原子物理 诸圣麟

1、第三章第三章 量子力学初步量子力学初步vvt1tVx2vv2x “整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波动的研究整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物粒子理论在实物粒子理论上，是否发生了相反的错误呢上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关于是不是我们关于粒子粒子的图象想得太多的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的图象呢？，而过分地忽略了波的图象呢？”hphE ,E Pv 法国物理学家德布罗意（法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 1987 ) PhhE 。著名的德

2、布罗意关系式。（。著名的德布罗意关系式。（1924年）年）2240pEm cc 例例 在一束电子中，电子的动能为在一束电子中，电子的动能为 ，求此电子的德布罗意波长求此电子的德布罗意波长 ？eV200解解20k21,vvmEc0k2mEv1 -613119sm104 . 8sm101 . 9106 . 12002vnm1067.82nm104 . 8101 . 91063. 6631340vmhcv此波长的数量级与此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当射线波长的数量级相当.2e0.511MeVmck100 eVE 1.23ddsin,1, 2,dnn50d54 eVek1.672hm E2

3、.15d 151nX X射射线线单电子双缝实验单电子双缝实验现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝7个电子在观察屏上个电子在观察屏上的图像的图像100个电子在屏上的个电子在屏上的图像图像屏上出现的屏上出现的电子说明电电子说明电子的粒子性子的粒子性30002000070000随电子数目增多随电子数目增多,在屏上在屏上逐渐形成了衍射图样逐渐形成了衍射图样说明说明 “一个电子一个电子”就具有的波动就具有的波动性性例例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹的子弹34346.63 102.21 100.01 300mhhPmh 太小了使得太小了使得宏观

4、物宏观物体的波长小得体的波长小得难以测难以测量宏观物体只表现出量宏观物体只表现出粒子性粒子性波粒二象性是普遍的结论波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性宏观粒子也具有波动性 m 大大 0或说或说 h 0 0 量子物理过渡到量子物理过渡到经典物理经典物理3.2 3.2 不确定度关系不确定度关系大部分大部分电子落在电子落在中央明纹中央明纹2dx sinppxppxsinxd2sinxppx2hppxx22/hpxx又 2/hpxxsindhp 0 xxp/ 2xxph 海森堡（海森堡（Heisenberg）在）在1927年从理论上得到：年从理论上得到： 22xPxtE 22xPxtE第第1个

5、式子说明个式子说明:粒子在客观上不粒子在客观上不能同时具有确定能同时具有确定的坐标位置的坐标位置 和相和相应的动量应的动量(坐标坐标-动量的不确定度动量的不确定度关系）关系）第第2个式子说明个式子说明:粒子在客观上不粒子在客观上不能同时在确定的能同时在确定的时间具有相应确时间具有相应确定的能量定的能量（时间（时间-能量的不确定能量的不确定度关系）度关系）1901-1976，量子力学创立者之，量子力学创立者之一，一，1932年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖例例1 1 设电子与设电子与 的子弹均沿的子弹均沿x x方向运动，方向运动， 精确度为精确度为 ，求测定，求测定x x 坐标所能达到的最大准确

6、度。坐标所能达到的最大准确度。0.01mkgsmx/500%01. 0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx/2.3xmm mx31101 . 2例例 2 原子的线度约为原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度，求原子中电子速度的不确定量。的不确定量。原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系，由不确定关系2/xpx/2xm Vx 55.8 10/xVm s氢原子中电子速率约为氢原子中电子速率约为 106 m/s。因此原子中电子的位。因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。置和速度不能同时完全确定，也没有确定的

7、轨道。 ( , )r t光子在某处出光子在某处出现的几率和该现的几率和该处光振幅的平处光振幅的平方成正比方成正比光子数光子数 N I E02 I大，大， 光子出现几率大光子出现几率大I小，小， 光子出现几率小光子出现几率小 2( , , , )x y z t经典波函数经典波函数: 可测，有直接物理意义可测，有直接物理意义(2) 和和 c 不同不同 (1) 不可测，无直接物理意义，不可测，无直接物理意义， | |2才可测，且有物理意义；才可测，且有物理意义； (2) 和和 c 描述相同的概率分布描述相同的概率分布 (c是常数是常数)。物质波波函数：物质波波函数：比较比较20电子的状态用波函数电子

8、的状态用波函数 描述描述只开上缝时只开上缝时 电子有一定的几率通过上缝电子有一定的几率通过上缝 其状态用其状态用 1 描述描述只开下缝时只开下缝时 电子有一定的几率通过下缝电子有一定的几率通过下缝其状态用其状态用 2描述描述 用电子双缝衍射实验说明几率波的含义用电子双缝衍射实验说明几率波的含义双缝齐开时双缝齐开时电子可通过上缝电子可通过上缝 也可通过下缝也可通过下缝通过上通过上 下缝各有一定的几下缝各有一定的几 率率总几率振幅总几率振幅121222121212|P总几率密度总几率密度22121221 干涉项干涉项出现出现干涉干涉211). 波函数的单值、有限性、连续波函数的单值、有限性、连续以

9、上要求称为以上要求称为波函数的标准化条件波函数的标准化条件因为，粒子的几率在任何地方因为，粒子的几率在任何地方 只能有一个值；只能有一个值； 不可能无限大；不可能无限大； 不可能在某处发生突变。不可能在某处发生突变。 根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率必须为单值、有限、连续的粒子的几率必须为单值、有限、连续的222). 波函数的归一性波函数的归一性()全空间 2,d1r tV若若 23dArrA1/ A归一化因子归一化因子2322( , )( , )( , )2rrritVtttm 一般形式的薛定谔方程一般形式的薛定谔方程:1

10、9331933年与狄拉年与狄拉克分享诺奖克分享诺奖24)()(),(tftrr2( )( )( )2rrrVEm波函数具有形式（定态波函数）波函数具有形式（定态波函数）:/)(),(iEtetrr Ux 无限深势阱无限深势阱 （potential well）例例1 1 一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数在势阱内在势阱内: :受力为零受力为零, ,自由运动自由运动, ,势能为零势能为零在势阱外在势阱外: :势势能为无穷大能为无穷大0,0( ),0,xaV xxxa26在势阱内在势阱内( (0 xd0 x0,0,令令/2222mEkmkE或方程化为方程化为

11、0222kdxd它类似于谐振方程它类似于谐振方程, ,其一般解是其一般解是式中式中A A和和B B为待定常数。在势阱外为待定常数。在势阱外(x0,xa)(x0,xa)由于势壁无限高，由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的标准条件标准条件( (连续性条件连续性条件) )，阱壁上和阱外的波函数应为零。，阱壁上和阱外的波函数应为零。( )sincosxAKxBKx270A0sinKanKa 3 , 2 , 1n0n，( ？)( )sinnxAxa。 ax ( )sin0aAKa0 x(0)cos00B0B( )0

12、x0n28 aA2122aA22201sinandxAxdxa2sin( )0nxxaaaxxax, 002221,2,3,.2nEna 能量是量子化的 22EanK最低能量不为零最低能量不为零n 趋于无穷时趋于无穷时 能量趋于连续能量趋于连续29一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度 x4 x3 x2 x1 )(x o4E3E2E1Ea 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a 30例例2、 隧道效应及势垒贯穿隧道效应及势垒贯穿势垒势垒0 aU0 区区 U ( x ) = 0 x a区区 U (

13、 x ) = 0 x 0区区 U ( x ) = U0 0 x aE E3 310 a EE120aU0 x区区区区区区3 3)(220)(EUmaeCa 隧道效应隧道效应波穿过势波穿过势垒后垒后, ,将以将以平面波的平面波的形式继续形式继续前进前进( ) ( ) 3 讨论讨论(1) E U0 , R0, 即即粒子总能量大于粒子总能量大于势垒高度，势垒高度，入射入射粒子也并非全部粒子也并非全部透射进入透射进入 III 区区,仍有一定概率被仍有一定概率被反射回反射回 I 区。区。 0 a U0 E22221222222212212() sin ()()sin ()4kkk aRkkk ak k2

14、122mEk 20222 ()m UEk33(2) E kT宏观振子的能量相应的 n1025 E10-33J 能量取连续值！对应原理Eh能量间隔：能量间隔：42线性谐振子波函数线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度线性谐振子位置几率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx1. 氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子的电势能氢原子中电子的电势能 204 eUr U和方向无关，为中心力场和方向无关，为中心力场U( r ) 22( )2( )( )U rrErm 3.5 3.5 球坐标的定态薛定谔方程球坐标的定态薛定谔方程222222222011()(sin)si

15、n12()0sin4rrrrrmeErr 442. 能量量子化能量量子化采用分离变量的方法可解得原子的能量为采用分离变量的方法可解得原子的能量为4122013.6eV2 4( )meE 主量子数主量子数主量子数主量子数 n和能量有关和能量有关 n = 1 ，2 ，3 ，41222201()8nEmeEnhn , ,()( ) ( ) ( )rR r 设波函数形式为设波函数形式为453. 角动量量子化角动量量子化原子中电子的轨道角动量大小为原子中电子的轨道角动量大小为1Ll l0,1,2,()1ln4. 角动量的空间量子化角动量的空间量子化 解方程得出电子的轨道角动量在解方程得出电子的轨道角动量

16、在Z方向的分量是方向的分量是磁量子数磁量子数ml 决定轨道角动量在决定轨道角动量在Z Z方向投影方向投影zlLm0,1,2,lml对同一个对同一个 l 角动量角动量Z方向分量可能有方向分量可能有 2l+1个不同值个不同值角量子数角量子数l决定电子的轨道角动量决定电子的轨道角动量 的大小的大小 L46l = 2 2, 0 Lz对对 z 轴旋转对称轴旋转对称例例：Lz02 2 z0,1,2 lm zlLm6 L角动量大小为角动量大小为2(21)6 L Z Z方向分量有方向分量有5 5种取值种取值磁量子数有磁量子数有5种取值种取值即角动量在即角动量在z 轴上仅能轴上仅能取分立的取分立的5种取值种取值

17、47本征波函数本征波函数, , ,()( )()lln l mnllmrR r Y 径向径向角向角向2|lnlm电子在电子在（n, l, ml）态下在空间态下在空间 ( ) 处出现的概率密度是处出现的概率密度是, ,r 5. 电子的概率分布电子的概率分布,()( ) ( )Y 角向波函数角向波函数主量子数主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，角量子数角量子数0,1,2,()1ln磁量子数磁量子数0,1,2,lml4822( )( )n ln lWr drRrr dr径向概率密度：22( )( )nln lrRrr（1 1）径向分布）径向分布在 r 的球壳内找到电子的概率rdr495051（2 2

18、）角分布）角分布dYdWlmlm2),(),(角向几率密度：22()( , )( , )(cos )mimlmlmlmlWYN Pe 22)(cosmllmPN角向几率与角向几率与角无关，即几率函数为绕角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。轴旋转对称。520, 0ml4141),(),(220000 YW0531, 0, 1ml221010cos43),(),( YW2211113( , )( , )sin8WY 1545556按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现，道运动，而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个几率分布叫做人们形象地将这个几率分布叫做“几率云几率云”。有时还将电。有时还将电子电荷在原子内的几率分布子电荷在原子内的几率分布 称为称为“电子云电子云”。因。因此只要给出氢原子定态波函数此只要给出氢原子定态波函数 的具体形式，的具体形式，就可计算在此状态下的就可计算在此状态下的几率云