符的本征值，本征值， 称为能量算符的本征

30、函数。本征方程的特点是算称为能量算符的本征函数。本征方程的特点是算符已知，但状态波函数和本征徝都未知。一个方程有两个未符已知，但状态波函数和本征徝都未知。一个方程有两个未知数，要用专门的数学解法。知数，要用专门的数学解法。 今后用量子力学知识解决问题时，首先要写出适合各种微今后用量子力学知识解决问题时，首先要写出适合各种微观体系的观体系的Schrdinger方程。通过解該方程，得到微观体系的能方程。通过解該方程，得到微观体系的能量量 E 和状态波函数和状态波函数 。 求解求解SchrSchrdingerdinger方程是一个复杂的数学问题，在工科物方程是一个复杂的数学问题，在工科物理化学课程中

31、不作详细介绍，有兴趣可以参考量子力学、量子理化学课程中不作详细介绍，有兴趣可以参考量子力学、量子化学和结构化学等教材。化学和结构化学等教材。8.3 量子力学的简单应用量子力学的简单应用为了说明量子力学处理问题的方法、步骤及量子力学一些为了说明量子力学处理问题的方法、步骤及量子力学一些基本概念，以一维势箱自由粒子和三维势箱自由粒子、一维谐基本概念，以一维势箱自由粒子和三维势箱自由粒子、一维谐振子、二体刚性转子等一些简单微观体系为例，说明如何求解振子、二体刚性转子等一些简单微观体系为例，说明如何求解Schrdinger方程，从而获得状态本征函数与能量本征值。方程，从而获得状态本征函数与能量本征值。

32、 1. 一维势箱中粒子一维势箱中粒子aV = V = 0V = Fig 一维势箱中粒子的势能一维势箱中粒子的势能 一维势箱中粒子的模型可用下图表示。一维势箱中粒子的模型可用下图表示。 势箱粒子问题是量子力学中极少数可以精确求解的简单问势箱粒子问题是量子力学中极少数可以精确求解的简单问题之一。大多数量子力学问题都需要计算机模拟技术求解。势题之一。大多数量子力学问题都需要计算机模拟技术求解。势箱粒子的量子力学处理结果在统计热力学中有重要用途。箱粒子的量子力学处理结果在统计热力学中有重要用途。按照量子力学解决问题的基本方法，求一维势箱中粒子按照量子力学解决问题的基本方法，求一维势箱中粒子的状态本征函

33、数与能量本征值。的状态本征函数与能量本征值。 (1) Schrdinger 方程方程因为在区域因为在区域 和和 ， V = ，在这两个区域发现粒子的，在这两个区域发现粒子的概率为零，粒子在势箱中自由运动的区域是概率为零，粒子在势箱中自由运动的区域是 ，坐标变化范，坐标变化范围为围为 0 x a。一维势箱中粒子的。一维势箱中粒子的Schrdinger 方程是方程是)()(qEqHTVTVTHV 222222282dxdmhdxdm Since一维势箱中粒子的一维势箱中粒子的Schrdinger 方程为方程为 Edxdmh22228082222 hmEdxd 上述方程属于数理方程中的二阶常系数微分

34、方程上述方程属于数理方程中的二阶常系数微分方程0 qypyy对应的特征方程为对应的特征方程为02qprr当当 r1、r2 为实根时，方程的解为为实根时，方程的解为xrxrececy2121当当 r1、r2 为复根时，为复根时，)sincos(21bxcbxceyax方程的解为方程的解为biar1biar2082222 hmEdxd对于对于Schrdinger方程方程其特征方程的根为其特征方程的根为ihmEi qr228 因此一维势箱中粒子波函数因此一维势箱中粒子波函数的通解为的通解为xhmEcxhmEc2222218sin8cos 应用边界条件，应用边界条件，x = 0 和和 x = a 时，

35、时， = 0，120000( )cos( )sin( )cc 01c22280( )sinmEacah 因为因为 c2 0，否则波函数就不存在，因此，否则波函数就不存在，因此08sin22ahmE 2228mahnE 222228 nahmEaxnc sin2( n = 1, 2 , )又因为波函数要满足归一化条件，即又因为波函数要满足归一化条件，即ax01d* 得到得到22ca 所以，一维势箱中粒子的波函数所以，一维势箱中粒子的波函数是是axna sin2( n = 1, 2 , )式中的式中的 n 为称量子数。为称量子数。n = 1 时，体系处于基态，时，体系处于基态，2218mahE a

36、xa sin21n = 2 时，体系处于第一激发态，时，体系处于第一激发态，22284mahE axa 2sin21n = 时，体系处于第二激发态，时，体系处于第二激发态，22289mahE axa 3sin21Conclusion：量子力学处理微观体系的一般步骤量子力学处理微观体系的一般步骤 a. 写出写出Schrdinger方程中的能量算符，对于方程中的能量算符，对于 n 个粒个粒子组成的体系子组成的体系HVmVTHiii222势能势能V 根据体系的具体情况而定。根据体系的具体情况而定。 b. 简单体系的简单体系的Schrdinger方程为二阶线性微分方程，可方程为二阶线性微分方程，可解出

37、通解。解出通解。 c. 根据边界条件，解出通解中的待定系数，并用边界条根据边界条件，解出通解中的待定系数，并用边界条件求能量本征值。件求能量本征值。 d. 能量代入通解，并用归一化条件得到状态波函数。能量代入通解，并用归一化条件得到状态波函数。 2. 三维势箱中粒子三维势箱中粒子三维势箱中粒子模型为：势能三维势箱中粒子模型为：势能 V 在在 0 x a， 0 y b， 0 z c 范围内为，在边界至边界外为范围内为，在边界至边界外为。粒子波函数由三。粒子波函数由三个方向波函数乘积得到，即个方向波函数乘积得到，即)()()(),(zZyYxXzyx 总能量总能量 E 是三个方向能量的和，是三个方

38、向能量的和，zyxEEEESchrdinger方程为方程为 Emh2228 Ezyxmh222222228将上述方程按将上述方程按 x、y、z 三个方向分解，得到三个方向分解，得到axnaxXx sin2)(2228mahnExx( nx = 1, 2, )bynbyYy sin2)(2228mbhnEyy( ny = 1, 2, )cznczZz sin2)(2228mchnEzz( nz = 1, 2, )三维势箱中粒子波函数为三维势箱中粒子波函数为cznbynaxnabczyxzyx sinsinsin8),(能量为能量为22222228cnbnanmhEzyxnx , ny , nz

39、= 1, 2, 在三维势箱中，出现了三个独立的量子数在三维势箱中，出现了三个独立的量子数nx , ny 和和 nz ，系统，系统的状态完全由它们确定，波函数可以表示成。的状态完全由它们确定，波函数可以表示成。 zyxnnn, 三维势箱中能量的简并：三维势箱中能量的简并：cba当时，当时，222228zyxnnnmahEnx , ny , nz = 1, 2, 1 , 1 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 , 1 量子态量子态 ， ， ，具有相同的能量，具有相同的能量 。这种。这种现象称为能级的简并。对应某一能级线性无关本征函数的最现象称为能级的简并。对应某一能级线性无关本征函数的最大个数大个数 g 称为该能级的简并度。能级的简并度称为该能级的简并度。能级的简并度 g =。2286mah2286mah能级简并在量子力学中普遍存在，是系统对称性的必然能级简并在量子力学中普遍存在，是系统对称性的必然结果。结果。 3. 一维谐振子一维谐振子任何微观体系，无论是分子或晶体，其原子都存在平衡任何微观体系，无论是分子或晶体，其原子都存在平衡位置附近的振动。这些振动原则上都可以分解成简单的一维位置附近的振动。这些振动原则上都可以分解成简单的一维谐振动的叠加。因此，研