对数函数及性质---习题课课件 (1)

1、 思考思考 (1)(1)为什么定义域为为什么定义域为R？ (2)(2)为什么规定底数为什么规定底数a 且且a 呢？呢？ 。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx) 1, 0(指数函数在底数 及 这两种情况下的图象和性质： 1a 01a图图象象性性质质01a1a （1）定义域：R （2）值域：（0，+）（3）过点（0，1）即x=0时，y=1（4）在R上是减函数（4）在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)比较下列各题中两个值的大小： 2 .530 .10 .21 .61 .60 .33 .1130 .20 .71 1 .7,1 .7;20 .8, 0

2、.8;31 .8, 2 .341 .7, 0 .9;251 .5,1 .3,3 2 .530 .10 .21 .61 .60 .33 .1130 .20 .71 1 .7,1 .7;20 .8, 0 .8;31 .8, 2 .341 .7, 0 .9;251 .5,1 .3,3 2 .530 .10 .21 .61 .60 .33 .1130 .20 .71 1 .7,1 .7;20 .8, 0 .8;31 .8, 2 .341 .7, 0 .9;251 .5,1 .3,3 方法总结：方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两

3、个值是哪个指数单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较较可以与中间值进行比较. . 式子式子 名称名称 a a x x y y指数函数指数函数: y=a a x x 幂函数幂函数: y= x x a a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数幂函数函数函数(1)幂函数的幂函数的图象都通过点图象都通过点(2) 如果如果， 在在 区间区间0,+)上是上是 如果如果a， 在区间在区间(0,+)上是上

4、是 当当为偶数时，为偶数时， 幂函数为幂函数为探究：幂函数的性质探究：幂函数的性质增函数增函数减函数减函数(3) 当当为奇数时，为奇数时， 幂函数为幂函数为奇函数奇函数偶函数偶函数；(1,1)打开几何X y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a 0a 0 （1）图象都过（）图象都过（0，0）点和）点和 （1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值）在第一象限内，函数值 随随x 的增大而增大，即的增大而增大，即 在在0，+)上是增函上是增函 数。数。 （1）图象都过（）图象都过（1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值随）在第一象限内，函数值随

5、x 的增大而减小，即在的增大而减小，即在 （0，+）上是减函数。）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。轴无限接近。2xy xy 3xy 1 xy21xy 例一、例一、 比较大小：比较大小： （1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5 （3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2例二、求下列函数的定义域：例二、求下列函数的定义域： （1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5(1)解解:y = 52 xx-5/2函数函数y =

6、(2x+5)1/2 的的定义域为定义域为 -5/2，+) .解解：y = 531x解不等式解不等式 x 3 0得得X 3 函数函数y=(x-3)-1/5的定的定义域为义域为(-,3)(3,+).(3,+).解不等式解不等式2x+50 得得?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 1, 0aaa的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 Nab，那么数，那么数 b叫做叫做以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bNaloga叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。定义定义：一、对数的概念一、对数的概念 读作2是以4为底，16的对数说明：（

7、1）注意底数的限制 ， a 0 , a 1 ； （2）注意对数的书写格式;1642216log4思考：思考： 为什么对数的定义中要求底数为什么对数的定义中要求底数 ？ a0 a0 且且a1a1二、两个特殊对数二、两个特殊对数 N10logNelog常用对数：以常用对数：以1010为底的对数为底的对数自然对数：自然对数：以无理数以无理数e=2.71828e=2.71828为底的对数的对数为底的对数的对数简记为简记为: lnN . (: lnN . (在科学技术中在科学技术中, ,常常使用以常常使用以e e为为底的对数底的对数) )注意注意：两个特殊对数的书写：两个特殊对数的书写 ,简记为简记为:

8、 lgN?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N三、对数式与指数式的互化三、对数式与指数式的互化 2 2、求下列各式的值：、求下列各式的值：32log) 1 (64 x68log) 2( xx 100lg)3(xe 2ln)4(负数和零没有对数 四、对数的性质四、对数的性质 合作探究合作探究1、负数和零有没有对数？为什么？、负数和零有没有对数？为什么？2 2、求下列各式的值：、求下列各式的值： 1log)1(3 1lg)2(3)ln1000思考：你发现了什么？思考：你发现了什么？“1 1”的对数等于零，即的对数等于零，即01loga 3 3、求下列各式的值：、求下列各

9、式的值： 3log)1(3(2)lg10 (3) ln e 111思考：你发现了什么？思考：你发现了什么？ 底数的对数等于底数的对数等于“1 1”，即，即1logaa 4 4、求下列各式的值：、求下列各式的值：2log 3(1)27log 0.6(2)730.6思考：你发现了什么？思考：你发现了什么？ 对数恒等式对数恒等式: :logaNaN 得出对数性质得出对数性质1 1、负数和零没有对数、负数和零没有对数 2、“1”“1”的对数等于零，即的对数等于零，即01loga3 3、底数的对数等于、底数的对数等于“1”1”，即，即1logaa4 4、对数恒等式、对数恒等式: :NaNa log对数函

10、数的应用函数函数 y=logax （a0,a 1）a的取值的取值0a1定义域定义域值域值域R图象图象图象图象特征特征当当x0且且x0时时,图象趋图象趋近于近于 y轴正半轴轴正半轴.当当x0且且x0时，图象趋时，图象趋近于近于 y轴负半轴轴负半轴.单调性单调性函数值的函数值的变化规律变化规律当当0 x1 时时, 当当 0 x1 时，时，y1时，时， y0 .), 0( 返回目录在在y轴的轴的右侧右侧，过定点，过定点（1，0）在在(0,+)上上是减函数是减函数.在在(0,+)上是上是增函数增函数.y(0,+)y=0y0, .765476log54log2121x21logx51log3log3lo

11、g51210.3log310.8log20.3log310.8log2x21log返回目录【评析评析】比较两个对数值的大小，常用方法：比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.返回目录比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（1） ;（

12、2） ;（3） (a0，且，且a1).8.5log3.4,log222.7log1.8,log0.30.35.9log5.1,logaa返回目录（1）考查对数函数考查对数函数y=log2x，因为它的底数，因为它的底数21,所以它在所以它在(0,+)上是增函数，于是上是增函数，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足，因为它的底数满足00.3log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小还是小于于1，而已知条件中并未明确指出底数，而已知条件中并未明确指出底数a与与1哪个大，

13、因此，哪个大，因此，要对底数要对底数a进行讨论：进行讨论：当当a1时，函数时，函数y=logax在在(0,+)上是增函数，于是上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当当0aloga5.9.返回目录学点二学点二 求定义域求定义域求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1）（2）3);-(4xlogy0.5).4-(16logyx1x【分析分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.【解析解析】（2）由）由log0.5(4x-3)04x-30得得04x-31, 0 x0 得得 x-1 x+11 x0.-1x0或或0 x0 x0 log0.8x-10 即即 x0

14、.8 2x-10, x ,00 x x-10 解得解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为 (1,+) .313223返回目录学点三学点三 求值域求值域求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1） （2）（3）y=loga(a-ax)(a1).12);4x-(-x logy2213);-2x-(x logy221【分析分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解再由单调性求解.返回目录【解析解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616,又又-x2-4x+12

15、0, 00,且且y=log x在在(0,+)上是减函数上是减函数,yR,函数的值域为实数集函数的值域为实数集R.212121（3）令）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为函数的值域为y|y1.【评析评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值时需要讨论参数的取值.返回目录返回目录求值域：求值域：（1）y=

16、log2(x2-4x+6); （2） .22xx-1logy22(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又又y=log2x在在(0,+)上是增上是增函数函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是函数的值域是1,+).(2) -x2+2x+2=-(x-1)2+33, 0知知- x0得得(2x+1)(x-3)0，得，得x3.易知易知y=log0.1是减函数，是减函数，=2x2-5x-3在在 上为减函上为减函数，即数，即x越大，越大，越小，越小，y=log0.1u越大；在越大；在(3,+)上函上函数数为增函数，即为增函数，即x越大，越大，越大，越大，y=log0.1越小越小.原函

17、数的单调增区间为原函数的单调增区间为 ，单调减区间为，单调减区间为(3,+).21)21,-(-)21,(返回目录【评析评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域意复合函数的定义域.返回目录已知已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且且a1).（1）求）求f(x)的定义域；的定义域；（2）讨论函数）讨论函数f(x)的单调性的单调性.（1）由由ax-10得得ax1，当，当a1时，时，x0;当当0a1时，时，x1时，时，f(x)的定义域为

18、的定义域为(0,+); 当当0a1时，设时，设0 x1x2，则，则1 ,故故0 -1 -1, 即即loga( -1)loga( -1). f(x1)1时，时，f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.同理，当同理，当0a0 =4-4a0，1.a返回目录（2）若）若f(x)的值域为的值域为R，则要求，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包的值域包含含(0,+).当当a0时，时，(x)=ax2+2x+1要包含要包含(0,+)，需，需 a0 =4-4a0综上所述，综上所述，0 a1.1.a0 【评析评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定

19、义域为）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定，由判别式不小于零确定.返回目录函数函数y=logax在在x2,+)上总有上总有|y|1，求，求a的取值范围的取值范围.依题意得依题意得|logax|1对一切对一切x2,+)都成立，都成立，当当a1时，因为时，因为x2,所以所以|y|=logax1，即，即logaxlog22.所以所以1a2.当当0a1,所以所以logax-1，即，即logaxlog 2对对x2恒成立恒成立.所以所以 a0解得解得f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)= = =

20、 = -f(x),f(x)是奇函数是奇函数.1-x1x 1-x-1x-log211x1xlog211-x1xlog-21（2）证明）证明:设设x1,x2(1,+)，且，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即即u(x1)u(x2)0,y=log u在在(0,+)上是减函数上是减函数,log u(x1)log u(x2),即即log log ,f(x1)0 x - 10 p - x0当当p1时，函数时，函数f(x)的定义域为的定义域为(1,p)(p1).) 1)(, 1 (ppx1-x1x 名师伴你行（2）因为因为f(x)=所以当所以当 1,即即1p3时，

21、时，f(x)无最大值和最小无最大值和最小值；当值；当1 3,x= 时，时，f(x)取得最大取得最大值，值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值，但无最小值p),x(14) 1()21-p-(x-log22p21-p21-p21-p41)(p2返回目录名师伴你行学点八学点八 反函数反函数返回目录已知已知a0,且且a1，函数，函数y=ax与与y=loga(-x)的图象只能是（的图象只能是（ ）【分析分析】分分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系根据图象判定关系.B名师伴你行【解析解析】解法一：首先，曲线解法一：首先，曲线y=ax只

22、可能在上半平面，只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，其次，从单调性着手，y=ax与与y=loga(-x)的增减性正好相反，的增减性正好相反，又可排除又可排除D，故只能选，故只能选B.解法二：若解法二：若0a1，则曲线则曲线y=ax上升且过点上升且过点(0,1)，而曲线，而曲线y=loga(-x)下降且过下降且过(-1,0)，只有，只有B满足条件满足条件.解法三：如果注意到解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于的图象关于y轴的对称图象轴的对称图象为为y=logax的图象，因为的图象，因为y=logax与与

23、y=ax互为反函数（图象关互为反函数（图象关于直线于直线y=x对称），则可直接选对称），则可直接选B.【评析评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响对图象的影响.要要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性性.原函数原函数y=f(x)与其反函数的图象关于与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性对称是其重要性质质.返回目录名师伴你行若函数若函数f(x)=ax(a0，且，且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a= .21 反函数的图象过点反函数的图象过点(2,-1)，则，则f(x)=ax的图象过的图象过(-1,2),得得a-1=2,a= .21返回目录名师伴你行返回目录1.1.如何确定对数函数的单调区间？如何确定对数函数的单调区间？（1）图象法：此类方法的关键是图象变换）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2）形如）形如y