线性方程与非线性方程的概述与运用ppt课件

1、线性方程与非线性方程与非线性方程的概线性方程的概述与运用述与运用q 问题背景和研讨目的问题背景和研讨目的u 解方程代数方程是最常见的数学问题之一，解方程代数方程是最常见的数学问题之一，也是众多运用领域中不可防止的问题之一。也是众多运用领域中不可防止的问题之一。u 求解普通非线性方程没有通用的解析方法，但假设 在恣意给定的精度下，可以解出方程的近似解，那么 可以以为问题已可以处理，至少可以满足实践需求。u 本节主要引见一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。2.6 非线性方程近似根非线性方程近似根相关概念相关概念0( )f x

2、 u 假设假设 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；是一次多项式，称上面的方程为线性方程； 否那么称之为非线性方程。否那么称之为非线性方程。q 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程 0f x 问题：问题： 如何求延续的非线性方程如何求延续的非线性方程 实根的近似值。实根的近似值。根的隔离根的隔离 假设函数假设函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上延续，且上延续，且 f(a)f(b)0，那么，那么 f(x)在开区间在开区间 (a,b)内内至少存在一个根。经过根的隔离，可假设此区间内存在独一根至少存在一个根。经过根的隔离，可假设此区间内存在独一根 x*。1a1x2b2a2x3

3、b3a3x4b4a4x5a5x56ba6b6x1bq 根本思想根本思想二分法二分法将隔离区间进展对分，判别出解在某个子区间内，然将隔离区间进展对分，判别出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。度为止。q 适用范围适用范围求有根区间内的求有根区间内的 单根单根 或或 奇数重实根。奇数重实根。q 数学原理：介值定理数学原理：介值定理设设 f(x) 在在 a, b 上延续，且上延续，且 f(a) f(b)0，那么由介值定，那么由介值定理可得，在理可得，在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f()=0

4、。001:,0,;Stepiaa bb预 定 精 度1211112 :, if 0,; else if 0,; else ,;iiiiiiiiiiiiiiiiStepxabfafxaa bxfbfxax bbxx break3:if,1,goto Step2; else .iiiStepbaiixx q 算法算法二分法二分法设方程在区间设方程在区间 a,b 内延续，且内延续，且 f(a)f(b)0，给定精度要，给定精度要求求 ，假设有，假设有 |f(x)| ，那么，那么 x 就是就是f(x) 在区间在区间 (a,b) 内的内的 近似根。近似根。q 收敛性分析收敛性分析二分法收敛性二分法收敛性=

5、*11111 11|()()()22 22nnnnnnxxbababa 设方程的根为设方程的根为 x* (an , bn ) ，又，又 ，所以，所以2nnabnx 0(n )根据上面的算法，我们可以得到一个每次减少一半的根据上面的算法，我们可以得到一个每次减少一半的区间序列区间序列 an , bn ，在，在 (an, bn ) 中含有方程的根。中含有方程的根。,( , ),.a bn预定精度初始区间为估计达到预定精度所需最少二分次数11()2nnxxba2log1ban二分法总是收敛的二分法总是收敛的u 二分法的收敛速度较慢二分法的收敛速度较慢u 通常用来给出根的一个通常用来给出根的一个u 较

6、为粗糙的近似。较为粗糙的近似。简单迭代法简单迭代法q 根本思想根本思想u 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程： ( )xx u 从某个初值从某个初值 x0 出发，构造迭代格式出发，构造迭代格式得到一个迭代序列得到一个迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点 (x) 称为迭代函数称为迭代函数u 假设假设 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 延续，那延续，那么么q 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛性迭代法的收敛性 1limlim()limkk

7、kkkkxxx lim*kkxx *x( *)x kx*( *)xx ( *)0f x 即即注：假设得到的点列发散，那么迭代法失效！注：假设得到的点列发散，那么迭代法失效！迭代法的收敛性判据迭代法的收敛性判据定理2.1：全局收敛定理2.2：全局发散定理2.3：部分收敛与发散定理2.4：收敛速度q 定义：定义：迭代法收敛性判别迭代法收敛性判别假设存在假设存在 x* 的某个邻域的某个邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开场的迭代开场的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛都收敛, 那么称该迭代法在那么称该迭代法在 x* 附近部分收敛。附近部分收敛。q 定理定理 1：设设 (x)

8、 在某个邻域在某个邻域 内延续，且对内延续，且对 x 都有都有 | (x)| L 1, 那么迭代部分收敛。那么迭代部分收敛。迭代法收敛性判别迭代法收敛性判别10|* |1kkLxxxxL q 定理定理 2：设设 ，且，且对对 x a, b，有，有 (x) a, b；对对 x a, b，有，有| (x)| L 1； 那么对那么对 x0 a, b ，由迭代，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛全局收敛，且得到的点列都收敛全局收敛，且L 越小，迭代收敛越快越小，迭代收敛越快1,a bC收敛阶收敛阶为了进一步研讨收敛速度问题，引入阶的概念：记 ，假设 ( p=1时还要求0c1时称为超线性收

9、敛。p越大收敛越快。*kkexx)(0lim1Npceepkkk牛顿迭代法牛顿迭代法()()()kkkf xfxxx令：令：1()0kP x 1()()kkkkf xxxfx ()0)kfx q 根本思想：根本思想：用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法o( )()()()()kkkkf xf xfxxxxx u 设非线性方程设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 xk 处作处作 Taylor 展开展开( )P xq 牛顿迭代公式牛顿迭代公式k = 0, 1, 2, . . 牛顿迭代公式牛顿迭代公式q 牛顿法的优点牛顿法的优点q 牛

10、顿法是目前求解非线性方程牛顿法是目前求解非线性方程 (组组) 的主要方法的主要方法对于单重根迭代对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快，阶收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分接近准确解时。特别是当迭代点充分接近准确解时。q 牛顿法的缺陷牛顿法的缺陷l 对重根收敛速度只需线性收敛对重根收敛速度只需线性收敛l 对初值的选取很敏感，要求初值接近准确解对初值的选取很敏感，要求初值接近准确解在实践计算中，假设要求高精度，可以先用其它方法在实践计算中，假设要求高精度，可以先用其它方法如二分法获得准确解的一个粗糙近似，然后再用如二分法获得准确解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。牛顿法求解。牛顿迭代法大范围

11、收敛性牛顿迭代法大范围收敛性(2) , ( ),a bf xC设函数且满足条件：1. ( ) ( )0;f a f b 2. , ,( )0;xa bfx 3.( , ),( )xa bfx 保号；4. ( ), ( ).abba ( )f xxxfx0 , ,2 , xa bNewtona b则对任意初值迭代法产生的迭代序列 阶收敛到内唯一单根。Matlab 解方程的函数解方程的函数roots(p)：多项式的一切零点，：多项式的一切零点，p 是多项式系数是多项式系数向量。向量。fzero(f,x0)：求：求 f=0 在在 x0 附近的根，附近的根，f 可可以运用以运用 inline、字符串、

12、或、字符串、或 ，但不能是方程或，但不能是方程或符号表达式！符号表达式！solve(f,x)：求方程关于指定自变量：求方程关于指定自变量x的解，的解， f 可以是用字符串表示的方程、符号表达式可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号方程；或符号方程； solve 也可解方程组也可解方程组(包含非线性包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。得不到解析解时，给出数值解。Ab：解线性方程组：解线性方程组Ax=b。 其他其他 Matlab 相关函数相关函数g=diff(f,x)：求符号表达式：求符号表达式 f 关于关于 x 的导的导数数g=diff(f)：求符号表达式：求符号表达式 f 关于默许

13、变量的关于默许变量的导数导数g=diff(f,x,n)：求：求 f 关于关于 x 的的 n 阶导数阶导数q diffl f 是符号表达式，也可以是字符串是符号表达式，也可以是字符串 l 默许变量由默许变量由 findsym(f,1) 确定确定 syms x syms x f=sin(x)+3 f=sin(x)+3* *x2; x2; g=diff(f,x) g=diff(f,x) g=diff(sin(x)+3 g=diff(sin(x)+3* *x2,x)x2,x)作业作业每题分别用两种一步迭代法要求写出迭代格式：1 Newton迭代法；2本人构造的非牛顿切线或割线法迭代格式需讨论收敛性 根

14、据迭代格式用计算机器求以下非线性方程的根：2(1) ( )sin , 4xf xx在区间内的根，精确至小数点后2位。32(2) ( )491,1.5f xxx 在区间内的根，精确至小数点后3位。迭代法的加速迭代法的加速1 1 ()()kkkkkxwxwx u 设迭代设迭代 xk+1 = (xk) ，第，第 k 步和第步和第 k+1 步得到步得到的的u 近似根分别为近似根分别为 xk 和和 (xk) ，令，令其中其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = (xk) 1( )()( )xw xwx u 加权系数加权系数 wk 确实定：令确实定：令 (x)=0 得得11( )wx 11()kkwx Altken 迭代法迭代法q Altken迭代法迭代法用用 差商差商 近似近似 微商微商211*( *)()( )( *)xxxxxx u 设设 x* 是方程的根，那么由微分中值定理可得是方程的根，那