大学物理-ch4_刚体的转动

1、二、二、 刚体的平动刚体的平动 bca物物 体体 作作 平平 动动bcabcaabcabcbcaabcabcabcv0 xzvP 0 xPvdtd0 xPvk22dtddtd 0 xPvdtd0 xPv 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度当刚体绕定轴转动的角加速度=常量常量时，刚体做时，刚体做匀变速转动匀变速转动rvratvran20 xPvr 例例1在高速旋转的微型电动机里，有在高速旋转的微型电动机里

2、，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为：动后其转速随时间变化关系为： 式中式中 求求：( (1) )t= =6 s时电动机的转速时电动机的转速( (2) )起动后，起动后，电动电动机在机在 t= =6 s时间内转过的圈数时间内转过的圈数( (3) )角加速度角加速度随时间变化的规律随时间变化的规律)e1 (/tm，s0 . 2sr5401m( (2) ) 电动机在电动机在6 s内转过的圈数为内转过的圈数为解解 ( (1) ) 将 t=6 s 代入代入1sr51

3、3950m.)e1 (/tm( (3) ) 电动机电动机转动的角加速度为转动的角加速度为22/srade540eddttmtr1021. 23ttNtmd)e1 (d60/60例例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221c

4、t当当 t =300 s 时时11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径径 , 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以 加速度上升加速度上升, 求求 （1）滑轮角加速度；滑轮角加速度；（2） 时时角速度及转过的圈数；角速度及转过的圈数；

5、（3） 时轮缘上一点的时轮缘上一点的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aasrad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 时角速度及转过的圈数；时角速度及转过的圈数；s5t2srad8 . 0求（求（3） 时轮缘上一点的加速度时轮缘上一点的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnataazim221iikivmE2221iirmiriP2221iikrmEiiirm22

6、2iiirm2iiirmJ2222212JrmEiiikzimiriP221mvEk221JEkvJm iiirmJ2dmrJ2dVr2dsr2dlr2zdmrJnJJJJ21dmrJ200LdxdmdxLmdmxdJ2dxxLm2dJJLdxxLm02231mLxdx dmdxdmdxLmdmxdJ2dxxLm2dJJC2121mLL00/xdm dx222LLdxxLm00Lm ,00/Lm ,231mLJ 2121mLJC2mdJJCRm00dl,dmdmRdJ2dmRdJJm022mRdldmdlRm2mdmR02drrRmdrrRmdJJR0322dsdmrdr22RmdmrdJ2d

7、rRmr232221mRJzOrdPFsinFrFdMFFFFFrPF/FFzOdsinrFMzdFF/FrPFzOdFrMFMr00iF内iriPimiFiiiiiiamFF内2iiiitiitrmrFrF内itiititamFF内iirmiiiiiitiiitrmrFrF2内iFiF内iiirmM2JdtdJiiitrFMiiirm2iiiiiitiiitrmrFrF2内0iiitrF内iiirmJ200iF内iriiPimiFiJMJM amFC2TF1TFgmNCFABCBNFkFgm22TFAgm11TFxyyRFMT111TFRFMT 222TFa1111amFgmT02gmFNN

8、kFF222amFFkTM21aa aR221mRJ BNFkFgm22TFxyAgm11TFyRFRFTT21JC2TF1TFABCagmmmmma22121gmmmmmmFT1212122) 1(gmmmmmmFT2211222) 1(ABC 例例2 在图示的装置中求在图示的装置中求 ：T1，T2， a ，（滑轮（滑轮可视作均质圆盘）。可视作均质圆盘）。mmm12rTT121TT2+mgm1T11mm2T22gm1TT2Jrr=Tgmm22=2a=1T11mmga=J22mr1a=rgmm21TT1122gmmaaa2mmmmmg1212=+()()mmmmg22211=+()mrTmg2

9、1122=22+()mm1mm+mg122=2T)(m1mm+mm222m稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的

10、约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmgttdddddd由角加速度的定义由角加速度的定义ddNFm,lOmg)cos1 (3lg解得：解得：lgdsin23d有有00dsin23dlgAMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）无法确定）无法确定. 例例 如图所示如图所示, A、B为两个相同的定滑轮为两个相同的定滑轮, A 滑滑轮挂一质量为轮挂一质量为M的物体的物体, B滑轮受力滑轮受力F = Mg, 设设 A、B两滑轮的角加速度分别为两滑轮的角加速度分别为 A和和B ,不计滑轮的摩擦不

11、计滑轮的摩擦,这这两个滑轮的角加速度的两个滑轮的角加速度的大小关系为大小关系为: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMTP144 7， 10， 11， 13rvmmrvmvmrprLsinsinmvrrpLvmrLmvrL vmrLdtvmdrvmdtrddtLd)(dtr dvmdtrddtvmd)(dtLdMFrdtLdv0FM常矢量vmrL0MdtLdM例质量为例质量为m m的质点以速率的质点以速率v v沿一直线运动，则对直线上任沿一直线运动，则对直线上任一点的角动量为一点的角动量为 。vmrL0sin), 0( ,同向与vr 例质量为例质量为m m的质点以

12、一速率的质点以一速率v v沿一直线运动，则它对沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为直线外垂直距离为d d的一点的角动量大小是的一点的角动量大小是 。dm vxzOirviPimiiiirvmL2iirmniiiirvmL)(2niiirmJiLJL 即即xzOirviPimvmpJL JM )(JdtddtdLdtdJ)(2121)()(JdMdtJJtt12JJdtdLdtJdM)()(JddLMdt211122ttJJMdt常量JL0M当0)(dtdLdtJd转椅转椅角动量仪角动量仪直升飞机直升飞机2mm2r1r 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中

13、心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动内转动当细杆静止于水平位置时，有一只当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4O220)4(1214lmmllmvl0712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定

14、理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg得得此即小虫需具有的爬行速率此即小虫需具有的爬行速率231mlJ 杆20)43(lmJ 泥l430mlm0v01泥JL )(2泥杆JJLlvm4300)cos21()cos43(0llmgllgmlmgglmJJ2141)(2102泥杆glmmvmglmmmm)2143(169)31169)(2143(cos0202000)(4300杆泥JJlvmmllmvm3116943000l430mlm0v231mlJ 杆20)43(lmJ 泥例例

15、1花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为转动惯量为J0，角速度为，角速度为0，然后他将两臂收回，使转动惯量减，然后他将两臂收回，使转动惯量减少为少为 这时他的转动的角速度为：这时他的转动的角速度为：031J031A031B03C03D00031JJ03例例2 2质点系的内力可以改变质点系的内力可以改变 A A系统的总质量系统的总质量 B B系统的总动量系统的总动量 C C系统的总动能系统的总动能 D D系统的总角动量系统的总角动量12kkEEAA内外（ C ）例例3 3一个物体正在绕固定光滑轴自由转动一个物体正在绕固定

16、光滑轴自由转动A A它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变；它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变；B B它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小；它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小；C C它受热或遇冷时，角速度均变大；它受热或遇冷时，角速度均变大； D D它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大。（ D ）例例4 4如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴光滑固定轴O O旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球旋转，初始状态为静止悬挂，现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆间为非弹性碰撞，则自左方水平打击细

17、杆，设小球与细杆间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆和小球这一系统在碰撞过程中对细杆和小球这一系统 ： A A只有机械能守恒只有机械能守恒 B B只有动量守恒只有动量守恒 C C只有对转轴只有对转轴O O的角动量守恒的角动量守恒 D D机械能、动量和角动量均守恒机械能、动量和角动量均守恒（ C ）（ C ）ml 22mvlmJulm1122)2(121lmJ 2231lmu1m(2)21212122121Jvmum12123)3(mmummvlmmum)3(6121l 22mu1m(1)311221vlmlmulm2231lmJ rdFdAzOFrPrdddsF)90cos(0rdF sinM

18、dcosrdFMddA iiMMdtdAP 21MdAzOFrPrddMdtMddtdJMMddA dJdtdddJddJJM221Jd21MdA21222121JJ21221JdKKKEEEJJA1221222121221JddA 例例1 1 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。于水平位置，然后让它自由下落。）LL22mg求：求：摆到如图位置时的摆到如图位置时的解：解：=M=MdJdmgLMdcos21ddJdtdddJdtdJLmg cos21Lgsin302031cos21dmldmgL 例例1 1 一均质细杆可绕一水平轴

19、旋转，开始时处一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。于水平位置，然后让它自由下落。）LL22mg求：求：摆到如图位置时的摆到如图位置时的解：解：=M=WdmgL cos210=Lmg12sinMddWLmg cos210212JWLgsin3 例例 mm2r解：、受力如图所示。解：、受力如图所示。0v21)(:2222mhTgmm021:201JMdmTRM 2121RmJ RvRh 21222vmmghm、RaathamTgmJTR22122hhgtRm2)2(J222cpkmghJEEE221cpmghE xyzOchC221JEk1122pkpkEEEE )(

20、)(1122pkpkEEEEAA非保内外E球杆EEE12221JEk2sin2LmgEpL2L2）m0gACmgF)()(1111pkpkEEEE020221vmEkLvsin02gLmEp0sin21sin212102202gLmLmmgLJLmmgmm)3(sin)2(30022021LmL2L2）m0gACmgF231mLJ 例例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度摆摆锤拉到高度 ，令它自静止状态下摆，于垂直位，令它自静止状态下摆，

21、于垂直位置和直杆作弹性碰撞置和直杆作弹性碰撞. 求求 碰后直杆下端达到的高度碰后直杆下端达到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此问题分为此问题分为三个阶段三个阶段0hllmm0v002ghv 1） 单摆自由下单摆自由下摆（机械能守恒），摆（机械能守恒），与杆碰前速度与杆碰前速度2）摆与杆弹性碰撞（摆与杆弹性碰撞（摆，杆摆，杆）角动量守恒角动量守恒vvmlJml0机械能守恒机械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后杆上摆，碰后杆上摆，机械能守恒（机械能守恒（杆，地球杆，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc刚体的定轴转动刚体的定轴转动t02

22、0021tt)(20202 二二. 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比，与刚体的正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . JM 刚体刚体转动惯量转动惯量mrJd22iirmJ本章小节本章小节dtddtd匀变速转动匀变速转动 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理21222121d21JJMW三三. 刚体定轴转动功和能刚体定轴转动功和能21dMW 力矩的功力矩的功 转动动能转动动能2k21JE 重力势能重力势能CmghEP 刚体的机械能守恒定律：刚体的机械能守恒定律：若只有保守力做功时若只有保

23、守力做功时, ,恒量kPEE则则四四. 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 刚体对转轴的角动量：刚体对转轴的角动量：JL tJtLMd)(ddd 角动量定理：角动量定理：112221dJJtMtt0M常量JL，则，则若若 角动量守恒定律角动量守恒定律 首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解求解. .五五 定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题 解题基本步骤解题基本步骤 1. 1. 求刚体转动某瞬间的角加速度，一般求刚体转动某瞬间的角加速度，一般转动转动定律求解定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，联立求解的关联方程，联立求解. . 2. 2. 刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作刚体与质点的碰撞、打击问题，在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，考虑用下绕力心转动的质点问题，考